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1、双曲线及其标准方程案例分析、案例背景双曲线及其标准方程这一节教材整体来看分两大块内容：一是双曲线的定义；二是双曲线的标准方程。双曲线是圆锥曲线这一章继椭圆后研究的第二种圆锥曲线，因此对双曲线的研究可以比照椭圆的定义和标准方程的研究方法，一方面是对椭圆的定义和标准方程的研究方法与研究技巧的进一步加深巩固，另一方面也是研究抛物线的定义及其标准方程的一个范例。对双曲线的研究实际上是对椭圆的研究方法的加深巩固，对学生在后继自主学习抛物线及其标准方程也是一种启发，因此掌握好双曲线的研究方法对学生自主学习能力的培养有着不容忽视的作用，对圆锥曲线这一章的深入学习与探讨也是相当重要的。、教学片段：片段1：教师
2、准备好一根两边不一样长的拉链和两根钉子，在给出双曲线的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点的距离大于拉链的长度差），让两名学生按教师的要求在黑板上画一组双曲线（两支）。教师再在黑板上取两个定点（两定点的距离等于拉链的长度差），然后再请刚才的两名学生按同样的要求作图。教师在黑板上在取两个定点（两定点的距离小于拉链的长度差），然后再请刚才的两名学生按同样的要求作图。学生通过观察三次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出双曲线严格的定义。片段2：通过让学生观察双曲线的图象特征，可以让学生仿照椭圆的建系方法给双曲线建系，再根据双曲线定义求双曲线的标准方程。师：设是双曲线上
3、任意一点，双曲线的焦距，那么、的坐标分别为、，设点与、的距离的差的绝对值等于常数。（让一位成绩较好的学生来推导双曲线的标准方程）生：由定义知：即两边平方得：即两边再平方得：即令，则两边同除以得这个方程叫做双曲线的标准方程。片段3：例3 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800cm，并且此时声速为340m/s，求曲线方程。师：记爆炸点为C，你能根据题意得到什么？生甲：师：那么C在什么样的曲线上？生甲：在以A、B为焦点的双曲线上师：这样的结论准确了么？请同学门检查，有不同意见的请提出来。生乙：在双曲线的一支上，由于，所以C点
4、在以A、B为焦点的双曲线靠近点B的一支上。、教学分析（1）在片段1中，让学生亲手实验，既增加了学习兴趣，又可以加深学生的印象，不可不说是一举两得。对于双曲线的定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上的点的几何性质，可以对比椭圆的定义来理解。另外要注意到定义中的两个方面：对“差的绝对值”的限定，这样规定是为了表示出双曲线的两支，避免漏掉其中一支的可能；对“常数”的限定，即要小于。这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是两条射线；当常数大于时无轨迹”。这样有利于集中精力进一步研究双曲线的标准方程和几何性质。但讲解双曲线定义时注意不要忽略这两类特殊情况，以保证双曲
5、线定义的准确性。也可对比椭圆的定义加深记忆。（2）根据双曲线的定义求标准方程，应注意以下几点：曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程时首先应该注意的地方，应让学生观察双曲线的图形或根据双曲线的定义进行推理，发现双曲线有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁。设双曲线的焦距为，双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生领会。这里的处理方法可以让学生发挥，仿照椭圆的定义的推导方法，使其有一个巩固的过程。但仍需注意
6、只有在的前提下，才能令，这是学生容易遗漏的。在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是求轨迹方程时常遇到的问题，也是学生的难点。要注意说明这类方程的化简方法，及时做好小结：方程中只有一个根式时，只需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项；带有绝对值的根式，可使绝对值在方程的一侧，其他项在方程的另一侧，这样在平方的时候方便将绝对值一并去掉。教科书上对双曲线的标准方程的推导，实际上只给出了“双曲线上的点都适合方程”的证明，而没有给出“以方程的解为坐标的点都在椭圆上”的证明。这实际上是方程的同解变形的问题，难度教大，对同学
7、们不作要求。（3）教科书上通过例3将双曲线有关知识应用于实际生活中能见到或听到的实际问题。它有两个方面的作用：第一是告诉学生圆锥曲线在实际生活中的应用，从而提高学生学习数学的积极性；第二是使学生对双曲线的定义有进一步的理解，即平面内到两定点的距离之差等于常数的点的轨迹是双曲线的一支，而不是完整的双曲线。片段3中，生甲的疏忽恰好是大多数同学易犯的错误，生乙的纠正能给学生留下深刻的印象，从而突出了定义中“差的绝对值”这一关键词。、教学反思（1）在双曲线的定义的教学中要特别强调是差的绝对值为定值，而不是差为定值（差为定值的曲线是双曲线的一支），在双曲线的应用中学生容易会发生这样几处错误：忽略常数的范
8、围会影响曲线的形状（当常数小于时轨迹是双曲线，当常数等于时轨迹是射线，当常数大于的轨迹不存在）；将平面内到两定点的距离之差等于常数的点的轨迹不假思索地当成双曲线（忽略双曲线有两支，到两定点的距离之差等于常数的点的轨迹只是双曲线的两支中的一支）；在遇到“平面内到两定点的距离之差等于常数的点的轨迹”问题时分不清到底是哪一支（可由距离的大小来判断动点离哪个焦点比较近，从而确定是双曲线的哪一支）；在说明轨迹形状时，忽略“双曲线”与“双曲线的一支”的区别。在教学过程中，对这些方面让学生通过讨论、试验、亲身体验，使学生对这些方面有足够的重视与注意，在解题过程中能够完善学生的思维。但在课后练习中发现，还是有
9、一小部分学生没能够考虑全面，例如对常数范围的考虑等，因此以后对这几个方面的注意仍需加强、强调，特别是遇到实际应用问题。（2）在双曲线定义与标准方程的教学中，可以将双曲线与已经学过的椭圆相比较，不仅可以达到温故知新的作用，也可以为学生降低难度、加深记忆。双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大； 双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为负；只要， ，同号，就是椭圆方程，它可以转化成椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；形如的方程只要异号，不为，就是双曲线方程，它可以转化成注意区别椭圆和双曲线的标准方程中，的关系的不同，切不可混淆，这可以利用三角形三边关系方
10、便记忆：椭圆中两边之和大于第三边，因此，中最大，所以，的关系为；双曲线中两边之差小于第三边，因此，中最大，所以所以，的关系为（也可以在下一节学习双曲线的几何性质时结合图象记忆）。这种记忆方法效果很好，基本上的学生都能准确区别椭圆和双曲线中的，的关系。（3）还可以对两种形式的标准方程进行比较：标准方程相同点形状相同、都有， 不同点两种双曲线相对于坐标系的位置不同，焦点坐标也不同这能为下一节研究两种形式的双曲线的几何性质打好基础。（4）教学过程中重视学生主体地位的体现，良好的师生互动能使课堂教学事半功倍。在这堂课的教学过程中，大多数同学能积极参与到课堂活动中来，但还有几位同学思想不太集中，在以后的教学中要对这几位同学多提问、多鼓励，调动他们的积极性。另外，对学生演示画双曲线这一部分的时间控制得不够好，使后面的教学时间相当紧张。下次可以准备三根拉链，叫三组同学分别演示，这既节省时间，又可以调动学生积极性。
