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1、一题多解是新的教学理念下应提倡的学习方式 新的数学课程标准的基本理念之一是“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，该理念以“通过多样的学习方式，激发学生的数学学习兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，发展他们的创新意识”为目标。在该理念下，我认为引导学生“一题多解”，不失为一种好的学习方式。“一题多解”顾名思义即一个问题其解法不是唯一的，通过“一题多解”让学生寻求不同解法的共同本质和思考方法的共同规律，最终上升到多解归一、多题归一的高度，使学生掌握基本的数学方法和思想，从而提高解题能力。通过在具体的数学教学过程中提倡“一题多解”，我发现它从以下几方面迎合了新的教学理念：一、“一题多解”有利于学生自
2、觉探索问题习惯的养成我们知道各个学习阶段的知识前后都有衔接性，包括年级与年级，章与章，节与节之间，是由一个个的知识点串联而成。在学习过程中，我们倡导学生要有整体意识，注意各知识点之间的相互联系，通过不断的思考和探索，使同一问题在不同的知识之间架起通向成功之路的桥梁，从而不断扩大知识的深度和广度。例1、已知向量.求证：方法一：题目中给出了的坐标表示，那么很容易得到向量的坐标表示，自然而然就想到了利用数量积的坐标运算来证明：， 方法二：我们知道，很多证明题的考查与相关问题的原始定义有关，所以可以考虑从数量积的定义出发。要证明，根据定义只需往证的数量积为0，而此处向量是由向量加、减运算而得，自然就想
3、到了运用向量数量积的运算律解决问题：方法三：我们发现方法一和方法二都是代数证法，与代数证法相对应的是几何证法。此时我们可以引导学生能否从向量运算的几何意义角度来考虑问题。在这种引导之下，学生经过认真思考，自觉探索，会比较容易想到向量是以向量为邻边的平行四边形的两条对角线。又注意到，所以平行四边形为菱形，利用菱形的对角形相互垂直即可得证：,记则，又O,A,B三点不共线由向量加、减的几何意义知以OA,OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中，。由菱形的对角线相互垂直，知。通过以上三种解法，学生可以从一道题中巩固处理向量垂直问题的三种基本方法（即数量积的坐标运算法、数量积的定义法、向量运算的几何意
4、义法），从而印象深刻，体会多多，进一步让学生体会到通过认真思考，自觉探索把一道题“真正弄懂弄通”其实可以把多方面的知识联系起来，从而收到“书越读越薄”的效果。二、“一题多解”有利于学生发散思维的培养发散思维是指沿着不同的方向，不同的角度思考问题，从多方面寻找解决答案的思维模式。高中年龄段的学生常常易受定向思维的消极影响，做题时思维易陷入固定的模式，解题思路打不开，从而抑制了他们创新思维的热情。针对此特点，我们教师应该主动地精选一些“一题多解”的习题，引导学生从多方面、多角度去分析问题，寻求解题思路，而不是囿于一种思路，一个角度，一条路走到黑。例2、已知集合A=-2,3，集合B=x|y=，且AB
5、=B，求实数k的取值范围。解：A=-2,3，AB=B-2,3B又因为集合B=x|y=x| -x2+4x+k0不等式-x2+4x+k0在-2,3上恒成立。(问题分析到此，题的本质（不等式在某一区间上恒成立）已经挖掘出来，接下来我们可以转而去探求解决恒成立问题有哪些方法)方法一：这是一个关于一元二次不等式的问题，在平常教学时，我们经常引导学生要把不等式、方程与其相对应的函数联系起来处理。所以在此处，学生通过对题意的理解可以很快地把该恒成立问题翻译成“所对应的函数在相应区间上的最小值恒大于等于0”：令f(x)= -x2+4x+k,则只需f(x)在-2,3上的最小值f(-2)0，即k-120,求得k1
6、2.方法二：当关于某一变量的不等式出现参数时，我们经常采用的一种方法是把变量与参数分离开来，即所谓的“分离常数”，这样与方法一类似我们又可以转化为另一不含参数的函数的最值问题：即kx2-4x在x-2,3时恒成立，则只需k大于等于g(x)= x2-4x在-2,3上的最大值g(-2),而g(-2)=12，故k12.-2y3Ox方法三：与方法一、二一样都把该问题与相应的一元二次函数联系起来，但是函数可以有其直观的表现形式：图像，所以我们可以让学生利用构造函数，然后数形结合，把不等式恒成立的本质用图像的方式直观地表示出来：指定区间上的函数图像恒在x轴上方或在端点处与x轴相交，思考到此，学生的思维已经很
7、开阔，自然而然，又把图像语言转化为代数语言，问题得以顺利解决：令h(x)= -x2+4x+k,要使得h(x)0在 -2,3上恒成立， 数形结合知只需h(-2)0且h(3)0，求得k12.以上三种解法，从题目的表面看根本挂不上勾，但是只要学生认真分析，就可以透过现象看到问题的本质，把问题转化为不等式的恒成立问题，从而通过解决恒成立问题的多种方法来解决本问题。三、“一题多解”有利于“分层教学”的落实“分层教学”是针对学生知识、能力结构和学习需要的不同类型而分群体选择不同的教学目标和内容，实施不同的教学方式，从而让不同层次的学生得到充分发展的一种教学模式。这就要求我们根据不同学生的能力倾向以及学习成
8、绩状况分层要求，使“学优生吃饱，学困生吃好”，而“一题多解”有助于这一目标的实现。例3、已知偶函数f(x)的定义域为(-2,2)，且f(x)在上单调递减，若f(1-a)f(a)，求实数a的取值范围。方法一：通过对多个条件的综合理解并结合图像绝大多数同学都可以发现，自变量越接近0其函数值越大，把这句话结合题意翻译出来就产生了简单易懂的方法一：根据题意，自变量x越接近0，相应函数值就越大，故只需0a1-a2，解得 -1a0.5故-1a0.5即为所求。方法二：方法一通过对题意的分析和理解，避开了分类讨论。但是“分类讨论”作为一种重要的数学思想，同时又是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的
9、思想与归类整理的方法，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。然而在更多的情况下分类讨论却是不可避免的，所以对于一部分“学优生”来讲还应要求他们利用分类讨论来求解，以巩固他们用分类讨论来解决问题的步骤和基本原则：根据题意，可分1-a与a同时非负、同时非正、一正一负（包括端点）四种基本情况进行讨论(1).当0a1-a2时，解得0a0.5；(2).当-21-aa0时，无解；(3).当1-a0,a0时，只需0a-(1-a)0时，只需0-a1-a2，解得 1a0综上可知，-1a0.5即为所求。通过这两种不同方法的训练，既调动了“学困生”学习的积极性，又巩固了“学优生”分类讨论的解题思想，满足了不同层次学生学习的要求。当然要求学生“一题多解”,必须给与学生足够的思考时间。为了能够真正实现“把题做透”的目标，教师必须少留作业，而这恰好顺应了在广泛开展素质教育的今天所提倡的“减负”这一号召。“一题多解”从多方面顺应了新课程下的教学理念，提倡教师教学中多引导，学生练习中多应用，对于学生更好地掌握知识不失为一种好的学习方式。
