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1、高中数学论文品味思维品质培养的另类标志：选择与放弃【内容摘要】加强学生思维品质与能力的培养，是数学课堂教学的宗旨。在新课程意义下，特别是倡导教学活动必须关注学习过程、重视学习体验之理念，我们的教学设计与过程，在传统教学优化的基础上，重视什么？强调什么？又注入了新的内涵：必须清楚从一般思维品质与能力的意义上培养。我们曾重视追求一题多解这一问题解决模式，它在强调开阔学生视野，提高分析、解决问题能力，培养创新意识与精神等方面，与新课程理念并不冲突，不过，从一般思维品质与能力的意义上讲，一题多解仅仅是培养学生发散、求异思维品质么？换个角度说，多作一点对哪些思维受阻、或豁然开朗的思维之源本的剖析，我们的
2、教学会更贴近学生，让学生学会真正地独立思考！让学生学会品味思维品质的高层境界：深入与放弃，这是培养一般思维品质与能力的要求。 【关键词】思维过程深入与放弃能力培养我们知道数学教学的目的是培养学生的思维能力。问题是怎样的教学，才算是在培养这种能力呢？笔者认为：就是充分体现让学生在问题的解决中，能体验对思维过程的鉴赏与仿效，并渐渐地形成一种意识（即能力）。为此，需清楚何为思维过程？学习心理学的研究表明：在面临问题而对已有认知经验与问题环境“对接性选择”时的一种心理活动即思维过程。它所追求的高层境界是学会不同环境下的选择与决策。关键是选择，其结果有：或深入，或放弃，或确认失败。所谓问题的成功解决，其
3、就是思维过程的有效选择：深入或放弃，而不言失败！这里所谓的“深入”与“放弃”指的是思维方式上的一种策略。首先，选择“深入”，需明确继续时做什么，怎么做？而选择“放弃”，表明思维受阻，需要明确“或暂停，退一步再说、或重新认识问题条件；结论，甚至问题背景，再卷土重来。”其次，深入与放弃属思维范畴高层次的另类标志，它是以思维能力培养为目的，而不仅仅是解决问题为目标！关注过程、重视体验，就需关注选择这种结果的过程，明确选择后应该做什么？为此，本文摘拾新课程（高一）实施过程中的四则教学实例，品味培养学生这一“另类高层次思维品质”的教学实践和思索。一、选择深入，意味着精细观察，纵横联系在数学问题的求解中，
4、常听学困生说不会，稍加剖析也会发现：多数“不会”是不能在深入与放弃之间作出决择，而确认失败；或作出了选择，但不知道继续时该做什么？课堂教学的任务，从思维能力与品质的培养上讲，重点关注：选择后怎么办？并在此效应影响下，让前一类演绎化为后一类。为此，若选择“深入”，须精细问题环境：数学概念、公式或法则、数学语言陈述方式等，以利纵横联系，确定问题深入的观察点。【例】是普通高中课程标准实验教科书（数学）必修（以下简称:必修）第二章的复习与小结时，我给出的一个问题：【例】设均为正数，且，则（） （A） （B） （C） （D） 【学情分析】许多学生的第一意识是求出，但很快发现：，这与希望求出的值相差甚远，
5、“繁杂”与“陌生”的数学式子，让进一步深入的观察点难以确定而思维受阻，面临选择关口：或深入，或放弃，或确认不会（即问题解决失败）。为此，我在教学中稍加点拨：【策略】（选择“深入”：难以继续，即时放弃，考查均为正数如何深入？） ，于是，则类似可得：，选择（）【点评】考查对的影响和之形式确认，表明对选择“放弃”时，又选择“深入”意义下的思维过程，也成为问题突破的关键，即常说的数学转化能力。放弃是被观察实体的转移，深入是观察点的纵横联系间的确认与转化。【策略】（选择“放弃”，退回原条件，重新认识问题：方程难以继续，即求精确解受阻，退一步说：求非精确解行吗？用什么方法可求？）令， ，作出它们的图象（即
6、用函数与方程思想处理） 如图，设交点（，），由图知：，。探究：与有关吗？则，即。类似可得：，选择（）【点评】问题由精确解化归非精确解，这是对一个思维方向的放弃后，在思维方向上的新的“深入”开始：即函数与方程的思想，借图说话直觉发现探究点：与相关吗？这就是选择“放弃”意义下的思维活动，重新“深入”使问题顺利获解。学生不仅看清了不同解法的起因与关键：数学思想方法“函数与方程”思想（这乃通性通法）魅力，而且清楚了我们自认失败的真实原因：或是心理差距：预期某种结果而未能如愿；或是思维缺陷：策略缺陷（如无意识在变化中找联系，于陌生中寻找常形等），支撑缺陷（如原理不熟，方法缺失等）。二、选择深入，窥探一题
7、多解的本质一题多解，无疑能为学生的发散思维、求异创新提供训练机会。但若课堂上出现：教师激动人心的表现，学生麻木不仁的死听，或个别优生各展高招，大部分学生旁观热闹。在对解法量的追求下，难免会对获解原因细究、无暇方法优化、思维策略佐证等思维过程剖析上的忽视。果真如此，在这些思维层面上根本要素的缺失，必使一题多解大打折扣！且看【例】必修的第二章复习与小结时所用。同事质疑：一是本题在知识结构上，着眼于形式设计变式，但按新课标要求过高；二是基于学生实际，面向全体，有缺乏课堂教学有实效性之嫌；三是不属研究性学习，有人为复杂的疑义）。果真如此？【例】在ABC中，角、三边的长分别，设。（）若，求证：ABC是等
8、腰三角形；（）已知：，C=600，若，求的取值范围。【学情分析】关于（），由且绝大多数学生均可推理至此，从知识点角度看，已经达成复习目标。只是产生质疑：不一定能推出，从对质疑事实看，的确如此，是题目有误？还是思维方向有偏差？即思维面临重大选择： 【策略】（选择“放弃”，由退回，重新认识：由向量运算经验，如何深入？） 法：由已知及得：，(选择“深入”:几何特征) 即以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，则此四边形为菱形。AB=AC，即ABC是等腰三角形。法：(前同法1) (选择“深入”:代数特征)，即ABC是等腰三角形。 法：， 又（注意：这是ABC对向量式的一个隐含条件，易忽视！）
9、代入上式，消元向量，可得：(同法2，以下略)【策略】（选择“深入”，由得下面，但无法再深入，考查另一条件ABC继续深入，看它们有什么互相影响？于是，形成解法） 法：（这只是一名数学中上成绩的作品，此法不在教学设计之中，而且学生自我声明：不知是否可以这样？且看如下过程本质：反证法，） 在ABC中，由知，B，C均为锐角。 若BC, 若BC, 均与不符，B=C，即ABC是等腰三角形。【点评3】一题多解的本质是让解题的思路来得自然，有道理，追求的是思维合理、简捷，让学生心理上体验数学发现的快乐与共鸣！实现地是数学思想方法的有效渗透和能力的可持续增长！当我们的思维受阻作出“放弃”后，而在新的观察点上其思
10、维仍选择“深入”继续思考，其“解法、2、3”的自然，流畅，源于学会了“放弃”，退一步思考。解法虽说是预料之外，但在集合与函数的教学中曾大量分类讨论思想渗透之下，得来也算是情理之中！常说题海无边，然而有了“放弃”就有岸！三、选择放弃，意味着退回起点，重新认识思维过程中的“放弃”，并不等于宣告问题失败。选择放弃，意味着退回起点，重新认识。这是思维过程中高层次的明智之举，也是培养提高思维有效性的教学策略。下面【例3】是必修2.4平面向量的数量积第二课时给出的问题，设计目标：考察学生思维的选择性。【例】已知向量=（2，0），=（2，2），= （，），则与夹角的范围是（ ）（A）0，（B）， （C），（
11、D），【学情分析】从问题的条件与结论看，很常见的思维方向是选择坐标法与向量夹角公式，即很快选择了就地深入，只是执行后很快发现，不仅小题大做了，而且求解陷入僵局，思维严重受阻：公式、方法、计算均无差错，就是很难再“深入”下去。【策略】（选择“深入”，代入向量夹角公式后，无法研究最值，从而思维受阻！结果失败。）由已知得：（2+，2+）,| =（至此，很难再“深入”。）【策略】（选择“放弃”，重新认识条件，考虑向量运算有两种方式，思维飞跃至向量的几何法。为此质疑：向量的几何意义，对于已知条件指什么？基于这一思维领悟过程，形成如下策略）xByOCA2A1如图，作向量与（探究：如何作？是否均未定？），为
12、定点，的轨迹为圆。（探究：所求夹角在图中何处？与范围有什么联系？）与圆相切时，与夹角取得最值。（探究：已知条件隐含了角的几何大小条件吗？），选择（）【点评】思维过程中的选择与决择，对于学习者来说，无疑是检验思维水平高低的一个重要标志。若无此意识（或灵活性方面的勇气不足，或者说心理上的所谓毅力不够），在解题的关口，只能选择“深入”，而继续下去，结果失败！可当我们学会选择“放弃”时，成功会来得更快【策略】的第二步计算推理，已基本能预测问题求解的复杂性，不放弃，意味着失败；选择“放弃”意味着重新选择。如何选择？退一步，即回到起点，向量如何运算？坐标法的失败，选择几何法，这就是本题的正解，有学生在完成
13、探究后，发现，即可选择答案！ 四、选择放弃，窥视一题多解的另类风景一题多解能否发挥作用？对于“多”必须有深刻的认识。其实一题多解不在方法多少，也不在方法孰优孰劣，笔者认为：这“多”最理想的是指数学思维的经历“多”，或在“多”经历不同方法的比较，甚至是对不同解法呈现方式的多元化！这样，才能描绘出一题多解作用的美丽风景线让学生学会把握思维选择中“深入或放弃”的机遇与策略的意义下，提供其思维过程，勇于展示，真正体验失败乃成功之母!【例】是学习平面向量数量积后，于数学课外阅读活动中，教师为学生提供的研究问题之一，章节小结时，我选用了此问题，其目标主要是检验学生分析与转化问题的能力。【例4】（04湖北）
14、如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.待添加的隐藏文字内容2【学情自述】（因只问想法，不管是否成功，未料学生竟说得更多地是遇到问题卡壳无奈而放弃！课堂活跃亦显冷静，随我将思考过程的困惑，尤如珍珠般串联如下时，学生惊奇地发现：这不就是问题解决的完整思维过程吗！？自认卡壳而确认失败者，只怨不明确“放弃”仅仅是思维方式上的一种策略：放弃失败，“放弃”时，只要稍加思考、观察、联系，完全又能“深入”，将问题进行到底！ 解法：（向量的几何法，解法过程略。）困惑：取值的最大值，需建立目标函数，但条件与的夹角，感觉相差甚远。(即心理差
15、距)困惑：面临问题，遇困难寻转化这是硬道理，作图发现：围绕点，和都在变，联系不明显，仍相差甚远。（这即思维缺陷：策略有方，能正视困难；支撑无力，无“法”寻找与各向量联系，缺失向量加法中“法则”联系深度开发！）困惑：观察图，若选择“深入”，需纵横联系：条件的向量化处理，寻找相关向量及运算联系点，条件“Rt”未用上：，或PQ以点A为中点未用好：只知。（这即思维缺陷中支撑缺陷：原理不熟，方法缺失等）困惑：进入向量运算式子后，大量联系已突破，但向量运算推算至如下细节： 因PQ以点A为中点未用好，而无法“深入”下去！图图【学情自述】（要求方式同上）解法2：(向量的坐标法，解法过程略。)困惑：因有“Rt”
16、条件，则选择坐标法（即“放弃”了几何法），如图，但由已知，难以解决各点的坐标。(即心理差距：坐标确定应该很快。) 困惑：引进，但，坐标仍无法确定，不知PQ以点A为中点与，坐标有何联系？（即思维缺陷中支撑缺陷：方法缺失，中点坐标公式深度开发）困惑：因，在动，坐标非常数，若设，也设字母？是否太多？（同上）困惑：求出后，面对二元二次式求最值，一时不知所措，竟然连已知条件的夹角也忘了联系。（即心理差距：二元最值不熟；夹角与最值直觉无联系；思维缺陷中支撑缺陷：设后与关系不明。）这些未经雕刻的“珍珠”，也许谈不上美，但它也因未经雕刻而真实、可信！它们是思维选择“放弃”时自然形成之“风景线”，更是选择“深入
17、”时，另类“风景线”：联系是“深入”的根本，转化是“深入”的前提与技能。放弃，是为了更好地“深入”，欲深入，你得学会“放弃”！这些是学习上的情感、欲望，这些是思维过程中的困惑与质疑，它们常常是被忽视、压抑着的，但是，一旦被释放出来就会转化为数学学习的热情。正如学生自悟自语：我喜欢数学课外阅读活动，它能让我从容地思考，并在问题的思考中了解与掌握一些思维方法。老师，你知道我们卡壳常在什么地方吗？若为解题不必去想，若想学点方法学会想，就不一样哪！比如【例】，我凭直觉应该用坐标法，但建立坐标系后，、的坐标，因一时未能用过原点来帮助解决字母太多的问题。于是，我又转向几何法。但还没开始，我还是坚持坐标法，
18、因脑海里还想着坐标！选择了“深入”，只须纵横联系寻找条件：是的中点的转化：、三点共线，中点坐标公式。现在想来，一题多解问题，不一定要多，重要地是理解好通法常解，这对我们大多数同学更有意义！理解得清楚一些，知道为什么会有如此想法更有价值。老师，你不是说：题海无边，学会“放弃”才是岸！我想啊，学会“深入”才见岸！参考文献：1 普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学、（必修）人教版北京：人民教育出版社2006，第二版。2 普通高中数学课程标准（实验）北京：人民教育出版社2003，年第一版。3 浙江省普通高中新课程实验学科实施意见 杭州：浙江教育出版社 2006，第一版。4 浙江省普通高中新课程实验学科教学指导意见 杭州：浙江教育出版社 2006，第一版。5新课程中教师行为的变化，傅道春编著北京：首都师范大学出版社200，第一版。
