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1、XXXX教育学科教师辅导讲义讲义编号 学员编号： 年 级：高二 课时数：学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期学员家长签名及日期课 题函数的图像与函数零点的运用授课时间： 备课时间： 教学目标函数图像及变换函数零点的概念，掌握用二分法求函数零点的近似值重点、难点函数图像的变换及其应用用二分法求函数的零点近似值考点及考试要求教学内容一讲解新课： 函数图像：平移变换：、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)； 2）y=f(x) y=f(x-h)；、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位
2、即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h； 2）y=f(x) y=f(x)-h。对称变换：、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= -f(x)、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= -f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x) x=f(y)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)。翻折变换：、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
3、 、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 伸缩变换：、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()例题讲解：例1作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x1)； (2)y=10|lgx|分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形解：(1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时，这是分段函数，每
4、段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当x1时，lgx0，y=10|lgx|=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出(见图7)说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围因此必须熟记基本函数的图象例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数的图象例2. 函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？答案：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）。课堂练习：1一次函数y=k
5、x+2k+1(x1，2)的图象在x轴上方，则k的取值范围是_.2利用函数图象判定方程=x+a有两个不同的实数解时，实数a的满足的条件.课后作业1. 下列图象中，能表示函数的图象是 （） A B C D2、函数yax2a与y（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）2AAB3、直角梯形OABC中ABOC、AB=1、OC=BC=2，1直线截该梯形所得位于左边图形面积为S，1C则函数S=的图像大致为（）2121211321212121 A B C D4函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）A4B3C2D112第5题图5图中的图象所表示的函数的解析式为（） 6已知函数满足，且当时，则与的图象的交点个数为
6、 （ ） A、2 B、3 C、4 D、57函数的图象是（ ）8曲线y=x23x关于x轴的对称图形所对应的函数是（ ）Ax=y23yBy=x2+3yCy=x23xDy=x2+3x9将y=2x的图象（ ）A先向左平移1个单位B先向右平移1个单位C先向上平移1个单位D先向下平移1个单位再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象.10设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x1)与y=f(1x)的图象关于（ ）A直线y=0对称B直线x=0对称C直线y=1对称D直线x=1对称答案：1.B 2 .D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9.D 10.D6由知函数
7、的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;当x5时，f(x)=10，1，yxO1-115log5x1, 与的图象不再有交点，故选C二函数与方程知识梳理一、函数的零点方程的实数根又叫做函数的零点。方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点；如果函数在区间上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间上有零点。二、二分法1如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间的中点；（
8、3）计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）-（4）三函数零点的理解函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线和的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程的根3关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；的值比较容易计算且；（2）根据函数的
9、零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即方程的根。热点考点题型探析考点1 零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点.例1 求函数的零点.题型2：确定函数零点的个数.例2 求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数.解题思路求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数就是求方程lnx2x 6=0的解的个数解析方法一：易证f(x)= lnx2x 6在定义域上连续单调递增，又有，所以函数f(x)= lnx2x 6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数即是求方程lnx2x 6=0的解的个数即求的交点的个数。画图可知只有一
10、个。名师指引求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点例3.设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C。（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x
11、轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围例4 (2007广东)已知a是实数,函数,如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。解题思路要求参数a的取值范围，就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为的系数，故要对a进行讨论 解析 若 , ,显然在上没有零点,
12、所以 . 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 则 或解得或综上所求实数的取值范围是 或 .名师指引二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据. 新题导练1（09年浙江五校联考）函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（ ）A；B；C；D解析 B；依题意得（1）或（2）或（3）显然（1）无解；解（2）得；解（3）得又当时，
13、它显然有一个正实数的零点，所以应选B2（中山市09届统测）方程的实数解的个数为 _ 解析 2；考点2 用二分法求方程的近似解例4（斗门一中09届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5560.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程的一个根位于下列区间的（ ）. A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D. （2.6，3.0）解题思路判断函数在各个区间两端点的符号解析由，故排除A；由，
14、故排除B；由，故可确定方程的一个根位于下列区间（1.8，2.2），所以选择C名师指引用二分法求方程的近似解的关键是先寻找使得函数在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。新题导练 3用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，这时可判断 解析 ，；由二分法知，这时，故考点3 根的分布问题例4 已知函数f（x）=mx2+（m3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围解题思路由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论解析（
15、1）若m=0，则f（x）=3x+1，显然满足要求.（2）若m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则m0； 都在原点右侧，则解得0m1，综上可得m（，1.名师指引二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论：方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小af（r）0.二次方程f（x）=0的两根都大于r二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）f（q）0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（
16、pq）新题导练1已知二次函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_. 解析 (3，） 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).2若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.解析 ；令，则依题意得，即，解得3.(2007韶关)若关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根，求实数a的取值范围.解析令t=2x，t0关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令f
17、(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)0,得a0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程fg(x)=0有且仅有三个解； (2) 方程gf(x)=0有且仅有三个解； (3) 方程ff(x)=0有且仅有九个解； (4)方程gg(x)=0有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（ )-aaxyy=g(x)Oa-a-aaxyy=f(x)Oa-aA 1;B. 2;C. 3;D. 48已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1，0)
18、内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.答案：1.解析 B；由于用二分法判断函数在区间上有零点的必要条件是，而从图可以看出，在区间 的两端的符号相同，故不能用二分法求出函数在这个区间上的零点2.解析 B；令，则，可见所在的区间是3.解析1；方程2x=2x的解可看作函数y=2x和y=2x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象（如下图）. 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.4解析 A；令，则，所以方程的解所在区间是（0，1）5.解析 ；令，则，故下一个有解区间为6.解析 A在同一坐标系中作出函数和的图象，发现，并且当时，7.解析 B；由图可知，由左图及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及gf(x)=0得，由左图知方程gf(x)=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及ff(x)=0得，又由左图得到方程ff(x)=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及gg(x)=0得，由右图知方程gg(x)=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B8.解析(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)
