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1、 拨开云雾见月明 求无棱二面角的一堂习题课 高中数学新课程以进一步提高学生的科学素养为宗旨，着眼于学生未来的发展把转变学生的学习方式，引导学生进行探究式学习，发展学生科学探究能力，帮助学生形成终身学习的意识和能力。随着新课程改革的不断深入，数学课堂教学更加强调教师对自己的角色定位，要求教师指导帮助学生养成良好的学习习惯，掌握学习策略,要为学生的学习兴趣建立接纳的、支持性的宽容的课堂气氛，要与学生分享自己的感情和想法等。那么，我们如何在数学教学中实施新课标，切实开展探究性学习？笔者在教学中进行了如下的实践和探讨。1 背景2005年上半年，我们高二学习了二面角的知识点。由于教材对二面角的处理只安排
2、了1课时，给师生一笔带过的感觉，绝大多数学生在一节课的时间内难以掌握，因此增加了几个课时对此内容进行巩固与提高。第一课时学习二面角的定义。第二课时学习作出二面角的平面角的三种作法：（1）垂面法即定义法（2）垂线法（3）三垂线定理法。第三课时学习面面垂直判定定理和性质定理。2 案例本节课是第四课时，安排了一节复习课，我参考了一个例题。 例：如图所示， ABC是一个等腰三角形，AB=AC， AD为底边BC上的高,E为AD上的点且AE：ED=1：2。过E作BC的平行线，交AB、AC于M、N，将AMN沿MN折起，使二面角K-MN-B大小为60。求证：平面KMN垂直平面KBC。此例是证明平面垂直平面。既
3、然能够证明，那么也能够求得这个角的大小，中间的求解过程中还可能用到面面垂直的判定定理以及二面角的各种求法。备课时我将结论改为求二面角MN-K-BC的大小。自己心里也没底，学生能否较容易地求得二面角的大小，怀着复杂的心情上课了。2.1 雾里看花，水中望月题目给出之后，学生们马上投入了极大的热情。阅读完题目，一个个皱眉头。刚刚接触无棱二面角，对他们来讲，既难又好奇。棱在哪里呢？无棱，对于以上提到的几个方法好像无法得到解决。有位名人讲过：把习题看作是精密研究的对象，而把解答习题看做作是设计和发明的目标。我让他们思考了五分钟，随后问到：学生们对于本题有何想法？（我并没有问如何来解，解的话，极可能会抹杀
4、一些可能的直觉的产生）。话音刚落，下面议论声起。从小声的议论中大致有如下可行的想法：1、作出一条棱再作角。2、猜想EKD为二面角的平面角证明并求之。3、可能两个半平面相互垂直，只需证明两个平面垂直就行。4、用两个法向量所成的角来表示（极个别学生的想法不错）。对以上几种想法，我肯定了他们，尤其是猜想。积极性得到肯定，他们兴奋不已，又拧紧眉头按照这几种思路继续苦苦思索。（积极性被极大的调动起来）2.2 直觉猜想，先拔头筹又过了五分钟，持1 、2想法的学生好像仍然苦思不得其解。持1想法的学生无法比较容易的作出一条棱来。而持2想法的学生也是苦于找不到作出棱的理由而不能说明两个半平面垂直棱，从而说明 E
5、KD为二面角的平面角。这两种想法的学生考虑到了一起。而持3 想法的学生好像已经面露微笑，可能已有了解题的策略了。这时我请了一个 持3 想法的学生甲回答。甲：我猜想 EKD 为二面角的平面角且为直二面角，不过我只需证明平面KMN平面KBC就行了，即EK垂直于平面KBC就行了。首先可以比较容易证明KED为二面角K-MN-B的平面角，即KED=60。 设 AE=，则KE=，ED=2则在KED中可用余弦定理求得KD=。所以 KED为直角三角形，且 EKD=900即 KEKD 易证 KE平面KBC 。这样由面面垂直判定定理知平面KMN平面KBC，即二面角为直二面角。我也抑制不住内心的高兴：真棒，猜想并证
6、明在本题中用得恰到好处。这样不就解决问题了嘛。对甲表扬之后，甲满面春风，一副胜利者的样子，我知道这个学生尝到了成功的喜悦。持3想法的学生解决了大家心中的呼之欲出却又悬而未决的疑惑。实际上，他的解法就是改编前的证明题。2.3 火眼睛睛，大海捞针看到甲的解答学生们有什么启发。我马上跟上一句。学生乙（数学尖子）立即发言：过K且与BC平行的直线l 即为两个平面的棱。为什么它就是棱呢？我问。乙答：因为BC/MN ，MN在平面KMN内，利用线面平行的性质定理可知交线l /BC，即为两个平面的棱。我也十分激动：厉害，乙的眼光犀利像面照妖镜，那条隐身的棱没有藏身之处了。我及时对这种做法作以肯定。学生们在理解的
7、同时对乙频频点头一片赞叹。这样就得到了棱，解决了“无棱”的尴尬。有了棱又怎么做？我又问。乙十分自信：这样确定 EKD为二面角的平面角，大小可以在 KED中可以得到解决。我也十分高兴：好，你的解法非常流畅。乙显得非常谦虚，笑眯眯的坐下了。我示意乙到黑板上进行板演解完之后，我不经意的说：是否还有其它作棱的方法呢？为什么翻折之后会无棱呢？怎样才会有棱呢？好多学生也若有所思。正在等我要引向其它的解题方法时，突然有人答上话来：老师，我找到了翻折后无棱的原因了。我看了一下原来是丙（动手能力较强）他说：由于三角形折起时已经无棱，所以折起后就无棱了。我想只要在原 ABC上再补上一个全等的AHB，使之成为一个平
8、行四边形ACBH，这样折起之后就有了棱。好，作棱的又一个好方法。照妖镜功力大增，那条棱现出原形，并且他的来龙去脉都一一呈现。我对他大大表扬。（用的方法是补形，这是我始料未及的）我和学生们抑制不住激动的感情，将雷鸣般的掌声送给了他。2.4 乾坤大挪移， 以不变应万变那么持有4 想法的学生有什么好的解法呢？看看向量能有什么样的神奇之处呢？我将思路引向另外一条路。学生丁站起来回答到：可以建立以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点E再作一条轴，确定空间直角坐标系。再确定点、的坐标则可求出两个半平面的法向量，通过研究这两个法向量的夹角来求二面角MN-K-BC。对，又是一个好方法，这样就避免了“无
9、棱”这个先天性缺陷。我说。可大多数学生却是一楞一楞，一头雾水不知所云何物。我微笑：真是很高深哪。请同学们自己来研究丁同学提到的法向量与二面角之间的关系。这时，同桌之间相互合作。一个学生固定好一个以书本为模型的二面角，另一个用两个笔作为法向量，兴致勃勃的研究起来。（笔尖还代表法向量的方向，十分形象生动）不一会，教室里面传来一片肯定的声音：丁学生的想法是正确的，它们的大小等于或就是二面角的补角。我便顺水推舟：请学生们自己用这个方法来解这个问题并注意点的坐标有正负.五分钟后，许多学生放下笔抬起头充满了期待。（为节约篇幅，以下简答）我请了一位程度较好的学生解答：容易求得平面KMN的一个法向量n=（0，
10、-，1），平面KBC的一个法向量m=（0， ，1） 而mn=0+（-1）+1=0 所以mn 即有平面KMN平面KBC。（中间在求K坐标的时候适当点拨了一下）我为他们的孜孜不倦感到高兴，又道：除了E点外也可以A、D为原点建立直角坐标系。学生们点点头又似乎感悟到了向量的无穷魅力离下课还有几分钟 ，请了一个学生作了一个总结。3 课后反思31 如何提高学生的解题水平我确信，分析典型例题的解题过程是学好数学、学会解题的一条有效途径，同时也看得更清楚为什么有好多用功的学生花了大量的时间来做题，而学习成绩总是提不上去。总是停留在一些知识型的水平，原因在于他们没有分析典型的例题，又没有分析自己的解题，从而没有
11、形成较强的解题能力。通过这样一个例题的变式，不仅介绍了求二面角的几个解法，而且给学生以充分的机会让他们自己去发现问题、解决问题，培养他们的直觉的产生、解题能力与情感。解题时充分暴露了解题的思维过程。怎样探究解题思路，怎样进行解题教学，揭示心理层面的不足,其数学价值与教育价值都十分重大。不仅对于教师自身有较大的提高，而且对于学生更是受益匪浅。32倡导直觉思维猜测并证明是我们数学发展史上的一大方法。猜想是一项思维活动，是学生有方向的猜测与判断，包含了理性的思考和直觉的推断,它也包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感。思维过程具有简约性、跳跃性。上文中持3 想法的学生甲作为猜想的
12、代表，他“看”出了 EKD 为二面角的平面角且为直二面角。思维简洁，解法简单。他的思维结果表现为顿悟，直接达到对数学现象本质规律的认识，因而直觉思维是一种创造性思维。牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发明。” 。培养学生的猜想意识，引导学生进行积极的猜想，正是培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端。 33交流与评价新课标中强调倡导积极主动、勇于探索的学习方式。力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。为了更有效的开展探究性学习，课堂教学中要积极开展多向交流与多元评价活动，营造探究的氛围，促进学生进行研究性学习。一方面，师生之间、
13、生生之间要通过交流讨论，促进相互沟通与了解，教师要及时了解学生的这些需求与不足，引导学生及时实行自我调节与纠偏。通过交流与讨论，发挥每个学生的特长和优势，达到集思广益，使学生学会如何倾听别人的意见，如何分享共同的成果，培养学生合作意识、团队精神和社交能力，使师生之间在互动中共同完成学习任务和学习方式的构建。另一方面，师生之间要通过评价，促进学生对探究过程和结果的反思，使学生对自己的认识过程进行再认识，从而诱发出新的想法和思路。深刻认识到知识从何而来？到哪里去？促进学生对认知过程和结果的最优化。所以，评价最重要的意图不是为了证明，而是为了改进。通过倾听、尊重和认同他人提出的不同观点和评议来修正和完善自己的认知结构。教学过程要组织学生自评、互评和共评，推动学生的学习由单独探究到互相探究再到共同探究，促进合作探究。对学生探究问题的创新思路和方法，老师和同伴要给予肯定与赞赏，激励学生的成功感和对今后学习的进一步追求,努力构建一个更加和谐的课堂，促进学生的可持续发展。参考文献1 数学课程标准（实验） 人民教育出版社2 张有德 宋晓平 数学教学中培养学生创新意识的若干途径 数学通报，2005，12
