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1、用图象法巧解临界问题 物理图象是形象描述物理状态、物理过程和物理规律的常用工具，是应用数学知识解决物理问题的一个重要方面。正确的物理图象，能给我们分析物理问题时提供直观清晰的物理图景，图象往往能把与问题相关的多个因素同时展现出来，这样，既有助于我们在分析问题时对相关的基本概念、基本规律的理解和记忆，也有助于我们正确地把握相关物理量间的定性关系乃至定量关系，有的问题甚至通过图象便可直接得到解答。图象法在处理临界问题时往往可以把繁杂的数学推导简化，其作用体现得尤为突出。下面就举例说明利用图象法处理几类临界问题，由此来体味其在处理临界问题时的巧妙之处。vOAL图一一、用图象法巧解最大射程问题例题1：
2、在仰角30o的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图一所示，运动员从高处滑下，能在O点借助于器材以与水平方向成角的速度v跳起，最后落在坡上A点。假如v的大小不变，那么以怎样的角起跳能使OA最远？最远距离为多少？vtOALgt2/2B900-900-图二解析：将运动员的运动看成与水平成角的匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动，如图二所示，在三角形OAB中用正弦定理有：vt/sin（90o-）（gt2/2）/sin（+）L/sin（90o-）解上方程组可以得到：Lv2sin（2）sin/gcos2当290o时，也即45o/2时，有最远距离：Lmv2sin1/gcos2例题2：在离水平地面高为h的地方，以一
3、定的速率v0抛出一石子，不计空气阻力，试求应以多大的仰角将石子抛出，才可使其水平射程最远？解：设石子落地时速度大小为v，则根据机械能守恒定律有：vv0gt图三mv02/2mghmv2/2 可得：v(v022gh)1/2可见不管沿何方向抛出石子，石子落地速度的大小都为同一个确定的值。又设石子在空中运动的时间为t，则根据运动学公式应有：vv0gtv、v0、gt三个矢量组成一个封闭三角形，如图三所示，其中gt沿竖直向下的方向，表示v0与水平方向的夹角。由抛体运动公式可知石子的水平射程为：xv0cost而图三所示的面积为：Sv0cosgt/2比较以上两式可得：x2S/g显然，要x最大，则需S最大。由于
4、v0和v的大小都是确定的，故当两者互相垂直时，它们所围成的三角形面积最大，此时角应满足：tgv0/vv0/(v022gh)1/2即当抛射仰角arctg v0/(v022gh)1/2时，石子的水平射程最远。二、用图象法巧解相遇的临界问题 例题3：一辆邮车以v10m/s的速度沿平直的公路匀速行驶。在离此公路d50m处有一个邮递员，当他与邮车的连线和公路的夹角tg1（1/4）时开始沿直线匀速奔跑，如图四所示。已知他奔跑的最大速度为5m/s。试问：d图四（1）他应向什么方向跑，才能尽快与邮车相遇？（2）他至少以多大的速度奔跑，才能与邮车相遇？解析：（1）以邮车为参照系，邮递员欲在最短时间内与邮车相遇，
5、其相对速度v人地必须指向邮车，且应以最大速度v5m/s奔跑。由相对运动公式可知：v人地v人车v车地在图五中的矢量三角形中，v车地 的大小和方向都是确定的，v人地 的大小确定（5m/s）、方向可变，v人车的方向确定（指向车）、大小可变。以O点为圆心，以v人地 的大小为半径作圆，与v人车的平行线交于B、C两点，OB便是v人地 的方向。OABv车地v人地v人车图五在三角形AOB中，用正弦定理有：v车地/sinv人地/sin 已知tg1/4，即sin1/(17)1/2,代入上式可得：sin2/(17)1/2所以当邮递员以最大速度5m/s，沿着与公路的夹角：tg1（1/4）sin1(2/17)1/2的方
6、向奔跑时，就能在最短时间里与邮车相遇。（2）如图五可知，当OB与AB垂直时，OB具有最小值，当90o时v人地具有最小值。最小值为： v人地v车地sin5/(17)1/2（m/s）所以，当邮递员沿着与公路的夹角：90o90otg1（1/4）的方向奔跑时，他能以最小速度5/(17)1/2（m/s）与邮车相遇。tsOA2v0/g4v0/g6v0/gt图六B例题4：从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔t时间后再以初速度v0竖直上抛物体B，要使A、B在空中相遇，t应满足什么条件？ 解析：依题意作出两物体竖直上抛运动的s - t图，如图六所示。实线A：表示A物体从0时刻开始竖直上抛，经t14v0 /
7、g落回地面；实线B：表示经t时间后B开始竖直上抛。两物体要相遇的条件是相同时刻两物体具有相同的位移，即两实线要有交点。由于B物体在空中运动的时间t22v0 /g，依此作出两虚线：表示B要想与A相遇的临界条件，即B在t2v0 /g时刻上抛，在落地时与A相遇，和B在t4v0 /g时刻上抛，在抛出时与A相遇。由图像可直接看出t满足关系式2v0 /g t 4v0 /g时，A、B可在空中相遇。ABCG图七七三、用图象法巧解力的平衡的临界问题例题6： 如图七所示，横梁（自重不计）的一端用铰链固定在墙壁上的A点，另一端B用绳子悬挂在墙壁上的C点，当重为G的物体由挂在B处逐渐向A移动的过程中，横梁始终保持静止
8、，问此过程中，A点处的铰链对横梁的作用力F和CB绳的拉力T将如何变化？F的最小值为多少？解析：横梁受三个力作用，即：悬挂重物的绳对它的拉力G，BC绳对它的拉力T和铰链对它的作用力F，由于此三力互相平衡，则此三力必共点。G与T的作用线必交在BC线上，则F也必然指向这一交点，当G由B移向A时，上述交点则沿绳BC由B移向C，对应的F的方向则是由水平向右逐渐向竖直向上靠拢。T待添加的隐藏文字内容2GF1F2F3F4图八作出表示横梁所受三力的矢量组成的封闭三角形如图八所示，由上分析可知，当所挂重物由B逐渐移至A时，铰链对横梁的作用力F可依次用图中的矢量F1、F2、F3、F4表示，由图可见，CB绳对横梁的
9、拉力T则是由大一直变小，其方向总是沿BC方向；在这一变化的过程中，铰链对横梁的作用力是先变小后变大，其方向是由水平逐渐变为竖直，当此力的方向与BC垂直时，此力的值最小，最小FminGsin。四、用图象法巧解最短时间问题 例题7：在一竖直平面内有一圆环及一点A，如图九所示，今有一质点自A点由静止出发沿一光滑斜面滑至环上，问斜面应沿何方向架设才可使质点滑行的时间最短？ABCDE图九GF解析：假设有某一倾角为的斜面AB，如图九所示，并作AB延长线交环周于另一点C，再过C点作水平线与A点的竖直线交于D点。作切线AG，G为切点，则AG为恒量。设质点由A滑至B所用的时间为t，质点下滑的加速度为a，则：ag
10、sinABat2/2所以：t22AB/ gsin2ABAC/gAD由圆的切割线定理有：ABACAG2可得：t22AG2/gAD可见要t最小，即需t2最小，其条件是AD应尽可能大。由图可知，D点的极端位置对应于将C点移至圆环的最低点F而得，由此得知，应将此斜面沿AF连线方向架设，才可使质点滑行的时间最短。ABAC图十五、用图象法巧解光路行进问题例题8：如图十所示，人在地面上的A点，其前面有一堵墙，现要求人以大小为V的走向墙壁，然后以相同的速度在回到B点，试确定该人以什么样的路线行走所耗最短的时间？解析：光路是自然界中的最具特点的路线，其所走的路程总是最短的，所耗的时间总是最短的。所以有光路最短原理。如图十所示，由平面镜成像原理，作A点关于墙面的像A，连接AB交墙面于C点，连AC，CB则ACB为人所应该走的最小时间的路线。
