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1、平行四边形讲义平行四边形】例 1如图，已知 ABCD 中， M 是 BC 的中点，且 AM=9,BD=12,AD=10, 则该平行四边 形的面积为 （平移 AM ，使分散的条件集中到一个三角形中）例 2 如图 ABCD 中， DAB=60 0，点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上 ，且 AE=AD,CF=CB （1） 求证：四边形 AFCE 是平行四边形；（2） 若去掉已知条件的“ DAB=60 0”，上述的结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若 不成立请说明理由例3 如图，ABC 中，C=90 0，点M在BC上，且BM=AC ，点N在AC 上，且AN=MC,AM 与 BN 相交于点 P
2、 ，求证 BPM=45 0（条件给出的是线段的相等关系，结论是求角的度数，条件中国有直角和相等的线段，联想到等腰直角三角形；故平移 AN, 构造平行四边形 ）例 4 四边形 ABCD 中， AB=BC=CD ， BAD 和 CDA 都是锐角， 点 P 是对角线 BD 上一点， PQAB 交 AD 于Q，PS BC交 DC于S，四边形 PQRS也是平行四 边形.1）当P于点 B重合时，图（1）变为图（2），若 ABD=90 0，求证 ABR CRD（用不同的方法）2）对于图（ 2）若四边形 PRDS 也是平行四边形，此时 还应满足什么条件？例5.四边形 ABCD 中,DB 交AC 于P,EF过
3、P点分别交 AD 、BC于E、F，且 PE=PF，PA+AE=PC+CF. 求证： PA=PC.矩形、菱形】例6如图，矩形 ABCD 中对角线相交于 O，AE 平分 BAD 交 BC 于 E， CAE=15 0，则 BOC=例 7如图，四边形 ABCD 是菱形， AEF 是正三角形，点 E、F 分别在边 CB、 CD 上，且 AB=AE, 则 B=( )A.600 B.800C.1000D.120 0例 8 矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 B 落在 AD 上的 B1 处，点 落在 A 1处 .1）求证： B1E=BF2）设 AE=a，AB=b ，BF=c，试猜想 a,b,c 之间有何等
4、量关系，并证明。 2008 年湖北省咸宁市）如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边例 9上的一个动点，过点 O作直线 MNBC，设 MN 交BCA 的角平分线于点 E， 交 BCA 的外角平分线于点 F1）求证： EO=FO ；2）当点 O 运动到何处时，并证明你的结论四边形 AECF 是矩形？例 10 山东东营）如图2，四边形 ABCD 为矩形纸片把纸片ABCD 折叠，使点 B恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为AF若 CD 6，则 AF 等于A）4 3 （B）3 3（C） 4 2D）A图2例 11 （威海市）将矩形纸片3，则 BC 的长为A 1 B 2C 2答案： D【正方形】AB
5、CD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF 若 ABD C例 12 正方形的边长为 8，M的最小值是多少？在 DC 上，且 DM=2 ，N 是 AC 上的一个动点； 则 DN+MN例 13 海南省） 如图， P 是边长为 1的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（ P与 A、C不重合），点 E 在射线 BC上，且 PE=PB.1）求证： PE=PD； PEPD；2）设 AP=x, PBE的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；例14 （08武汉）正方形 ABCD 中， O是对角线 AC 的中点， P是对角线 AC 上的一 动点，过 P作PFDC于F.如图，当
6、点 P与点 O重合时，显然有 DF=CF.1）如图 2，若点 P在AO上（不与点 A，O重合），PEPB且PE交CD于点 E. 求证： DF=EF ；写出线段 PC、 PA、CE 之间的一个等量关系式，并证明你结论.2）若 P在线段 OC上（不于 O，C重合），PEPB且PE交直线 CD于点 E.请完成图 3， 并判断（ 1）中的两个问题是否分别成立？若不成立写出相应的结论.例 15 如图，在正方形 ABCD中， E是 AB上一点， F是 AD延长线上一点，且 DFBE求证： CE CF；在图 1 中，若 G在 AD上，且 GCE45，则 GEBE GD成立吗？为什么？ 运用解答中所积累的经验
7、和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形 ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是 AB上 一点，且 DCE45， BE4，求 DE的长图1图2例小明在研究正方形 ABC 的有关问题时，得出“在正方形 ABCD 中，如果点 E是 CD 的中点，点 F 是 BC 边上的一点，且 FAE= EAD ，那么 EFAE ”。小明是一个善于提问 题的同学，他想：若把正方形 ABCD 改为矩形，其他的条件不变，是否还有EF AE 的结论呢？请你对上述的两个问题作出解释。 按照上述的思路你会进一步提出什么问题？并对你提出的问题给予解释。考虑在菱形中， 在一般的平行四边形中的情形； 进一步研
8、究图形还会发现与四边形 AFCD有关的结论：AF 与 CF、 AD 的关系）梯形】例 16 ：梯形 ABCD 中， AB DC， ADC+ BCD=90 0，且 DC=2AB ，分别以 DA，AB，BC 为边 向梯形外作正方形，其面积分别为 S1， S2，S3，求 S1，例 17(2008 年甘肃省白银市)如图 (1)是一个等腰梯形，由1)样的等腰梯形恰好可以拼出如图 (2)所示的一个菱形对于图 (1) 中的等腰梯形，请写出它的 内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：例 18 如图，直角梯形ABCD 中，A=B=900，AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm, 动点 P从A 开
9、始沿 AD 边向 D 以 1cm/ 秒的速度运动，动点 Q 从 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/秒的速度运动，P、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运 动时间为 t秒，求( 1)t为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？( 2)t为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？例 19 .等腰梯形 ABCD 中， DC AB ，AD=BC ，对角线 ACBD 于 O，若 DC=3cm,AB=8cm, 求BC=5，这个梯形的面积。例 20已知梯形 ABCD ，AD BC，ABC=90 0，AD=3 ，DC 旋转 900得线段 DE ，求 AD
10、E 的面积。根据 AB 长的不确定，在特殊情况下探索三角形的面积，在一般情况下给出证明。利用的 数学思想是 ： 一般与特殊的关系 )中点相关的问题】1.任意四边形各边中点的连线是什么图形？当得到的四边形是矩形、菱形时，原四边形应满 足什么条件？2如图，矩形 1111的面积为，顺次连结各边中点得到四边形2 2 2 2 ，再顺次连结四边形 22 2 2 四边中点得到四边形 333 3 ，依此类推，求四边形 nn n n的面积是13.如图， ABC 中， CD 是 AB 边上的高， D 为垂足， M 为 AB 中点， DM= AC ，求证： 2A=2B4如图，已知四边形 ABCD 中， R、P分别是
11、 BC、CD 上的点， E、F 分别是 AP、 RP的中点，当点 P在CD上从 C向D移动而点 R不动时， 那么下列结论成立的是A、线段 EF的长逐渐增大B、线段 EF 的长逐渐减小C、线段 EF的长不变D、线段 EF的长与点 P 的位置有关5（. 2008乌鲁木齐） 如图，在四边形 ABCD中，点E是线段 AD上的任意一点 （E与 A，D 不重合）， G，F，H 分别是 BE， BC，CE 的中点（1）证明四边形 EGFH 是平行四边形；1（2）在（1）的条件下，若 EF BC，且 EF BC ，证明平行四边 2形 EGFH 是正方形6.ABC中， CD=AB ， ADB= BAD ，AE是
12、 ABD 的中线，求证： AC=2AE.7.梯形 ABCD 中， ADBC， CAD=60 0，AC与BD交于 O，E是 OD中 点， F是OC的中点， G是AB 的中点。求证： GEF是等边三角形8. 梯形 ABCD 中， AD CB ， B+ C=900， 则 EF 的长是多少？AD=1 ，BC=3， E，F分别是 AD，BC 的中点，9. 平行四边形的两条对角线的长分别为4， 6.则其边的取值范围是 10. （2007 山东临沂）如图，在四边形ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还应满足的一个条 件 答案：
13、 AD BC，或 ABCD 为等腰梯形（答案不唯一）11. AEB 及AFC 是直角三角形， AEB= AFC=90 ， ABE= ACF ， M 是BC 的中点，探究 ME 和 MF 的大小关系12. D在AB 上，E在 AC 上，BD=CE ，M 是BE中点，N是CD 中点.M，N交B于P交AC于 Q.求证： APQ= AQP13.如图，M，N，P，Q分别是五边形 ABCDE 的边的中点， O是PQ的中点，K是MN 的中点，探究线段 OK 与 BC 的关系 .练习】1.（08潍坊）如图， ABCD 为平行四边形， AD=a，BEAC，DE交AC 的延长线于点 F，BE 于 E 点 .（1）
14、求证： DF=FE ；（2）若 AC=2CF ， ADC=60 ， AC DC ，求 BE 的长； （3）在（ 2）的条件下，求四边形 ABED 的面积 .2.已知， D，E 分别是正 ABC 的 BC ，AB 边上的点，且 连接 EF。（ 1） 判断四边形 CDFE 的形状。（2） 当 EFD=30 0时，求 D 点的位置。CD=BE ，以 AD 为边作正 ADF ，拓展到正方形中）3.如图，以 ABC 的三边 AC，BC，AB 为边作等边 ACD ，等边 BCE ，等边 ABF，使D，A， F，E 在 BC 的同侧。（ 1） 试判断四边形 ADEF 的形状，并说明理由（ 2） ABC 满足
15、什么条件时， 四边形 ADEF 是矩形？菱形？（ 3） ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 不成在？4 . 如图,四边形 ABCD中,若AB=BC， ABC=CDA=900，BEAD于点 E， s四边形ABCD =8，则BE的长为（）（A）2（B）3（C） 3（D） 2 25.一个等腰梯形有三条边的长分别为2，3，8；求这个梯形的周长。6.菱形 ABCD中， AE垂直平分 BC ，垂足为 E， AB 4cm那么，菱形 ABCD 的面 积是 ，对角线 BD 的长是 7、（甘肃陇南）四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG（ 1）求证： AE=CG；（ 2）观察图形，猜想 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想
