《1.换序分析证明立体几何中的垂直关系.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.换序分析证明立体几何中的垂直关系.doc（3页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)换序分析证明立体几何中的垂直关系立体几何中的基本问题一 立体几何中的垂直关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直和平面与平面垂直等三种;垂直关系是立体几何的核心,无论如何强调垂直关系在立体几何中的地位都不过分,因此,垂直关系是高考的重点;寻找证明垂直关系途径的有效方法是换序分析.母题结构:立体几何中的换序分析法.母题解析:直线与平面垂直和平面与平面垂直都要转化为直线与直线垂直,因此,直线与直线垂直是立体几何中的垂直关系的核心,换序分析法从直线与直线垂直开始:直线a直线bba(换序)bm,且bn
2、(m,n是与a共面的相交直线)mb,且nb(换序)直线与直线垂直转化为直线与平面垂直,如此下去,直到已知或基本结论. 1.直线与直线垂直 子题类型:(2012年陕西高考试题)()如图,证明命题“a是平面内的一条直线,b是外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ab,则ac”为真.()写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明).解析:()记cb=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO,垂足为O,则Oc;由PO,aPOa;又aba平面PAOac;()逆命题为:“a是平面内的一条直线,b是外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ac,则ab”.逆命题为真命题.点
3、评:本题的实质是立体几何中直线与直线垂直的核心:三垂线定理,三垂线定理是成语“形影不离”的最恰当的注释;证明线线垂直的一般程序是:换序分析,即要证ab,去证ba;线面转换,即要证ba,去证b过a的某一平面. 2.直线与平面垂直 子题类型:(1983年全国高考试题)如图,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上,M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于NSC,求证:SC垂直于截面MAB.解析:由SC截面MABSCAB,且SCMD;其中:SCABABSCAB平面SCDABCD(己知),且ABSNSNABSN平面ABC(己知),即成立;由AB平面SCDMDC是截面MAB
4、与底面所成的角MDC=NSCCMD=CNS=900SCMD,即成立.综上,SC垂直于截面MAB.点评:证明线面垂直的一般程序是:面线转换,即要证a平面,去证a平面内的两条相交直线m,n,转化为线线垂直的问题;换序分析,即要证am,去证ma;线面转换,即要证ma,去证m过a的某一平面. 3.平面与平面垂直 子题类型:(2008年江苏高考试题)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,ADBD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:()直线EF面ACD; ()平面EFC面BCD.解析:()由E,F分别是AB,BD的中点EFAD,又EF平面ACD,AD平面ACD直线EF面ACD;()因平面EFC面BCD
5、EF面BCDEFBD,且EFFC;其中:由EFAD,ADBDEFBD,即成立;由EFFCBDFC,而CB=CDCFBD,即成立.综上,平面EFC面BCD.点评:证明面面垂直一般有两种思路:面线转换,即要证平面平面,去证平面内的某条直线a平面,转化为线面垂直的问题,这条思路的难点是要有较强的几何直观;面面转换,即要证平面平面,只需证平面平面,而平面平面是已知的,或易证的. 4.子题系列:1.(1993年全国高考试题)已知平面平面=直线a,同垂直于平面,又同平行于直线b.求证:()a;()b.2.(1980年全国高考试题)直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A)
6、,直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.3.(2010年北京高考试题)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EFAC,AB=,CE=EF=1.()求证:AF平面BDE;()求证:CF平面BDF.4.(2014年山东高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.()求证:AP平面BEF;()求证:BE平面PAC.5.(1981年全国高考试题)ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱,过A、C、B1三点作一截面,求证:截面ACB1对角面DBB1D1.6.(1
7、986年全国高考试题)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任一点.求证:平面PAC垂直于平面PBC. 5.子题详解:1.解:()如图,设=AB,=AC,在内任取一点P并于内作直线PMAB,PNAC;由PMPMaaPM;同理可得:aPNa;()于a上任取点Q,过b与Q作一平面交于直线a1,交于直线a2;由bba1;同理可得:ba2a1,a2同过Q且平行于ba1,a2重合于aba;由ab.2.解:假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于NPA与PB重合B点与A点重合,但这与题设“不同于A”矛盾,所以平面N与平面M相交;由PA平面MPA交线l;由PB平面NPB交线
8、l交线l平面PAB交线lAB.3.解:()设AC与BD交于点O,由AB=OA=OC=1AO=EF=1;又EFAC四边形AOEF是平行四边形AFOEAF平面BDE;()由平面ABCD平面ACEF,BDACBD平面ACEFBDCF;又CE=EF=1四边形OCEF是菱形CFOE CF平面BDF.4.解:()设AC与BE交于点O,由ADBC,BC=ADBC=AE四边形ABCE是平行四边形O是AC的中点,又F是PC的中点OFAPAP平面BEF;()由AP平面PCDAPCD,又BECDAPBE;由AB=BC平行四边形ABCE是菱形BEACBE平面PAC.5.解:在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,由BB1平面ABCDBB1ACACBB1;又在底面正方形ABCD中,ACBDAC对角面DBB1D1截面ACB1对角面DBB1D1.6.解:由PA垂直于圆O所在的平面PABCBCPA;由AB是圆O的直径BCACBC平面PAC平面PBC平面PAC平面PAC垂直于平面PBC.
