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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)转化分析证明立体几何中的平行关系立体几何中的基本问题二 平行关系是立体几何中的垂直位置关系外的另一重要位置关系,平行关系包括直线与直线平行、直线与平面平行和平面与平面平行等三种;在三种平行关系中,直线与直线平行是其核心,寻找证明平行关系途径的有效方法是转化分析.母题结构:立体几何中的转化分析法.母题解析:证明平行关系的本质是三种平行关系的相互转化,三种平行关系的相互转化关系如表: 转化分析法是解决位置关系(平行与垂直)问题的通法,也是立体几何的基本思想;对转化分析法不仅要把握“平行”,“垂直
2、”内部之间的相互转化,还要领悟掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化. 1.直线与直线平行 子题类型:(2007年安徽高考试题)如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD,DD1=2.求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面:解析:由DD1平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD平面A1B1C1D1平面ABCDA1D1AD,C1D1CD;设AC与BD的交点为O,AD、BC的中点分别为E、F,则A1D1平行且等于DE,C1D1平行且等于DFA1E平行且等于DD1,C1F平
3、行且等于DD1A1E平行且等于C1FA1C1EF,又因EFACA1C1ACA1C1与AC共面;作B1H平面ABCD于点H,则A1E、DD1、C1F与B1H均平行、相等,且垂直于平面ABCD四边形DEHF为正方形点H与点O重合B1D1BDB1D1与BD共面.点评:在高考中,直线与直线平行的一个典型问题是证明四点共面;根据公理3,四点共面一般转化为直线与直线平行. 2.直线与平面平行 子题类型:(2007年山东高考试题)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.()求证:D1CAC1;()设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1B
4、D,并说明理由.解析:()在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,由DC=DD1四边形DCC1D1是正方形DC1D1C;又ADDC,ADDD1AD平面DCC1D1ADD1CD1C平面ADC1D1CAC1;()设AD1A1D=M,BDAE=N;要使D1E平面A1BD,需使MND1E;又M是AD1的中点N是AE的中点E是DC的中点;所以,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.点评:证明直线与平面平行是高考的热点,一般思路是证明该直线与平面内的某一条直线平行,其中的关键是寻找平面内的某一条直线,常见思路是寻找过该直线的某一平面与已知平面的交线. 3.平面与平面平行 子题类型:(2013年江苏高
5、考试题)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB,过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:()平面EFG平面ABC;()BCSA.解析:()由AS=AB,AFSBF为SB的中点;又点E,G分别是SA,SC的中点EFAB,FGBC平面EFG平面ABC;()由AFSB,平面SAB平面SBCAF平面SBCAFBC,又ABBCBC平面SABBCSA.点评:证明面面平行的一般思路是证明某一平面内的两条相交直线与另一平面平行,从而转化为线面平行的问题. 4.子题系列:1.(1984年全国高考试题)已知三个平面两两相交,有三条交线.求证:这三条交线交于
6、一点或互相平行.2.(2007年江苏高考试题)己知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.求证:E、B、F、D1四点共面.3.(2011年北京高考试题)如图,在四面体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.()求证:DE平面BCP;()求证:四边形DEFG为矩形;()是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.4.(2011年山东高考试题)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,BAD=600
7、.()证明:AA1BD;()证明:CC1平面A1BD.5.(2010年辽宁高考试题)如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CA1B.()证明:平面AB1C平面A1BC1;()设D是A1C1上的点,且A1B平面B1CD.求A1D:DC1的值.6.(2012年山东高考试题)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.()求证:BE=DE;()若BCD=1200,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC. 5.子题详解:1.解:设三个平面为,且=c,=b,=a;若ab=P,则P,PP,PP=c三条交线交于一点;若ab,则a,又a,=cac三条交线互
8、相平行.2.解:在DD1上取一点N使得DN=1,则四边形CFD1N是平行四边形D1FCN;同理四边形DNEA是平行四边形ENAD,且EN=AD,又BCAD,且AD=BCENBC,EN=BC四边形CNEB是平行四边形CN/BED1FBEE、B、F、D1四点共面.3.解:()由D,E分别是棱AP,AC的中点DEPC,又DE平面BCP,PC平面BCPDE平面BCP;()由DEPC,同理可得GFPCDEGF;同理可得DGEF四边形DEFG是平行四边形;又由PCABDEEF平行四边形DEFG为矩形;()设PC,AB的中点分别是M,N,DF与EG的交点为Q,由四边形DEFG为矩形QD=QE=QF=QG;又
9、由PABC四边形MEGN为矩形QM=QN=QE=QG存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等.4.解:()由D1D平面ABCDD1DBD;由AB=2AD,BAD=600BDADBD平面ADD1A1BDAA1AA1BD;()设AC与BD交于点O,由底面ABCD是平行四边形O是AC的中点;由平面ABCD平面A1B1C1D1,且这两个平面同时都和平面ACC1A1相交A1C1AC;由AB=2AD,AD=A1B1AB=2A1B1AC=2A1C1A1C1=OC四边形A1OCC1是平行四边形CC1OA1,又CC1平面A1BD,OA1平面A1BDCC1平面A1BD.5.解:()由侧面BCC1B是菱形B1CBC1,又已知B1CA1BB1C平面A1BC1平面AB1C平面A1BC1;()设BC1交B1C于点E,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线,由A1B平面B1CDA1BDE,又E是BC1的中点D为A1C1的中点A1D:DC1的值=1.6.解:()设BD的中点为O,由CB=CDBDOC,又ECBDBD平面OCEBDOEBE=DE;()取AB中点N,则DNAB,由M是AE的中点MNBE;由BCD=1200CBD=300CBABDNBC平面DMN平面BECDM平面BEC.
