2.5平面向量应用举例（教、学案）.doc

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1、2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教学重点难点

2、重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本

3、节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为重心,则+= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布

4、置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。）（三）合作探究、精讲点拨。探究一：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设,，则（平移），（长度）向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等把运算结果翻译成几何关系本节课，我们就通过

5、几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD求证：分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积注意到， ，我们计算和证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2得 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。师：由于向量能够运算，因此它

6、在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量。例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC

7、之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可解：设a，b，则a+b由与共线，因此。存在实数m，使得 =m(a+b)又由与共线因此 存在实数n，使得 =n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b不共线，所以有，解得所以同理于是所以ARRTTC说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些问题是为

8、什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释解：不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，

9、|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：为何值时，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸（用几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响）解：=(

10、km/h)，所以， (min)答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s;(2)计算s在方向上的投影。九、板书设计2.5 平面向量应用举例例 用向量法解平面几何 例2 变式训练 问题的“三步曲” 例3. 例4 变式训练 十、教学反思本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师

11、创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.十一、学案设计（见下页） 临清三中数学组 编写人：赵娜 审稿人： 刘桂江 李怀奎2.5平面向量应用举例课前预习学案一、 预习目标预习平面向量应用举例，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。 二、 预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3 例3中，为何值时

12、，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|吗？为什么？三、 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程探究一：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）举出几个具有线性运算的几何实例例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD求证：试用几何方法解决这个问题利用向量

13、的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量。例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角

14、越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？ 请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：为何值时，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在方向上的投影。三、 反思总结结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解

15、决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。四、 当堂检测1.已知，求边长c。2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。3.在平面上的三个力作用于一点且处于平衡状态，的夹角为，求：（1）的大小；（2）与夹角的大小。课后练习与提高一、 选择题1.给出下面四个结论： 若线段AC=AB+BC，则向量； 若向量，则线段AC

16、=AB+BC； 若向量与共线，则线段AC=AB+BC; 若向量与反向共线，则.其中正确的结论有 （ ）A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）A.10 B. C. D.123.在中，若=0，则为 ( ）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定二、填空题4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为 5.已知，则、两两夹角是 32 简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一

17、步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】 教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入：复习倍角公式、 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以表示解析：我们可以通过二倍角和来做此题（二倍角公式中以a代2a，代a）解：因为

18、，可以得到；因为，可以得到两式相除可以得到点评：以上结果还可以表示为： 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定。降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练1：求证积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：例2：求证：（）；（）解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。证明：（）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手；两式相加得；即；（）由（）得

19、；设，那么把的值代入式中得点评：在例证明中用到了换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式变式训练2：课本p142 2（2）、3（3）例、求函数的周期，最大值和最小值解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。解： ，所以，所求的周期，最大值为，最小值为点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用变式训练3：课本p142 4、（1）（2）（3）探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、

20、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用作业布置：课本p143 习题3.2 A组1、（1）（5） 3 、5 待添加的隐藏文字内容3 临清三中数学组 编写人：魏延杰 审稿人： 刘桂江 李怀奎32 简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。二、预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：Cos(+)= Cos(-)=sin(+)= sin(-)=tan(+)= tan(-)= sin2= tan2= cos2=2、阅看课本P139-141例1、2、3。三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，

21、请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。 学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例1） 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、2与有什么关系？

22、与/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。 2、半角公式中的符号如何确定？ 3、二倍角公式和半角公式有什么联系？ 4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例2） 请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？ 2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3） 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。1、例3的过程中应用了哪些公式？ 2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化

23、为形如y=Asin(x+)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值 三、反思、总结、归纳： sin/2= cos/2= tan/2= sincos= cossin= coscos= sinsin= sin+sin= sin-sin= cos+cos= cos-cos=四、当堂检测： 课本p143 习题3.2 A组1、（3）（7）2、（1）B组2 课后练习与提高一、选择题：1已知cos（+）cos（）=，则cos2sin2的值为（ ）ABCD2在ABC中，若sinAsinB=cos2，则ABC是（ ）A等边三角形B等腰三角形C不等边三角形D直角三角形3sin+sin=（coscos），且（0，），（0，），则等于（ ）ABCD二、填空题4sin20cos70+sin10sin50=_5已知=，且cos+cos=，则cos（+）等于_三、解答题6已知f（x）=+，x（0，）（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值