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1、 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。（1）函数的最小正周期是（ ）。 A. B. C. D. （2）圆的圆心到直线的距离是（ ）。 A. B. C. 1 D. （3）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. （4）在内，使成立的x取值范围为（ ） A. B. C. D. （5）设集合，则（ ） A. B. C. D. （6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。 A. B. C. D. （7）函数是奇函数的充要条件是（ ） A.ab=0 B. a+b=
2、0 C. a=b D. （8）已知，则有（ ）。 A. B. C. D.（9）函数 A. 在（）内单调递增 B. 在（）内单调递减C. 在（）内单调递增 D. 在（）内单调递减（10） 极坐标方程与的图形是（ ）。 （11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）。 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议政府工作报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“”期间（2001年2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“”末，我国国内生产总值约为（ ）。 A. 115 0
3、00 亿元 B. 120 000亿元 C. 127 000亿元 . 135 000亿元二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）椭圆的一个焦点是（0，2），那么k= 。（14）的展开式中项的系数是 。（15）已知，则 。（16）已知函数那= 。三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知复数，求实数a,b使（18）（本小题满分12分）设为等差数列，为等比数列，分别求出及的前10项的和及。（19）（本小题满分 12分）四棱锥的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD （I）若面PAD与面AB
4、CD所成的二面角为，求这个四棱锥的体积； （II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于。（20）（本小题满分12分）设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。（I）求直线AB的方程。（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、 D四点是否共圆？为什么？（21）（本小题满分12分，附加题满分4分）（I）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。 （II）试比较你
5、剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。 （22）（本小题满分14分）已知，函数；（I）当b0时，若对任意都有，证明；（II）当b1时，证明：对任意，的充要条件是；（III）当时，讨论：对任意，的充要条件。2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解
6、法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。 （1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C二. 填空题：本题
7、考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16 分。 （13）1 （14）1 008 （15） （16）三. 解答题 （17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分12分。 解：因为 因为都是实数， 所以由得两式相加，整理得 解得： 对应得 所以，所求实数为，或 （18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力。满分12分。 解：因为为等差数列，为等比数列。 已知 得： 因为 由知的公差为 由知的公比为 当时， 当时， （19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。 （I）解：因为面ABCD。 所以BA是PA在面ABCD上
8、的射影 又， 所以 PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角 而PB是四棱锥的高，PB=AB （II）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形。 作，垂足为E，连结EC，则 故是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角 设AC与DB相交于点O，连结EO，则 在三角形AEC中， 所以，面与面PCD所成的二面角恒大于90度。 （20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。满分12分。 解：（I）依题意，可设直线AB的方程为 代入，整理得 （1） 记，则是方程(1)的两个不同的根 所以，且 由N（1，2）是AB的中点得： 解
9、得k=1，所以直线AB的方程为 （II）将k=1代入方程(1)得解出 由得 即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4） 由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为即 代入双曲线方程，整理得： （2） 记，D ，以及CD的中点为M（） 则是方程（2）的两个根，所以 从而， 又 即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。 （21）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分。 解：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为
10、三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。 （II）依上面剪拼的方法，有 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，现在计算它们的高： 所以 （III）（附加题，满分4分） 如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。 注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。 （22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。满分14分。（I）证：依设，对任意，都有 因为 因为 （II）证： 必要性： 对任意，据此可以推出 即 对任意 因为b1，可以推出 即 充分性：因为，对任意，可以推出： 即 因为，对任意，可以推出 即 综上，当b1时，对任意，的充要条件是 （III）解：因为时，对任意：，即； 即 ，即 所以，当时，对任意，的充要条件是
