《10.数列的单调性和不等式问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10.数列的单调性和不等式问题.doc（5页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 477 中国高考数学母题(第147号)数列的单调性和不等式问题 数列的单调性质与不等式密切相关,数列与不等式的结合始终是高考的热点,其中的试题可分为:数列的单调性、基本数列与递推数列不等式等三类.母题结构:()(数列的单调性)若单调递减的等差数列an的前n项和为Sn,且a10,则ak0,且ak+11),当等比数列的比0q1时,Sm+Sn2Sk;+;当且仅当m=n=k时,等号成立.()(递推数列不等式)若正项等比数列an的前n项和为Sn,则Sn.母题解析:略 1.数列的单调性 子题类型:(2013年天津高考理科试题)已知首
2、项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.()求数列an的通项公式; ()设Tn=Sn-(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解析:()设等比数列an的公比为q,由(S3+a3)+(S4+a4)=2(S5+a5)a3+a4=(S5-S3)+(S5-S4)+2a5a3+a4=a4+a5+a5+2a54a5=a34q2=1,又an不是递减数列q=-an=(-)n-1;()由Sn=1-(-)n;当n为奇数时,Sn=1+()n随n的增大而减小1SnS1=0Sn-0Tn;当n为偶数时,Sn=1-()n随n的增大而增大=S2Sn1
3、-Sn-0.综上Tn的最大值=T1=,最小值=T2=-.点评:数列的单调性质是数列的重要性质,由数列的单调性质可以解决数列中的一类最大(小)值问题,其中,较为典型的是单调递减的等差数列an前n项和的最大值问题.同类试题:1.(2012年江西高考试题)已知数列an的前n项和Sn=-n2+kn(其中kN+),且Sn的最大值为8.()确定常数k,并求an; ()求数列的前项和Tn.2.(2013年天津高考文科试题)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.()求数列an的通项公式; ()证明:Sn+(nN*). 2.基本数列不等式 子题类型:(1995年
4、全国高考试题)设an是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.()证明:0,使得:=lg(Sn+1-c)成立？并证明你的结论.解析:()由Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+a2+q2Sn(a10,q0)知,lgSn+1SnSn+2Sn+12Sn(a1+a2+q2Sn)(a1+qSn)2 478 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 (a1+a2)SnSn成立;()由=lg(Sn+1-c)(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2,且Sn-c0SnSn+2-Sn+12=c(Sn+Sn+2-2Sn+1);由SnSn+2-Sn+120,Sn+Sn+2-2
5、Sn+1=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)2=2(Sn+1-c)-2(Sn+1-c)=0c0满足条件.点评:对基本数列不等式的证明,一般使用基本法;但对等比数列,掌握:Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1(1+q)+q2Sn,可把关于Sn,Sn+1,Sn+2的不等式等价转化为关于Sn的不等式;基本数列的不等式还包括等差、等比数列中的比较大小问题.同类试题:3.(2004年全国高考试题)己知an是等比数列,a2=6,a5=162.()求an的通项公式; ()设Sn是an的前n项和,证明:1.4.(2009年湖北高考试题)己知数列an的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n正
6、整数).()令bn=2nan,求证数列bn是等差数列,并求数列an的通项公式;()令cn=an,Tn=c1+c2+cn,试比较Tn与的大小,并予以证明. 3.递推数列不等式 子题类型:(2012年重庆高考试题)设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a20.()求证:an是首项为1的等比数列; ()若a2-1,求证:Sn(a1+an),并给出等号成立的充要条件.解析:()由Sn+1=a2Sn+a1S2=a2S1+a1a2=a1a2(a20)a1=1Sn+1=a2Sn+1;若a2=1,则Sn+1=Sn+1Sn=nan=1;若a21,则Sn+1=a2Sn+1Sn+1-=a2(Sn
7、-)Sn=-a2n=an是首项为1的等比数列;()作等差数列bn:b1=a1,bn=a1qn-1(a10,q-1),则bk=a1+(k-1)(kn),由bkak(k-1)qn-1-k(n-1)qk-1-n;令f(x)=(k-1)xn-1-(n-1)xk-1+n-k(x0),则(x)=(n-1)(k-1)xk-2(xn-k-1)fmin(x)=f(1)=0bkakSn(a1+an).点评:对由递推数列,而产生的不等式问题,一般有两种思路:由递推关系式,首先着意于求数列的通项和前n项和, 然后,把待证不等式转化为关于n或其基本量的不等式;着意于对递推关系式的变换.同类试题:5.(2007年天津高考
8、试题)在数列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.()证明:数列an-n是等比数列; ()求数列an的前n项和Sn; ()证明:不等式Sn+14Sn,对任意nN*皆成立.6.(2015年浙江高考试题)已知数列an满足a1=且an+1=an-an2(nN*).()证明:12(nN*); ()设数列an2的前n项和为Sn,证明:(nN*). 4.子题系列:7.(1992年全国高考试题)设等差数列an的前n项和为Sn,己知a3=12,S120,S130,且a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.()求数列an的通项公式; ()设a10,=100,当n为何值时,数列lg的前n项和最大
9、？9.(2010年上海高考试题)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,nN*. 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 479 ()证明:an-1是等比数列; ()求数列Sn的通项公式,并求出n为何值时,Sn取得最小值,并说明理由.10(2012年四川高考理科试题)已知数列an的前n项和为Sn,且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立.()求a1,a2的值; ()设a10,数列lg的前n项和为Tn,当n为何值时,Tn最大？并求出Tn的最大值.11.(2010年江苏高考试题)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列
10、是公差为d的等差数列.()求数列an的通项公式(用n,d表示);()设c为实数,对满足m+n=3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式Sm+SncSk都成立.求证:c的最大值为.12.(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设非负等差数列an的公差d0,记Sn为数列an的前n项和,证明:()若m,n,pN*,且m+n=2p,则+; ()若a503,则2008.13.(2005年北京春招试题)己知an是等比数列,a1=2,a3=18.bn是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.()求数列bn的通项公式; ()求数列bn的前n项和Sn的公式;()设Pn=b1+b4+b
11、7+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+b2n+8,其中,n=1,2,3,.试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.14.(2005年福建高考试题)己知an是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.()求q的值;()设bn是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn.当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.15.(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=(x-1).设数列an满足:a1=1,an+1=f(an),数列bn满足:bn=|an-|,Sn=b1+b2+bn(nN*).()证明:bn; ()证明:Sn.16.(2011年重庆高考试题)设实数数列an的前n项和
12、Sn满足Sn+1=an+1Sn(nN*).()若a1,S2,-2a2成等比数列,求S2和a3; ()求证:对k3有0ak+1ak. 5.子题详解:1.解:()由Sn=-n2+kn=-(n-k)2+k2k2=8k=4an=-n; ()=2n()nTn=4-(2n+4)()n.2.解:()设等比数列an的公比为q,由-2S2+4S4=2S3(S4-S2)+(S4-S3)=0(a3+a4)+a4=0q=-an=(-)n-1;()由Sn=1-(-)n;当n为奇数时,Sn=1+()nSn+=2+随n的增大而减小Sn+S1+=;当n为偶数时,Sn=1-()nSn+=2+随n的增大而减小Sn+S2+=.故对
13、于nN*,有Sn+.3.解:()an=23n-1; ()由Sn2,Sn+1=a1+qSn=2+3Sn,Sn+2=a1+a2+q2Sn=8+9Sn=0当x3时,f(x)f(3)0.故当n=1,2时,Tn. 480 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 5.解:()由an+1=4an-3n+1an+1-(n+1)=4(an-n)数列an-n是首项=a1-1=1,且公比为4的等比数列;()由()得:an-n=4n-1an=4n-1+nSn=+;()由Sn+14SnSn+1-Sn3Snan+13Sn(n-1)(3n+4)0,对任意nN*皆成立.6.解:()由a1=且a
14、n+1=an-an2an-an+1=an20anan+1an,且an=(1-an-1)(1-an-2)(1-a1)a1001;又由=212;()由an2=an-an+1Sn=a12+a22+an2=(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)=a1-an+1=-an+1;又由an+1=an-an2-=1-2n-2nan+1.7.解:()d(-,-3);()由an=12+(n-3)d0n6S1,S2,S12中,S6最大.8.解:()当n=1时,a12=2S1=2a1a1(a1-2)=0;若a1=0,则Sn=0an=0;若a10,则a1=,an=2an-1an=2n-1=;()当a10,=1
15、00时,令bn=lg=2-nlg20n6数列lg的前6项和最大.9.解:()由Sn=n-5an-85a1=14,an-1=(an-1-1)an-1是等比数列;()由an=1-15()n-1Sn=75()n-1+n-90;由Sn+1Sn()n-10时,由()知,a1=+1,a2=2+;当n2时,由a2an=S2+Sn(2+)an=(3+2)+Sn(2+)(an+1-an)=an+1an+1=anan=(+1)()n-1bn=1-(n-1)lg20n7当n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值=7-lg2.11.解:()an=(2n-1)d2;()因Sn=n2d2,由m+n=3km2+n2k2Sm
16、+SnSkc的最大值为.12.解:()设Sn=An2+Bn(A0,A+B0);由m+n=2pmn()2=p2,(Am+B)(An+B)2=(Ap+B)2SmSn=mn(Am+B)(An+B)p(Ap+B)2=Sp2+;()2008.13.解:()bn=3n-1;()Sn=n2+n;()Pn=n2-n,Qn=3n2+26nPn-Qn=n(n-19);14.解:()q=1或-;()当q=1时,Sn-bn=Sn-1=;当q=-时,Sn-bn=Sn-1=-.15.解:()由|-|=|an-|,又因an1|bn+1bnbn;()略.16.解:()由S22=-2a1a2,S2=a2S1=a1a2S22=-2S2(S20)S2=-2;由S3=a3S2S2+a3=a3S2a3=;()由Sn+1=an+1SnSn+an+1=an+1Snan+1=,Sn=;当k3时,ak=0ak;又ak+1-ak=-ak=-0ak+1ak0ak+1ak.
