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1、高考中数列综合题解题策略与方法 李兴怀华南师大附中特级教师 李兴怀 数列问题与函数、不等式、三角等知识有密切的联系，在历届高考数学试题中占有重要地位。本文通过一些例子说明解决数列综合题的基本策略与方法。1.认真审题，善于把陌生的问题转化为熟悉的问题。 例1.已知数列满足，求数列的通项。 分析：由数列的定义可知，此数列既不是等差数列，也不是等比数列，因而要解决这个问题必须紧扣题意，并把问题进行转化。解法1 把问题转化为等比数列。引入参数x，使得，将此式还原并整理得 ，令，即，设，则原问题化为 ，且，故数列是以为首项、为公比的等比数列。从而 ，故 。解法2 把问题转化为便于求通项的情形。给 两边同
2、除以，得，令，则，利用恒等式，可得，故 。解法3 由，可得，将这两式相减得，令，则，故，从而，故即。n=1也满足等式，故所求通项为。 解法4 通过直接迭代求通项。由已知递推关系可得，故 。 以上通过例1给出的四种方法是解决由递推关系确定的数列问题的常用方法。2.利用待定系数法，将复杂问题简单化。例2 在数列中，求数列的通项。分析：本题的难点在于递推关系随着n的变化而变化，我们设法构造一个与有关的、并且可求通项的数列。解 令，即 将它与所给的递推关系比较，可得,解这个方程组，得，所以 ，令，则，即。 3.利用函数不动点，通过适当换元来简化问题。所谓函数的不动点，就是指满足方程的根。利用与递推关系
3、相对应的函数的不动点，就可将有关数列问题化简。例3 若数列满足，求通项。解 与此递推关系相对应的函数是，此函数的不动点就是方程的根，解这个方程得利用这两个跟，我们考察以为通项的数列。由于，令，故 ，由于，故 。例4 已知数列中，求通项。解 与此递推关系相对应的函数是，解方程 ，得，解得 ，此时我们考察以为通项的数列。由于，令，则，故 。从而。说明：一般来说，对形如 确定的数列来说，若方程有两个跟。当时，数列为等比数列；当时，数列为等差数列。4. 适当变形，化二阶递推关系为一阶递推关系。例5 已知数列满足递推关系，且，求通项。分析：这是一个由二阶递推关系确定的数列，解决这个问题的关键是设法把问题
4、化为由一阶递推关系所确定的数列。解 根据问题的结构特点，我们设，即与已知递推关系比较，可得，解得。故原递推关系化为令，则，故对一切正整数n， ，即，对此式两边同时除以，得，故 为等差数列，首项为，公差为，故，故 。说明：对于形如的递推关系通常可以化为形如的关系式，然后通过换元达到解决问题的目的。5.建立递推不等式关系，证明与数列相关的不等式。在近几年的数学高考试题中，与数列有关的不等式频繁出现，而且解决起来有一定的难度，这方面的问题应该引起重视。例6.设数列满足，。证明：对所有的，有（）；（）。分析：由已知递推关系所确定的数列的通项是不易求出的。有时候，即使数列的通项能够求出来，要证明所给的不
5、等式也是困难难的。因此，解决这类问题的关键是利用已知条件，建立合适的递推不等关系。解： （1）证明：1、当n=1时，不等式成立；2、假设当n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，即，故当n=k+1时，不等式成立。根据1和2，对于一切正整数n，均有。（2）由（1）可知。由，利用这个递推不等关系，可得即，从而。于是故 。说明：本题（2）的证明关键是要由已知递推关系导出一个递推不等关系，进而导出。这里对中一部分不变，一部分缩小为n+2，这种放缩技巧是值得重视的。例7 已知数列满足，且，证明：。分析：这是由一道高考数学试题改编而来的，命题者给出的的解答是比较复杂的。下面我们给出另一种解法，而且利用这种解法很容易把问题加以推广。证明 首先用数学归纳法可以证明对一切正整数n，于是对两边取常用对数，可得，故是等比数列，可求得，即，由于，故是单调递减数列，故，且，说明：这个例子中对进行适当放大的技巧也是值得深思的。 以上我们通过七个典型的例子，从五个方面说明求解数列综合题的基本策略与方法。所举例子并不复杂，但所运用的方法在近几年的高考数学试题求解中是普遍策用的。在这部分内容的高考备考中，教师要“站得高，看得远”，要注重培养学生的化归、转化的能力，要重视解题途径的探求过程。
