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1、解答5 解析几何(5+5+13分)数学秘籍解析几何通法：一设，二联立，三判别，四韦达 1. 化简的“救命稻草”点在曲线上，把点代入圆锥曲线方程上 2. 直线与曲线相交联立方程组，利用韦达定理的根与系数关系 例.联立方程组，消去y得 设，则 3. 向量对应坐标成比例，向量模的关系 4. 等分点构造向量，得出对应坐标成比例，向量模的关系 5. 面积， 6. 垂直令 7. 对称、倾斜角互补、斜率互为相反数令 8. 对称点 9. 几何意义 （1）表示点到点的距离； 或表示以为圆心，半径不确定的同心圆 （2）表示点到点的斜率 （3）表示与直线平行，截距不确定的直线 （4）表示到的距离 10. 分类讨论，
2、讨论谁为直角？斜率是否存在？曲线是否完整？11. 征兆：当计算时能消去高次项、消去很多项时，预示着 “沿着一条路一直走下去，是黑暗又有什么关系呢？” Shy“当你被繁杂的事情迷乱双眼的时候，请回想起最当初的“点在曲线上”。 在整个高中数学里，最能寻找自信心的地方，就在这里。虽然这条路很坎坷不堪，可是我知道在路的尽头一定是阳光。 Maple知识归纳：直线与圆 一、直线斜率，点 1. 斜率公式： 2.直线方程 (1)点斜式: (直线过点，且斜率为)(2)斜截式:(b为直线在y轴上的截距).(3)一般式:(其中A，B不同时为0). 3. 平行、垂直：(1) (2) 4.点到直线的距离： (点，直线：
3、). 两平行直线间的距离： , 二、圆圆心，半径 1. 圆的方程： 2. 圆心与点A的距离： 3. 圆心到直线的距离：.题型1：直线与圆的位置关系 垂径定理例1. 与（1）判断位置关系（2）求弦长例2.（同步练习）直线被圆截得弦长 例3. 圆到距离为的点有 个例4. 直线与曲线有一个公共点，求的范围例5.（同步练习）两圆相交于两点（1，3）和，两圆的圆心都在直线上，则的值为 例6.在圆上，与直线：距离最小的点 例7.直线与圆在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是 例8.圆，点A（-1，0），B（1，0），点P是圆C的一个动点，求最大值、最小值以及对应的P点坐标。 （答案：，）例9.若实数满
4、足求及取值范围（答案：， ）例10.（同步练习）某圆形拱桥的水面跨度20m，拱桥高度4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这船能否从桥下通过？ （答案：，可以通过）参考答案（答案：1.相交， 2. 3.3个 4.或 5.3 6. 7.）精题训练（北京卷）1. （10，东城一模，文）经过点（2，3）且与直线垂直的 直线方程为 2. （10，西城，期末）若直线与圆 相切，则 3.（10，北京一模,文）已知圆的方程为，那么该圆的一条直径所在直线的方程为 4.（10，崇文一模，文）若与圆相切，则为( ) A. B. C. D. 5.（10，西城二模，文）圆心在轴上，且与直线切于（1，1）点的圆的方
5、程为 6.（10，海淀二模，文）已知直线，则之间的距离为 7.（10，东城，期末）若直线与圆相切，则 8.（05,北京,文）从原点向圆=0作两条切线，则该圆 夹在两条切线间的劣弧长为 9.（10，海淀期末，文）若直线与直线分别交于点， 且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 10. （10，东城二模，文）若曲线的一条切线与直线 垂直，则切线的方程为 参考答案1. 2.2 3. 4.B 5. 6. 7.8或-18 8.2 9. 10.知识归纳：椭圆一、椭圆： 1.定义：平面内的动点P与两定点F1，F2距离和等于定长 2.标准方程： 谁大谁为 （1）定义域：（2）值 域：（3）长轴长： 半长轴长： （
6、4）短轴长： 半短轴长： （5）焦 距： 半焦距： （6）离心率：（7）准线方程：（8）焦准距：（9）通 径： 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦（10）焦半径：（11）焦点弦：通过焦点的弦（12）弦长：= 3. 焦点三角形（1） +=2（2） =2（3）（4）（5）在中，则（6）参数方程：（7）切线方程 椭圆上一点处切线: 题型1：离心率、斜率、焦点三角形第一定义精题训练（北京卷）1.（07,北京,文）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则离心率的范围是( )A B C D2.（10,西城一模，文）若椭圆上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A B
7、 CD 3. （10，东城一模，文）点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆两个焦点，且PF1F2内切圆半径为1，当P在第一象限，P点的纵坐标为 4. （10，海淀一模，文）直线与圆相交于A,B两点（其中是实数），且是直角三角形(O是坐标原点)，则点P与点之间距离的最大值为（ ）A B. C. D. 提示：，即，于是点P与点为参考答案: 1.D 2.D 3. 4.A精题训练（全国卷）1.（10，安徽，理）设曲线的参数方程为（为参数），直线为，则曲线上到距离为的点的个数( ) A.1 B.2 C.3 D.42.（09，全国I，理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( ）A. B.
8、2 C. D.3 3.（10，全国，理）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 4.（08.全国I.理数）在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 5.（10，全国II，理）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则 6.（08，山东，理）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 参考答案: 1.B 2.A 3. 4. 5. 6.A 题型2：轨迹几何意义 1.（同步练习）和轴相切，并和圆外切的动圆的圆心轨迹方程是 2.（同步练习）
9、若圆的弦长为2，则弦的中点轨迹方程为 3.（同步练习）若圆，求过点A（1，2）所作的弦的中点P的轨迹 （提示：垂径定理）4. （必修2，课本P104，B组第2题）求与两定点的距离的比为的点的轨迹方程.（答案：）5.（05，江苏，文）圆与圆的半径都是1，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得。试建立适当坐标系，求动点P轨迹方程.（答案： ）6.（07,北京,文）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上 （I）求直线方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程（答案：（I）（II）（III
10、）动圆的圆心的轨迹方程为 ）7.（09，海南，理）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆的方程；（）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （答案：（）椭圆的标准方程为 （），其中。 （i）时。化简得，点的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于轴的线段 （ii）时，（1）当时，点的轨迹为中心在原点，实轴在轴上的双曲线满足的部分（2）当时，点的轨迹为中心在原点.长轴在轴上的椭圆满足的部分；（3）当时，点的轨迹为中心在原点.长轴在轴上的椭圆 ） 题型3：对称、斜率互为相反数、倾角互补令1 （08，天津
11、，理/文）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 2.（09，宁夏，理/文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=13.（10，蒋叶光，编写）直线与圆交于两点，且关于直线对称，求的值4.（08，北京，理）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）A. B C D5.经典(10,崇文二模，文)已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于 参考答案1. 2.B 3.0 4.C 5. 题型4：定点、定值产生原因：对称点恒过定问题：，恒过定点 1.恒过定点
12、2.恒过定点 3.恒过点 化成一般式，合并同类项，令每项都为0即可 4.若,则直线恒过点 5.恒过点 （提示：化成） 6.，为轴上的动点，为圆的两条切线，切点为A,B，证明：直线AB过定点，并求出定点坐标。 （提示：设，于是满足）7.圆恒过定点 （提示：令） 8.(09，海淀二模，理)若直线与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点 9.（10，蒋叶光，编写）直线恒过定点 参考答案1. （0，2） 2.（1，1） 3.（0，0） 4.（0，0） 5.（-1，0）6.（0，0） 7.（-2，1）与（0，1） 8.（0，2） 9.精题训练1.（10，崇文一模，文）椭圆短轴端点，过作直线与椭圆交于另
13、一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，交轴于点 （）求椭圆的方程； （）求证为定值 （ 答案：（） （） = 结论：过短轴端点作直线交椭圆于A，作其关于轴的对称点B，则这线在轴的截距乘积为 2.（09，北京，理）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线， 与双曲线交于不同的两点，证明：的大小为定值 （答案：（I）（II）的大小为.） 为定值 3.经典（10，东城期末，理）已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，求证
14、：直线的斜率为定值；（）求面积的最大值（答案：（I）（II）：，设，则，令得，为定值待添加的隐藏文字内容1（III）当且仅当时取等号，面积的最大值为） 4.经典（09，辽宁，理）椭圆C过点A，焦点（-1，0），（1，0） （1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相 反数，证明直线EF的斜率为定值 ，并求出这个定值 （答案：（1）直线EF的斜率为定值，其值为 6.（10，东城一模，文） 椭圆离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与相切 （1）求椭圆C的方程； （2）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭
15、圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：直线ME与轴相交于定点. （ 答案：（1）（2）因为不符合题意，（3）令） 7.（10，东城一模，理）椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切 （）求椭圆的方程； （）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点； （）在（）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围 (答案：（I）（II）设点，则，直线的方程为，直线与轴相交于定点（III）斜率存在时，设为， ，当斜率不存在时， ，故探究：恒过定点的条件：过点P作直线交于B、C点，作B点关于轴的对
16、称点A,连接AC，则直线AC恒过(1,0) 10.经典（07，山东，理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1 （）求椭圆C的标准方程； （）若与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，求坐标. (答案：（） （）直线过定点，定点坐标为)11.经典（10,四川,理）定点A(1，0)，F(2，0)，定直线，不在轴上的动点P与点F的距离是它到直线的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交于点M、N（）求E的方程；（）试判断：以线段MN为直径的圆是否过
17、点F，并说明理由.(答案:（I）x2=1(y0)(II)当直线BC与x轴不垂直时,M点的坐标为()，=0，当直线BC与x轴垂直，方程为x2，0综上0，即FMFN，故以线段MN为直径的圆经过点F.)12.蝴蝶定理 (03.北京.理) 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（ （）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点 求证：； （）对于（）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）（答案：（I）椭圆为焦点为, 离心率 （II）分
18、别联立方程组：直线CD的方程代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得,故 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，由，得所以结论成立. （）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线， 得解得， 由D.Q.G共线，同理可得 变形得，即 所以 题型5：垂直平分线 垂直圆的直径（令）1.（10，西城二模，文）已知椭圆的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6. （I）求椭圆的方程； （II）设直线与椭圆交于两点，点（0，1），且，求直线的方程， (答案：（I）椭圆C的方程为（II）直线l的方程为)2.难度的顶峰（10，海淀二模，文）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆
19、的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. （I）求椭圆的方程和其“准圆”方程； (II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N .（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；（2）求证：|MN|为定值. （答案：(I)椭圆的方程为，准圆的方程为 (II)（1）方程为 （2）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，则直线方程为或，与准圆交于点，经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或)，即为(或)，显然直线垂直； 同理：可证 方程为时，直线垂直. 当都有斜率时，设点，设过点与椭圆只有一个公共点的直线为 ,则，消去得到 ，即,化简得到:,由，得,设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点，满足上述方程,，即垂直. 综合知：垂直，所以线段MN为准圆的直径，.
