高数下册课外练习题.doc

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1、第八章 空间解析几何与向量代数一、选择题1点关于坐标原点的对称点是( )(A) ； (B) ； (C) ； (D) 2已知, , , 则( )(A)； (B)； (C)； (D)3向量与的数量积( )(A)； (B)； (C)； (D)4设，若，则必有( )(A)，； (B)，；(C)，； (D)，5设与为非零向量，则是( )(A)的充要条件； (B)的充要条件；(C)的充要条件； (D)的必要但不充分条件6向量在向量上的投影为( )(A)； (B)； (C)； (D)7设，则( )(A)； (B)； (C)； (D)8已知向量，则垂直于且垂直于轴的单位向量是( )(A)； (B)； (C)；

2、 (D)9已知向量的始点, ,的方向余弦为，则B的坐标为( )(A)； (B)； (C)； (D)10点到平面的距离是( )(A)； (B)； (C)； (D)11设平面方程为其中A,C,D均不为零，则平面( )(A)平行于x轴； (B)平行于y轴； (C)经过x轴； (D)经过y轴12点在平面上的投影为( )(A)； (B)； (C)； (D)13已知向量，则使和的夹角达到最小的z为( )(A)； (B)； (C)； (D)14两张平行平面之间的距离为( )(A)； (B)； (C)； (D)15直线：与平面：的关系是( )(A)平行； (B)垂直相交； (C)在上； (D)相交但不垂直 1

3、6设有直线：与：，则与的夹角为( )(A)； (B)； (C)； (D)17过点且与直线垂直的平面的方程是( )(A) ； (B)；(C) ； (D) 18两平行直线与之间的距离是( )(A)； (B)； (C)； (D)19双曲线绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为( )(A); (B); (C)； (D) 20旋转曲面是( )(A)平面上双曲线绕轴旋转所得；(B)平面上双曲线绕轴旋转所得；(C)平面上双曲线绕轴旋转所得；(D)平面上的圆绕轴旋转所得二、填空题1已知向量，则向量在轴上的分向量是 2与点，决定的平面垂直的单位向量 3已知，若向量与向量平行，且，则 4已知，则三角形的面积为 5已知，

4、, 则 6设，其中，且，若以和为邻边的平行四边形面积为6，则的值为 7设，则 8从点沿向量的方向取长度为的有向线段，则B点坐标为 9已知，与投影轴的夹角为，则= 10已知原点到平面的距离等于, 则 11通过轴和点的平面方程为 12过点和直线：的平面方程为 13过点而在轴和轴上截距分别为和的平面方程 14直线的对称式方程式 15过点且与两平面和平行的直线方程 16由点向直线引垂线，则垂足的坐标 17与两直线 及都平行，且过原点的平面方程为 18点到直线的距离为 19平面上曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程 20空间曲线在yoz平面上的投影曲线是 三、计算及证明题1已知向量，轴与三坐标轴正向构成相等

5、锐角，求在轴上的投影2求向量在向量上的投影3设向量与垂直，与垂直，试求4设，其中，是相互垂直的单位向量，求满足下列条件的值：(1)以，为边的三角形面积为8；(2)；(3)5已知点，求(1)的面积；(2)的AB边上的高6设A(1,1,1),B(2,2,1),C(2,1,2)，求的夹角以及在上的投影7设两平面的方程为：，：(1)求两个平面的夹角；(2)求通过两个平面的交线且和坐标面垂直的平面方程8求过平面与的交线且与平面相交成角的平面方程9求过两点和且垂直于平面的平面方程10已知三点、，求过点且与三角形所在平面平行的平面方程11求与平面平行且距离为的平面方程12求通过两平面与的交线及点的平面方程1

6、3过点和直线的平面方程14过点且与两平面和平行的直线方程15已知平面：和直线：的交点为,在平面上求过且和直线垂直的直线方程16一直线过点，且与直线：和：相交，求该直线方程17已知直线：和：(1)求过且平行于的平面方程；(2)若，间距离为，试证：18直线过点且与直线：相交，与直线：垂直，求直线的方程19求通过点且与直线：相交并垂直的直线方程20在平面上求直线的投影直线方程21通过直线：且平行于直线：的平面方程22已知直线：，求点到该直线的距离23设一直线平行平面，且与直线相交，并通过点，求此直线方程24求过点与平面：平行，且与直线：相交的直线的方程25设直线：, ：，试求(1)与之间的距离；(2

7、) 与的公垂线的方程26求通过直线：且切于球面的平面方程27求椭球面方程，它的对称轴与坐标轴相合，并且通过和点28已知A点和B点的直角坐标分别为与线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及两平面，所围成立体的体积29求与平面 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为的平面方程30椭球面是绕x轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成，(1)求及的方程(2)求与之间的立体体积31设有直线：, ：，：，求平行于而分别与、相交的直线方程32在直线上求：(1)和点距离最近的点；(2)和点距离为的点33求两条平行直线：, ：间的距离34求过点和点且与的距离为的平面方程35试过点作一直线

8、，使和z轴相交，且和直线 垂直36已知直线与，求公垂线的方程37已知入射光线路径为L：，求该光线经平面反射后的反射方程38求经过点，方向角为 的直线方程39(1)确定的值，使得表示同一平面(2)确定的值，使得表示两平行平面(3)确定的值，使得表示相互垂直的平面40证明：直线 及直线共面，并求过直线的平面的方程第八章参考答案一、选择题1A； 2A； 3C； 4A； 5C； 6A； 7B； 8C； 9C； 10A； 11B； 12C； 13B； 14C； 15C； 16C； 17C； 18D； 19A； 20C二、填空题1； 2； 3； 4； 5；6 -1或5； 7； 8 B(18,17,-17)

9、； 9 ； 10 ； 11 x+3y=0； 12； 13； 14 ； 15 ； 16； 17； 185； 19 ；20三、计算及证明题1解：设为轴正向的单位向量，则，且由题意知，得(为锐角)，2解：，3解： ，得4解：(1)以，为边的三角形面积，解得和；(2)，则，故；(3)，则，故5解：(1)因为，所以，所以(2)设三角形ABC的边AB上的高为CH，则CH=6解：，7解：(1)，；(2)过两平面交线的平面束方程为，因，解得，则所求平面方程为8解：过两平面交线的平面束方程为，其法线向量为，已知平面的法线向量为，解得，故所求平面方程为 ；因为该平面束中不包括平面 ，当时，故平面亦为所求9解：设，

10、则，所求平面方程为，即10解：，取所求平面的法线向量，所求的平面方程为，即11解：设为所求平面上任意一点，则，故所求平面方程为或12解：过两平面交线的平面束方程为，将代入方程，解得，则所求平面方程为13解：在直线上，直线的方向向量，取平面的法线向量，所求平面方程为14解：所求直线的方向向量为，直线方程为15解：直线的参数方程为，则平面与直线的交点为，过且垂直于的平面方程为，所求的直线方程为16解：过直线的平面束为，则过点及的平面方程为，同理可求出过及的平面方程为，则所求直线的方程为17解：(1)，则，取上一点，则过点且以为法向量的平面为所求；(2)取上一点，间距离等于到平面的距离，故，即18解

11、：过点做平面，其方程为，它与的交点，所求直线方程为19解：过点做平面，其方程为，它与的交点，所求直线方程为20解：过直线的平面束方程为，其中与平面垂直的平面为，即 ，故所求投影直线方程为21解：两直线的方向向量分别为，在平面上，平面的法线向量，故所求的平面方程为22解：直线的方向向量为，过点垂直于的平面的方程为，的参数方程为，与的交点为，所求距离23解：过点做平行于已知平面的平面为，已知直线的参数方程为，代入所得的平面方程式得，从而得交点，过和的直线即为所求24解：过点且平行与平面的平面的方程为，设过点及的平面为，其法线向量为，的方向向量为=(4，-2,1)，可取，的方程为，的方程为25解：(

12、1)，的方向向量分别记为，公垂线的方向向量，点，点，与之间的距离；(2)，由，确定的平面的方程为，由，确定的平面的方程为，与的公垂线即为与的交线，故的方程为 26解：过的平面束方程为，若其中一张平面与已知球面相切，则球心到平面的距离，解得，所求平面方程为或27解：由于所求的椭球面通过椭圆，所以可设椭球面的方程为，将代入此方程解得，故所求椭球面的方程为28解：过A、B的直线方程为或 ，在0z轴上截距为z的平面与oz轴的交点为，与直线AB的交点为,从而截口圆的半径=，旋转体的体积为V=29解：已知平面的截距式方程为，因所求平面与已知平面平行，所以所求平面在三坐标轴上的截距分别为或者为从而与三坐标面

13、所围立体体积，所以，所求平面的方程为或30解：(1)的方程为；求得过点(4,0)与椭圆相切的直线方程为，则的方程为，即(2)与之间的立体体积是与绕x轴旋转一周的体积差，即=31解：设过且平行的平面方程为，由，得，此平面方程为，同理可求过且平行的平面方程为，所求直线方程为32解：(1)令，则设，由垂直于已知直线，得，即，故(2)设，则，解此方程得，故或33解：两直线的方向向量，与之间的距离34解：过点、的直线方程为，即，则过该直线的平面束方程为，要使点到平面的距离为，则应满足 ，解得和故所求的平面方程为和35解：过点B(1，-2，3)且和直线垂直的平面方程为令得与z轴的交点A(0，0，4)，所求

14、直线方程为 即36解：已知两直线的方向向量为，得 ， 作平面，平面所求公垂线的方程为37解：将L写成参数式有，代入平面方程，解得，从而求得L与平面的交点Q(-7，-5，0). 过直线L上点P(1,1,2)的已知平面的垂线，求出其与平面的交点R(0，-1，-3)，由P，R点得P的对称点，过的直线为所求之反射线方程38解：在直线上取异于点(3，4，-4)的另一点，则依题意，向量的方向角为，从而的单位向量=，所以直线的方向向量可取为，故所求直线的方程为39解：(1)两平面重合的充要条件是，所以 ，解得 (2)两平面平行，则，所以解得 (3)两平面垂直，则，所以40解：只需证明两直线的方向向量及两直线

15、上两个点确定的向量共面. 若这三个向量两两不平行且均不为零向量，则它们共面的充要条件是它们的坐标构成的三阶行列式为零的方向向量，的方向向量点 ，由于这三个向量两两不平行，且 ，所以共面为求过直线的平面，取所求平面的法向量=又平面过点，则所求平面方程为，即第九章 多元函数微分法及其应用一、选择题1极限=( )(A) 等于0； (B)不存在； (C) ； (D) 存在且不等于0或2函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的：( )(A ) 必要而非充分条件； (B) 充分而非必要条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件3函数在点处的二阶偏导数及都存在， 及在点处连续是的：( )(

16、A) 充分而非必要条件； (B) 必要而非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件 4设，则( )(A) 2； (B) 1+ln2； (C)0； (D) 15设，则=( )(A)； (B) ； (C) 0；(D) 6设，其中均有连续导数，则=( )(A) ；(B) ；(C) ；(D) 7若在处沿轴反方向的方向导数为，则在该点对的偏导数( )(A) 为； (B) 为； (C)不一定存在；(D) 一定不存在8函数在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为：( )(A) 3； (B) 0； (C) ； (D) 29函数在(1,1)点沿方向的方向导数为：( )(A) 最大；(B)

17、 最小； (C) 0； (D) 110设，则 = ( )(A) 4； (B) 4； (C) 2； (D) 211曲线在点处的法平面方程是 ()(A)； (B)； (C)； (D) 12曲线在对应于点处的切线与平面的夹角为 ( )(A)；(B) ； (C) ； (D)13曲线在点处的法平面方程为( )(A)；(B)；(C)；(D)14设曲线在点处的法平面为，则点到的距离是( )(A)； (B)； (C)2； (D) 15曲面在点(3,1,-2)处的法线方程是( )(A)； (B)；(C)； (D)16设函数，则( )(A)函数在点处取得极大值； (B) 函数在点处取得极小值；(C)点非函数的极值

18、点； (D)点是函数的最值点，但不是极值点17设函数，则点是函数的( )(A)极大值点但非最大值点； (B)极大值点且是最大值点；(C)极小值点但非最小值点； (D)极小值点且是最小值点18设函数具有二阶连续偏导数，在点处有，则( )(A)点是函数的极大值点； (B)点是函数的极小值点；(C)点非函数的极值点； (D)条件不够，无法判定19和是函数在点处取得极大值或极小值的( )(A) 必要条件但非充分条件； (B)充分条件但非必要条件；(C)充要条件； (D)既非必要条件也非充分条件20函数在条件下的极大值是( ) (A)； (B)； (C)； (D)二填空题1极限= _2设，要使在(0，0

19、)处连续，则A= _3曲线在点(2，1，2)处的切线与轴正向所成的倾角为_4曲线在点(1，1，1)处的切线与轴正向所成的倾角为_5设，则 _6设函数在点处的偏导数存在，则= _7设，则= _8设，则= _9设，则= _10设，则= _11若，则= _12设，则= _13设满足方程，其中是可导函数,是常数，则= _14设，则= _15设函数由方程所确定，则= _16设函数由方程所确定，则= _17设函数由方程所确定，则 = _18函数在点(1，2)沿方向的方向导数是_19曲线在点处的切线方程是_20曲线在对应于点处的法平面方程是_21若函数在点处取得极值，则常数_， _ 22函数在条件下的极大值

20、是_三综合题1求下列函数的定义域：(1) (2) 2求下列极限：(1) (2) 3 设求4证明下列极限不存在：(1) (2) 5设求6求下列函数的偏导数及全微分：(1) (2) 7求曲线在点处的切线与轴的夹角8求下列函数的二阶偏导数：(1) (2) 9讨论函数在点的连续性、偏导数存在性及可微性10试证明函数在点可微，偏导数不连续11设求12设求13设其中为可导函数，具有连续偏导数，求14设二阶导数存在，求15设具有二阶连续偏导数，求16设函数是由方程所确定的隐函数，求17设函数由方程所确定的隐函数，求18设函数是由方程所确定的隐函数，求19求由方程所确定的函数在点处的全微分20求曲线在点处的切

21、线与法平面方程21求曲线的切线方程，该切线平行于平面22求曲面在点处的切平面与法线方程23已知曲面上点处的切平面平行于平面求点的坐标24求函数在点处沿点的向径方向的方向导数25求函数点处方向导数的最大值26若函数在点取得极值，求常数27求函数的极值28求函数在附加条件下的极值29求抛物线与直线之间的距离30求函数在圆域上的最大值和最小值第九章参考答案一、 选择题1.B； 2.A； 3.A； 4.A； 5.C； 6.C； 7.C； 8.C； 9.B； 10.B；11.C； 12.C； 13.C； 14.B； 15.A； 16.B；17.B； 18.C； 19.D； 20.C二、填空题1； 21；

22、 3； 4 5 62()； 7；80； 9； 101；11； 121； 13； 14； 15； 16； 17； 18； 19；20； 21； 22三综合题1解： (1) (2)2解：(1)(2) 由于， 则3解： 由于, 则4解：(1) 由于， 则不存在(2) 由于则不存在5解：由于 则6解：(1) (2) 7解：记为点处的切线与轴的夹角,则 8解：(1) (2) 9解：由于当取不同值时，极限值不同，所以不存在，在点不连续性，当然也不可微 由于则同理在点的偏导数存在10解： 在点可微由于不存在，则不存在所以不存在，在点不连续同理在点不连续11解：12解：13解：14解： 15解： 16解：记1

23、7解：记18解：方程两边对求偏导： 解得同理可得19解：方程两边对求偏导：解得同理可得所求的全微分20解：将所给方程两边对求导并移项，得 解得 在点处的切线方程为：，法平面方程为：，即21解：设切点对应则切向量已知平面的法向量为由条件有即解得或或由于切向量为非零向量，所以将舍去当时，切点为，切向量，切线方程为：当时，切点为，切向量，切线方程为：但直线在所给的平面上，所以所求的切线方程为：22解：记曲面的法向量在点处的切平面方程为：即在点处的法线方程为：23解：设点的坐标为，法向量为，已知平面法向量为由条件知：得 即切点为24解：点的向径其方向余弦为 25解： 函数点处的方向导数的最大值为26解

24、：由于在点取得极值，且在点偏导数存在，则为的稳定点，该点的坐标满足方程组 将代入方程组得27解： 解得 函数在点取得极小值28解：作拉格朗日函数解方程组 得 当时， 当时设为方程确定的隐函数记当时，函数取得极大值当时，函数取得极小值29解：设为抛物线上的任意一点，到直线之间的距离为：(原因是在的半平面上) 问题是求在条件下函数的最小值作拉格朗日函数解方程组解得这是唯一可能的极值点 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点取得 即抛物线与直线之间的距离为30解：在该圆域内点取得最小值在该圆域上的最大值是圆域上的点到原点距离的最大值，应在其边界上某点取得作拉格朗日函数： 解方程

25、组 解得 所求的最大值为最小值为第十章 重积分一、选择题1. 有关二元函数的奇偶性，下面说法正确的是( )(A) 关于是奇函数，关于也是奇函数; (B) 关于是奇函数，关于是偶函数;(C) 关于是偶函数，关于也是偶函数; (D) 关于是奇函数，关于无奇偶性.2. 已知，其中积分区域关于轴对称，若将右半区域记作，则( )(A) 当关于是偶函数时，;(B) 当关于是奇函数时，;(C) 当关于是偶函数时，;(D) 当关于是奇函数时，.3. 设平面区域由直线，及围成，关于 的表示法，正确的是( )(A) 直角坐标中 ，; (B) 直角坐标中 ，;(C) 极坐标中 ，;(D) 极坐标中 ，.4. 中是(

26、 )(A) 最大小区间长； (B)小区域最大面积； (C)小区域直径； (D)小区域最大直径.5. 函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分存在的( )(A) 充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；(C) 必要条件，但非充分条件； (D)既非充分条件，又非必要条件.6. 函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的(A) 充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；(C) 必要条件，但非充分条件； (D)既非充分条件，又非必要条件.7. 设，则I满足( )(A) ； (B)； (C)； ； (D).8. 设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域，f是区域D：

27、|x|+|y|1上的连续函数，二重积分，则为( )(A) 2； (B)4； (C)8； (D).9. 设区域D是在第一，四象限部分，在D上连续，则二重积分( )(A)； (B)；(C)； (D).10区域D由，围成，则=( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .11设是所给积分区域上的连续函数，则下列( )等式成立.(A)； (B)；(C)；(D).12. 累次积分又可写成( )形式.(A) ； (B)；(C) ； (D).13. D：，f在D上连续，则在极坐标下为( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .14. 与围成的公共部分体积是( )(A) ； (B) ；(C) ； (

28、D) .15. 若已知，则( )(A)； (B)； (C)； (D).16设是由球面所限定的球域，则=( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .17W为上半单位球, z0，W1是W在第一象限的部分，则有( )(A) ； (B)；(C)； (D).18. W是由;所确定的立体，则等于( )(A)； (B)；(C)；(D).19在空间直角坐标系中，以为密度的空间物体W对x轴的转动惯量为( )(A) ； (B) ； (C)； (D).20曲线y=ex, y=e-x及y=2所围成的平面均匀薄片的重心坐标是( )(A) (0,)； (B) (0.5,)； (C) (0,)； (D) (0.5,

29、).二、填空题1. 根据二重积分几何意义可确定积分= .2. 已知为，根据二重积分几何意义可确定= .3. 设是连续函数，为，则= .4. 已知由直线，和围成，则积分的值为 .5已知由，及围成，则积分的值为 .6已知由及围成，则积分的值为 .7. 由平面，及曲面所围成的立体的体积为 .8由曲面，()及平面所围成的立体的体积为 .9. 交换积分的次序得 .10. 交换积分的次序得 .11. 交换积分的次序得 .12. 交换积分的次序得 .13. 若是由，和围成的三角形区域，且，则 .14. 已知为 ()，积分化为极坐标下的二次积分的表达式为 .15. 将积分化为极坐标形式的二次积分为 .16.

30、已知，则三重积分的值为 .17. 已知由曲面，平面，及围成，则化为直角坐标系下的三次积分为 .18. 设连续，则= .19. 曲面在平面z1下方的面积为 .20. 曲线绕z 轴旋转一周而成的曲面介于平面z2 和z6 之间的部分的面积为 .三、 综合题1，其中由直线，及围成.2求，其中为，.3计算，其中是以0(0，0)，A(1，2)，B(2，1)为顶点的三角形区域.4计算其中是以0(0，0)，A(1，1)，B(0，1)为顶点的三角形区域.5求，其中由，及围成.6求，其中为.7计算，其中由，围成.8求，其中为，.9计算二次积分： (1);(2);(3).10求，其中为，.11求.12计算.13利用

31、极坐标计算积分，其中为.14求，其中为 ().15计算，其中是内部的部分.16求，其中为.17求，其中为，而.18计算二次积分 ().19设在a，b上连续，使用二重积分证明.20设在a，b上连续，且0，试用二重积分证明.21设是0，1上连续且单调减少的正值函数，证明.22闭区域由及围成，求的形心.23设三角形薄板所占区域由直线，及围成，面密度，求它的重心.24平面薄片所占闭区域由曲线及直线围成，面密度，求它对x轴和y轴的转动惯性，.25说明下列等式是否成立，为什么？其中，.，, ，, ,(1) , (2) , (3) 26计算三重积分，其中由曲面，平面，及围成.27密度为常数的四面体由及三个坐标面围成，求它关于轴的转动惯量.28计算三重积分，其中.29计算三重积分，其中由，及围成.30用柱面坐标计算三重积分，其中由曲面及平面围成.31利用三重积分求由曲面及所围成的立体的体积.32求由圆锥面与所围立体的形心.33计算三次积分.34用球面坐标计算三重积分，其中为，.35用球面坐标计算三重积分，其中由曲面及围成.36计算三重积分，其中为，.37设，求，其中，在上连续.38球体为，它的密度为，求它的重心.39计算三次积分.40计算三重积分，其中由曲面及平面 围成.