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1、 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题（文史类） 2011.5 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项： 1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集U=R，集合A=x2x1,B=x 0,则A
2、(CU B)= (A)xx1 (B)x0x1 (C)x0y0”是“1”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件（3）已知cos，0,则tan(+) （A） （B）-1 （C） （D）-7（4）双曲线1的焦点到渐近线的距离为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为 （A）8 （B）4 （C）4 （D） （6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是a,b,则向量（a,b）与向量（1,-1）垂直的概率是 （A） （B） （C） （D）（7）
3、已知函数f(x)x2-cosx,则f(-0.5)，f(0), f(0.6)的大小关系是 （A）f(0)f(-0.5)f(0.6) （B）f(-0.5)f(0.6)f(0) （C）f(0)f(0.6)f(-0.5) （D）f(-0.5)f(0)f(0.6)（8）已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC.设ABC,PBC,PCA,PAB的面积分别为S,S1 ,S2 ,S3 ,记=,=,=，定义M(P)（，），则当取最大值时，M(P)等于 （A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题
4、中横线上。（9）设i为虚数单位，复数z满足iz=1-i,则z=_.（10）已知向量a,b的夹角为60，若a（ma+2b）,则实数m的值为 .（11）如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处,且与它相距n mile，则此船的航行速度是 n mileh. （12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 。 （13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表： 环数 8 9 10 次数 2 2 1 则这5次射击的平均环数为 ；5次射击的方差为 .（14）已知区域D：则x2+y2的最小值
5、是 ； 若圆C：(x-a)2+(y-2)22与区域D有公共点，则实数a的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分） 已知函数f（x）2sinxcosx-2sin2x+1. （I）求函数f（x）的最小正周期及值域； （II）求f（x）的单调递增区间.（16）（本小题满分13分） 设an是一个公差为2的等差数列，a1,a2,a4成等比数列. （I）求数列an的通项公式an； （II）数列bn满足bn，求b1b2bn(用含n的式子表示).（17）（本小题满分13分） 在长方形AA1 B1 B中，AB2AA1 =4,C,C1
6、分别是AB，A1 B1的中点（如左图）。将此长方形沿CC1对折，使平面AA1C1C平面CC1B1 B（如右图），已知D,E分别是A1 B1，CC1的中点。（I）求证：C1D平面A1BE；（II）求证：平面A1BE平面AA1 B1 B；（III）求三棱锥C1A1BE的体积. （18）（本小题满分13分） 已知函数f(x)=-ax, aR. （I）求函数f(x)的单调区间； （II）当x0,+）时，都有f(x)0成立，求实数a的取值范围.（19）（本小题满分14分） 已知椭圆C：（ab0）经过点A（2,1），离心率为. （I）求椭圆C的方程； （II）过点（3,0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M
7、,N，设直线AM和直线AN的斜率分别为KAM和KAN,求证：KAM+KAN为定值。（20）（本小题满分14分） 对于正整数a,b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r,0rb.特别地，当r=0时，称b 能整除a,记作ba,已知A1,2,3,，23。 （I）存在qA,使得201191q+r（0r91），试求q,r的值； （II）若BA，card(B)=12(card(B)指集合B中的元素的个数),且存在a,bB,ba, ba,则称B为“和谐集”。求最大的mA，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题答案 （文史类） 201
8、1.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案 C B D B C B A A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。题号（9）（10）（11）（12） （13）（14）答案-1i- 16358.8 0.56 4-2,5三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分） 解：（I）f(x)sin2x+cos2x sin（2x+）, 4分 则函数f(x)的最小正周期是. 6分 函数f(x) 的值域是，. 8分 （II）依题意得2k2x+2k+(kZ), 10分
9、则kxk+(kZ). 12分 即f(x) 的单调递增区间是k，k+(kZ). 13分 （16）（本小题满分13分） 解：（I）由a1,a2,a4成等比数列得：（a1+2）2a1（a1+6）. 2分 解得a12. 4分 数列an的通项公式是an2n(nN*）. 6分 （II）bn4n(nN*）. 8分 则b1b2bn41 + 2+ + n 10分 (nN*）. 13分（17）（本小题满分13分） 证明：（I）取A1 B的中点F，连接DF,EF. 1分 因为D,F分别是A1 B1，A1 B的中点， 所以DF是A1 BB1的中位线. 2分 所以DFBB1CC1，且DFBB1CC1. 又因为E是CC1
10、的中点， 所以C1ECC1. 所以DFC1E，且DFC1E. 所以四边形C1EFD是平行四边形.3分 所以C1DEF. 又EF平面A1 BE，C1D平面A1 BE，4分 所以C1D平面A1 BE. 5分 （II）因为CC1A1C1，CC1B1C1且A1C1B1C1C1， 所以CC1平面A1C1B1. 因为BB1CC1，所以BB1平面A1C1B1. 因为C1D平面A1C1B1，所以BB1C1D.6分 又A1C1C1B1，且D是A1 B1的中点，所以C1DA1 B1.7分 因为A1 B1BB1B1，所以C1D平面AA1 B1 B.8分 由（I）知EFC1D. 所以EF平面AA1 B1 B. 又因E
11、F平面A1 BE， 所以平面A1 BE平面AA1 B1 B.10分 解：（III）由已知，长方形AA1 B1 B沿CC1对折后ACBC2,AB. 所以AB2AC2+BC2. 所以BCAC，且BCCC1，ACCC1C. 所以BC平面AA1CC1. 即BC平面A1EC1. 11分 所以BC. 12分 其中A1C1C1E211. 所以BC12.13分 （18）（本小题满分13分） 解：（I）f(x)的定义域是（-，+），f(x)-a. 2分 （1）当a0时，f(x) 0成立，f(x)的单调增区间为（-，+）；3分 （2）当a0时， 令f(x) 0，得xa，则f(x)的单调增区间是（a，+）. 4分
12、令f(x) 0，得xa，则f(x)的单调减区间是（-，a）. 5分 综上所述，当a0时，f(x)的单调增区间为（-，+）；当a0时，f(x)的单调减区间是（-，a），f(x)的单调增区间是（a，+）. 6分 （II）当x0时，f(x)10成立，aR. 7分 当x（0，+）时，f(x)=-ax0成立， 即x（0，+）时，a成立. 设g（x），9分 所以g（x）=.10分 当x（0,1）时，g（x）0，函数g（x）在（0,1）上为减函数；11分 x（1, +）时, g（x）0，函数g（x）在（1, +）上为增函数. 12分 则g（x）在x1处取得最小值，g（1）e.则ae. 综上所述，x0, +）
13、时, f(x)0成立的a的范围是（-，e. 13分 （19）（本小题满分14分） 解：（I）由题意得2分 解得a，b. 4分 故椭圆C的方程为.5分 （II）由题意可设直线l方程为y=k(x-3), 由得（1+2k2）x212k2x+18k26=0. 7分 因为直线l与椭圆C交于不同的两点M,N, 所以144k44（1+2k2）（18k26）24（1k2）0.解得-1k1. 8分 设M,N的坐标分别为（x1 ,y1）,（x2 ,y2）, 则x1+x2，x1x2，10分 y1k（x13）, y2k（x23）. 所以KAM+KAN 12分 -2. 所以KAM+KAN为定值-2. 14分 （20）（
14、本小题满分14分） （I）解：因为201191q+r ，所以20119122+9. 2分 又因为qA，所以q22,r9. 4分 （II）含有元素7的一个“和谐集”B01,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.5分 含有元素8的非“和谐集”C8,9,10,11,12，13,14,15,17,19,21,23.7分 当m8时，记M7+ii=1,2,16,N=2(7+i)i=1,2,3,4, 记P,则card(P)=12. 显然对任意1ij16,不存在n3,使得7+jn(7+i)成立.故P是非“和谐集”此时P8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23. 同理，当m
15、9,10,11,12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此m7. 10分 下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”. 设Ba1,a2,a11,7.若1,14,21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”. 现考虑1,14,21都不属于集合B，构造集合B12,4,8,16，B23,6,12，B35,10,20，B49,18，B511,22，B13,15,17,19,23.12分 以上B1B2B3B4B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑BB的情况，也即B中5个元素 全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1B2B3B4B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述，含7的含意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7. 14分
