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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试【福建卷】（文科数学）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3页至第4页全卷满分150分，考试时间120分钟 第卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011福建文，1】1若集合，则等于( ) A B C D【答案】A 【解析】故选A 【2011福建文，2】2是虚数单位，等于( ) A B C D 【答案】D【解析】故选D 【2011福建文，3】3若，则“”是“”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，有所以“”是“”的充分条件，反之
2、，当时，所以“”不是“”的必要条件故选A 【2011福建文，4】4某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A6 B8 C10 D12 【答案】B【解析】故选B【2011福建文，5】5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( ) A3 B11 C38 D123 【答案】B【解析】运行相应的程序是：第一步：，第二步：，输出故选B【2011福建文，6】6若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( ) A B C D 【答案】C【
3、解析】因为关于的方程有两个不相等的实数根，则，解得或故选 【2011福建文，7】7如图，矩形ABCD中，点为边的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于( ) A B C D 【答案】C【解析】因为，则点取自内部的概率故选C 【2011福建文，8】8已知函数若，则实数的值等于( ) A B C D 【答案】A【解析】因为，则由得，于是，故选A 【2011福建文，9】9若，且，则的值等于( ) A B C D 【答案】D【解析】 由得，所以，即，因为，所以，于是，所以故选D【2011福建文，10】10若，且函数在处有极值，则的最大值等于( ) A2 B3 C6 D9 【答案
4、】D【解析】 ，因为在处有极值，则，于是，因为，当且仅当时，等号成立此时，因此是一个极值点所以的最大值等于故选D 【2011福建文，11】11设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足： ，则曲线的离心率等于( ) A B C D 【答案】A 【解析】 因为，所以设，若为椭圆，则所以若为双曲线，则所以故选A【2011福建文，12】12在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论：；“整数，属于同一“类”的充要条件是“”其中，正确结论的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 ，所以正确；，所以不正确；，正确；若整数属于同一“类”，则，
5、则，所以正确由以上，正确，故选C 第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）【2011福建文，13】13若向量，则等于 【答案】 【解析】 【2011福建文，14】14若的面积为，则边的长度等于 【答案】 2【解析】 ，所以，又，所以是等边三角形，于是 【2011福建文，15】15如图，正方体中，点为的中点，点在上，若平面，则线段的长度等于 【答案】 【解析】因为，且平面与平面的交线为，所以，又点为的中点，所以为的中位线，所以，因为，为正方形，所以，所以【2011福建文，16】16商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确
6、定实际销售价格，这里，被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项，据此可得，最佳乐观系数的值等于 【答案】 【解析】由得，设，则由题设，则，即，于是，因为，所以三、解答题：（本大题共6小题，共74分）【2011福建文，17】17（本小题满分12分）已知等差数列中，() 求数列的通项公式； () 若数列的前项和，求的值【解析】本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想（）设等差数列的公差，则，由题设，所以（）因为，所以，解得或因为，所以【2011福建文，18】18（本小题满分12分）如图，直线与抛物线相切于点() 求实数的值； () 求以点为圆心，且
7、与抛物线的准线相切的圆的方程【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想（）解法1：由得，因为直线与抛物线相切，所以，解得解法2：设切点，由得， 所以切线在点处的斜率为，因为切线的斜率为，则，又在抛物线上，所以，于是的坐标为，因为在直线s上，所以，（）由（），则由解得，于是的坐标为，设以点为圆心的圆的方程为，抛物线的准线为，而圆与抛物线的准线相切则，所以圆的方程为【2011福建文，19】19（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得
8、到频率分布表如下：123450.20.45() 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求、的值； () 在()的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品记为，现从这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想 （）由频率分布表得，即因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，又因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所
9、以，于是所以，（）从件日用品中任取两件，所有可能的结果为：，所以所有可能的结果共个设事件表示“从这件日用品中任取两件，等级系数恰好相等”则包含的事件为，共个，所以所求的概率为【2011福建文，20】20（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面，点在线段上，且() 求证：平面；() 若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想（）因为，所以因为，所以又，所以（）由（），在中，又因为，则，又，所以四
10、边形为矩形四边形为梯形因为，所以，于是四棱锥的体积为【2011福建文，21】21（本小题满分12分）设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且() 若点的坐标为，求的值；() 若点为平面区域：上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值【解析】本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想（）因为的坐标为，则（）作出平面区域，则为图中的的区域，其中，因为，所以，则，所以，所以当，即时，取得最大值，且最大值为；当，即时，取得最小值，且最小值为【2011福建文，22】22（本小
11、题满分14分）已知为常数，且，函数（e=2.71828是自然对数的底数）() 求实数的值；() 求函数的单调区间； () 当时，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想() 由，得；（）由（），定义域为从而，因为，所以(1) 当时，由得，由得；(2) 当时，由得，由得；因而，当时，的单调增区间为，单调减区间为，当时，的单调增区间为，单调减区间为（）当时，令，则当在区间内变化时，的变化情况如下表：0极小值12因为，所以在区间内值域为由此可得，若，则对每一个，直线与曲线都有公共点，并且对每一个，直线与曲线都没有公共点综合以上，当时，存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点
