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1、2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。（1）设集合，则A. B. C. D. 【解析】：，则，答案应选A。（2）复数为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】：对应的点为在第四象限，答案应选D.（3）若点在函数的图象上，则的值为A. B. C. D. 【解析】：因为点在函数的图象上，所以，答案应选D.（4）不等式的解集是A. B. C. D. 【解析】：解法一：当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，不
2、成立；当时，原不等式可化为，解得.综上可知，或，答案应选D。解法二：可以作出函数的图象，令可得或，观察图像可得，或可使成立，答案应选D。解法三：利用绝对值的几何意义，表示实数轴上的点到点与的距离之和，要使点到点与的距离之和等于10，只需或，于是当，或可使成立，答案应选D。（5）对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【解析】：若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。（6）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则A. B. C. D. 【解析】
3、：解法一：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，即，答案应选C。解法二：令得函数在为增函数，同理可得函数在为减函数，则当时符合题意，即，答案应选C。解法三：由题意可知当时，函数取得极大值，则，即，即，结合选择项即可得答案应选C。解法四：由题意可知当时，函数取得最大值，则，结合选择项即可得答案应选C。（7）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元） 4 2 3 5销售额（万元） 49 26 39 54根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.6.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元【解析】由表可计算,因为点在回
4、归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.（8）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A. B. C. D. 【解析】：圆化为标准方程，圆心（3,0），所以双曲线的右焦点为（3,0），而，则，答案应选A。D.C.B.A.（9）函数的图象大致是【解析】：函数为奇函数，且，令得，由于函数为周期函数，而当时，当时，则答案应选C。（10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为A.6 B.7 C.8 D.9【解析】：当时，则，而是上最小正周期为2的周期函数，则，答案应选B。(11)右图
5、是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真，命题的个数是A.3 B.2 C.1 D.0【解析】：均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真，答案选A。（12）设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若,且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法正确的是A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点C. C,D可能同时在线段AB上
6、D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】：根据题意可知，若C或D是线段AB的中点，则，或，矛盾；若C,D可能同时在线段AB上，则则矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）执行右图所示的程序框图，输入，则输出的y的值是 。【解析】：当输入l=2，m=3，n=5时不满足，因此执行： 。由于278105，故执行,执行后y=278-105=173，再执行一次y=y-105后y的值为173-105=68，此时68105不成立，故输出68.答案应填：68.（14）若展开式的常数项为60
7、，则常数的值为 。【解析】：的展开式通项，令。答案应填：4.（15）设函数，观察：，根据上述事实，由归纳推理可得：当，且时， 。【解析】：由题意，以此类推可得。答案应填：。16.已知函数且。当时函数的零点为，则 。【解析】：根据，而函数在上连续，单调递增，故函数的零点在区间内，故。答案应填：2.三、解答题：本大题共6小题，共74分。17.（本小题满分12分） 在中，内角的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积S。【思路分析】（）已知三角等式中既含有角度又含有边长，由于所求为角的函数值，因此可考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数，进行化简得到，再逆用两角和的正弦公式即得；（）依据
8、题设条件，欲求的面积S可考虑正弦面积公式，如何求出a,c呢？由（）知的值，利用正弦定理的a,c的一个方程，又有余弦定理得到第二个方程，将两个方程联立解出a,c的值，代入得到三角形的面积。解：（）在中，由及正弦定理可得，即则，而，则，即。另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论.由可得即，则，由正弦定理可得。（）由及可得则，S，即。（18）（本题满分12分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。（）求红
9、队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望。【思路分析】（）红队至少两名队员获胜的情况有：甲乙胜丙不胜，甲丙胜乙不胜，乙丙胜甲不胜，甲乙丙都胜。这四个事件彼此互斥，可利用彼此互斥事件有一个发生的概率加法公式进行求解；（）依题意可知，对应的事件为：甲乙丙都不胜；对应的事件为：甲胜乙丙不胜，乙胜甲丙不胜，丙胜甲乙不胜；对应的事件为：甲乙胜丙不胜，甲丙胜乙不胜，乙丙胜甲不胜；对应的事件为：甲乙丙都胜。解析：（）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获
10、胜的概率为.（）依题意可知，；;.故的分布列为0123P0.10.350.40.15故.19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，（）若是线段的中点，求证：平面；（）若，求二面角的大小几何法：【思路分析】（）证明直线与平面平行最常用的方法有两种，一是判定定理，二是平面与平面平行的性质。本题两种方法都可以证明。思路一：注意到四边形为平行四边形，且，从而，又点是线段的中点，所以，四边形为平行四边形，则，由直线与平面平行的判定定理得证；思路二：取的中点为N,连接MN,GN,易证明平面MNG/平面ABFE，再由平面与平面平行的性质可得平面。（）求解二面角的平面角一般可
11、考虑几何法和向量法两种方法。思路一：（几何法）因为平面，则平面,因而可考虑三垂线定理法作出二面角的平面角。取AB的中点H，则， 平面，作，则为二面角的平面角。然后利用直角三角形计算出角的大小。思路二：（向量法）易知两两垂直，因此可以分别以AC,AD,AE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求出两个半平面的法向量，再由公式求得二面角的大小； 证明：（），可知延长交于点，而，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，若是线段的中点，而,则，四边形为平行四边形，则，又平面，所以平面；（）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。若，设，则，为的中点，在中,则，即二面角的
12、大小为。坐标法：（）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.由可得，由可得,，则，而平面，所以平面；（）（）若，设，则， ,则,设分别为平面与平面的法向量。则，令，则，； ，令，则，。于是，则，即二面角的大小为。20. （本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行第三行（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和【思路分析】（）可采用逐项分析验证的方法得到只有一组值符合题意，由此得到公比q的值，进而求出数列的通项公式；（）将（）得到的代入并
13、进行化简，得，由三部分的和构成，因此考虑利用拆项法求和，又由于式子中含有，因而还应该考虑分n为奇数和偶数两种情况求和。解析：（）由题意可知，公比，通项公式为；（）当时，当时故另解：令，即则故.21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的【思路分析】（）本小题难度较小，比较
14、容易理解题意，但需要注意运算。首先应该根据所给容器的体积把圆柱的高用表示出来，再求出关于的函数表达式。而函数的定义域应由解出，同时注意；（）由（）得到的关于的函数表达式，要求y最小时r的值，需要考虑运用导数求函数的最值。因为得到的与函数的定义域的关系不能确定，因此需要分类讨论。解析：（）由题意可知，即，则.容器的建造费用为，即，定义域为.（），令，得.令即，（1）当时，当，函数为减函数，当时有最小值；（2）当时，当，；当时，此时当时有最小值。22. （本小题满分12分）已知动直线与椭圆：交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点（）证明：和均为定值；（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存
15、在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由【思路分析】这个题目关键是做好第（）问，由于第（）问作为起点比前几年第（）问高了些（前几年第（）问多数为求曲线方程，比较简单，而今年的第（）问思维量大、运算量大，还需要进行分类讨论），所以考生普遍感到较难事实上，第（）问完全可以通过特殊情况的研究获得正确的结果，做第（），（）问时只要充分利用第（）问的结果，是不难做好的解析：（）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，即，则，满足，综上可知，.（）当直线的斜率不存在时，由（）知当直线的斜率存在时，由（）知，当且仅当，即
16、时等号成立，综上可知的最大值为。（）假设椭圆上存在三点，使得，由（）知，.解得,，因此只能从中选取，只能从中选取，因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，故椭圆上不存在三点，使得。 【解后反思】（）这是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学们重视一般地，定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方向解法二：若使用面积公式，其中，同样能得到，这个办法可以使运算量减小，应该适当考虑这个办法一般地，用割补法求三角形的面积时，分割线段最好在坐标轴上考虑利用三角形的面积公式，于是把点转化为向量，利用向量的夹角公式证明：，即，又，整理得，又，解法优点是不需要分类讨论，但是计算比较麻烦，变形技巧较高，不容易掌握，若是利用三角换元法对进行变形，可以避开较高的技巧，于是有下面的解法三解法三：推导的过程同解法根据椭圆的标准方程，令，则，又，或者由得，又，（）做第（）问应该充分利用第（）问的结论：解法三：直接坐标化可以顺利利用第（）问的结果，但是计算比较复杂：，当且仅当时取等号，结合第（）问可得，此时，符合条件因此，的最大值为
