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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高。球的体积，其中为球的半径。一组数据的标准差，其中表示这组数据的平均数。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。1. 设为虚数单位，则复数（ ） 2设集合，则（ ） 3. 若向量，则（ ） 4. 下列函数为偶函数的是（ ） 5. 已知变量满足约束条件，则的最小值为（ ） 6. 在中，若，则（ ） 7某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） 8. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于（ ） 9. 执行如
2、下图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为（ ） 10.对任意两个非零的平面向量，定义；若两个非零的平面向量满足，的夹角，且，都在集合中，则（ ） 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题(11-13题)11. 函数的定义域为_。12. 等比数列满足，则。13. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_。（从小到大排列）（二）选做题(14 - 15题，考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数，）和为参数），它们的交点坐标_。15.（几何证明选讲选做题
3、）如图3所示，直线与圆相切于点，是弦上的点，若，则_。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数，且。（1）求的值；（2）设，求的值。17. （本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：50，60，60，70，70,，80，80，90，90，100。（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数。18. （
4、本小题满分13分）如下图5所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高。（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面。19. （本小题满分14分）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足。（1）求的值；（2）求数列的通项公式。20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上。（1）求的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程。21. （满分14分）设，集合，。（1） 求集合（用区间表示）；（2） 求函数在内的极值点。2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，
5、满分40分。12345678910DAADCBCBCA1. 【解析】选 依题意：2【解析】选 3. 【解析】选 4. 【解析】选 与是奇函数,，是非奇非偶函数5. 【解析】选 约束条件对应边际及内的区域：，则6. 【解析】选 由正弦定理得：7【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为8. 【解析】选 圆的圆心到直线的距离，弦的长9. 【解析】选10. 【解析】选 都在集合中得：。二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。(一)必做题(11-13题)9. 【解析】定义域为，中的满足：或10. 【解析】，11. 【解析】这组数据为，不妨设得：如果有一个数为或；则其
6、余数为，不合题意；只能取；得：这组数据为(二)选做题(14 - 15题，考生只能从中选做一题)14.【解析】它们的交点坐标为， 解得：交点坐标为15.【解析】，得：。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.解：(1)。(2)，。，17.解：(1)。(2)平均分为。(3)数学成绩在内的人数为人，数学成绩在外的人数为人。答：(1)；(2)这100名学生语文成绩的平均分为；(3)数学成绩在外的人数为人。18.(1)证明：平面，面，又平面，平面。(2)是中点点到面的距离，三棱锥的体积。(3)取的中点为，连接。，又平面，平面平面平面，又平面平面，平面面，点是
7、棱的中点，又，得：平面。19.解:(1)在中，令。(2)，相减得：，相减得：，得，得：数列是以为首项，为公比的等比数列，。20.解：(1)由题意得：，故椭圆的方程为：。(2)当直线的斜率不存在时，设直线，直线与椭圆相切，直线与抛物线相切，得：不存在。当直线的斜率存在时，设直线，直线与椭圆相切两根相等；直线与抛物线相切两根相等，解得：或。21.解：(1)对于方程，判别式。因为，所以。当时，此时，所以；当时，此时，所以；当时，设方程的两根为且，则，所以，此时，综上可知，当时，；当时，；当时，。(2)，由，由或，所以函数在区间和上为递增，在区间上为递减。当时，因为，所以在内有极大值点和极小值点；当时，所以在内有极大值点；当时，在内有极大值点。综上可知：当时，在内有极大值点；当时，在内有极大值点和极小值点。
