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1、 2013年江苏省高三数学“迎高考”综合测试题（1） 本卷特色：考查全面，题型简单，立足基础，易考高分一、 填空题。（每题5分，共70分）1. 已知集合，则_【解析】由交集的定义可知，2. 若，则_【解析】由复数的运算法则可知，3. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量_【解析】根据样本A在样本总数中所占比例可知，解得4. 若数列满足N*，为常数，则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则_【解析】仔细读题，得出调和数列的概念后，根据概念可分析出是一个等差数列，因此由等差数列的求和公式以及等
2、差数列的性质，算出205. 已知锐角的面积为，则角C的大小为_【解析】由三角形面积公式，即可算出6. 若过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是_【解析】直线与圆有公共点，也就说明直线与圆相交或相切。不妨设直线，解得7. 已知正方体的外接球体积是，那么正方体的棱长等于_【解析】由球的体积公式算出，再设棱长为，8. 下图为求的程序框图，其中应为_【解析】本题是一个循环程序，到A=101时还要再加2，即当A=103时才可以停止，所以应为9. 已知向量与的夹角为120，且，则_【解析】由向量的模的计算公式可知10. 已知为正实数，且，那么的最小值是_【解析】根据基本不等式，11. 已知双曲线
3、的离心率为2，则实数_【解】由离心率公式可知，12. 无论取任何实数，方程的实根个数都是_【解】作图后不难发现，无论直线如何旋转（不与轴垂直），它与曲线永远只有两个交点，所以方程实根个数为2.13. 向面积为S的ABC内任意投一点P，则PBC的面积小于的概率是_【解析】本题属几何概型，可作平行于BC的中位线EF，当P点落在ABC的中位线以下区域时，即可满足条件，所以概率为14. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则实数_【解析】画出可行域，不难发现直线必过点，所以实数二、 解答题。15. （本题满分14分）在ABC中，角A、B、C对应的边分别为，且（1） 求角B的大小 （2
4、）若，求的值【解析】由余弦定理，由（1）知，若，再由正弦定理，即，所以16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【解析】（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面17. （本题满分15分）统计表明，某种型号的汽车在行驶过程中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数关系式可表示为已知甲乙两地相距100千米。（1） 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油多少
5、升？（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少，最少为多少升？【解析】（1）当，汽车从甲地到乙地用了2.5小时，耗油量（升）（2） 设从甲地到乙地的耗油量为升，由题意所以，令可得，分析单调性可知，在处同时取得极小值和最小值，最少耗油升。18.（本题满分15分）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于A、B两点，且的周长为8.（）求椭圆E的方程.（）设动直线与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（）设 则 的周长为 椭圆的方程为（）由对称性可知设与 直线 （*） （*）对恒成立， 得待添加的隐藏文字内容3 19. （本题满分16分）设，曲线与直线在(0，0)点相切。 ()求的值。 ()证明：当时，20. 设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.【解析】(1)设数列的公比为() 由成等差数列,得,即 由得,解得(舍去) (2)证法一:对任意 所以,对任意,成等差数列 证法二 对任意, 因此,对任意,成等差数列.
