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1、专题08 立体几何一、选择题1（全国理7题）如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）A B C D2（全国理7题）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）A B C D3（北京理3题）平面平面的一个充分条件是（D）A存在一条直线 B存在一条直线C存在两条平行直线D存在两条异面直线4（安徽理2题）设，均为直线，其中，在平面内，“”是且“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7（福建理10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1，则A、C两点间
2、的球面距离为（ B ）A B C D 9（湖南理8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ D ）A B C D10（江苏理4题）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是（ C ）A B C D11（江西理7题）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H则以下命题中，错误的命题是（ D ） A点H是A1BD的垂心 BAH垂直平面CB1D1 CAH的延长线经过点C1 D直线AH和BB1所成角为4512（辽宁理7题）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则C
3、若，则D若，则13（陕西理6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ） A B C D 14（四川理4题）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ D ）ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 D异面直线AD与CB1角为60 2020正视图20侧视图101020俯视图15(宁夏理8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（B） 若，则 若，则18（浙江理6题）若P是两条异面直线外的任意一点，则（ B ）A过点P有且仅有一条直线与都平行
4、 B过点P有且仅有一条直线与都垂直C过点P有且仅有一条直线与都相交 D过点P有且仅有一条直线与都异面二、填空题19（全国理16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。23（辽宁理15题）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 26（天津理12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为27（浙江理16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是_。三、解答题27（全国理19题）四棱锥S
5、ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。()证明：SABC；()求直线SD与平面SAB所成角的大小；连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为解法二：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以又，为等腰直角三角形，DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，所以（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为28（全国理19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为
6、正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。()求证：EF平面SAD；()设SD = 2CD，求二面角AEFD的大小；解法一：（1）作交于点，则为的中点连结，又，故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面平面，所以平面（2）不妨设，则中点又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角所以二面角的大小为29（北京理16题）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二
7、面角动点的斜边上（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值解法一：（I）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又在中，异面直线与所成角的大小为（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：（I）同解法一（II）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能
8、力满分12分解答：解法一：（）取中点，连结为正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得，点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）由（），为平面法向量，点到平面的距离32（广东理19题）如图6所示，等腰AB
9、C的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE。记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积。（）求V(x)的表达式；（）当x为何值时，V(x)取得最大值？（）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；33（湖北理18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=。（）求证：平面VAB平面VCD ；（）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和
10、推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为又，即直线与平面所成角的取值范围为解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，又，即直线与平面所成角的取值范围为解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所
11、示的空间直角坐标系，则设设是平面的一个非零法向量，则取，得可取，又，于是，关于递增，即直线与平面所成角的取值范围为AEBGDFCAEBCFDG1G2图1图234（湖南理18题）如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图2（I）证明：平面平面；（II）当，时，求直线和平面所成的角；解：解法一：（）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面由题设， ，则所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：（I）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而又，所设是平面的一个法向量，由得故可取过点作平面于点，
12、因为，所以，于是点在轴上因为，所以，设（），由，解得，所以设和平面所成的角是，则故直线与平面所成的角是ABCDA1D1C1B1GMHFE35（江苏理18题）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。（I）求证：四点共面；（4分）（II）若点在上，点在上，垂足为，求证：面；所以则是平行四边形，因此有平面且平面，则面（2）如图，过作截面面，分别交，于，作于，连因为面，所以，则平面又因为，所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角因为，所以，故，即：所求二面角的大小为（3）因为，所以所求几何体体积为设是平面的一个法向量，则则，得：取，显然，为平面的一个法向量则，结合图形可知所求二面角
13、为锐角所以二面角的大小是（3）同解法一37（辽宁理18题）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为。（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离。38（宁夏理19题）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则39（陕西理19题）如图,在底面为直角梯形的四棱
14、锥中，,BC=6。()求证：；()求二面角的大小；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）过作，垂足为，连接平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，为二面角的平面角AEDPCBF又，又，由得在中，二面角的大小为平面的法向量取为，二面角的大小为40（上海理19题）体积为1的直三棱柱中，求直线与平面所成角。41（四川理19题）如图，四边形是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60.（）求证：平面平面；（）求二面角的大小；（）求三棱锥的体积；分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力
15、、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（），又（）取的中点，则，连结，在中，在中，故二面角的平面角大小为（）由（）知，为正方形解法二：（）同解法一（）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，平面的法向量取为设与所成的角为，则显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为（）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离，42（天津理19题）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明；（）证明平面；（）求二面角的大小；分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分12分解答：（）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平
16、面，（）证明：由，可得是的中点，由（）知，且，所以平面而平面，所以二面角的大小是解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以二面角的大小是43（浙江理19题）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中点。（）求证：；（）求CM与平面CDE所成的角；分析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分解答：方法一：（I）证明：因为，是的中点，所以又平面，所以所以，得是直角三角形，其中，所以在中，所以，故与平面所成的角是方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，
