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1、考点突破考点一、二面角的定义求法典例1 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。解题思路 利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.解题过程 （I）作交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M. FG（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，连结AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又为AM的中点，G
2、F是AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角. ，则，又，是等边三角形，在中，二面角的大小为易错点拨 准确找出二面角的平面角是解决本问题的关键，定义是常用方法，另外，用向量解法也可。变式 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.点拨 第1题容易发现，可通过证AEAD后推出AE平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的
3、平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。答案 二面角的余弦值为E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 考点二、三垂线法求二面角的大小典例2 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）证明：直线EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。 解题思路 (1)证CF1/EE1 （2）过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形
4、成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。解题过程 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC. （2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角
5、形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F,在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为. E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,
6、所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC.（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.易错点拨 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。变式
7、 如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小点拨 本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD平面PAB后，容易发现平面PAB平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。答案 （）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面.（）证明：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（）解：过点P做于
8、H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角。由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为综合突破求二面角与空间向量结合考查典例3 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 解题思路 以点为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量这一工具解决。异面直线BF与DE所成的角即为与所成的角；证明面面垂直即证两个
9、平面的法向量垂直，求二面角即为两个平面的法向量垂直所成的角。两个向量所成角公式：解题过程 如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为 快乐训练1、正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为_ _；2、将A为60的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是 _； 3、正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面B1BCC所成的为30，则二面角C1BD1B1的大小为_ _；4、从点P出发引三条射线PA、
10、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角B-PA-C的余弦值是_ _；5、二面角-的平面角为120，A、B，AC，BD，AC，BD，若AB=AC=BD=1，则CD的长_ _；PBCAEFD6、ABCD为菱形，DAB60，PD面ABCD，且PDAD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为_ _。7、空间三条射线CA、CP、CB，PCA=PCB=600，ACB=900，求二面角B-PC-A的大小。DCBAH8、如图：RtABC中，斜边AB在平面内，C,AC、BC与所成角分别为450和300，求平面ABC与所成角。提高训练1、P是二面角的棱AB上一点，分别在上引射线PM、PN，若，则二面角的大
11、小为（ ）A. B. C. D. 2、正方体中二面角的大小为 。ACBVO3、在一个的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 。4、如图，立体图形V-ABC的四个侧面是全等的正三角形，则二面角V-AB-C的度数为（ ）A. B. ABMNPlC. D. 5、如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PBl，B为垂足，A为l上一点，且PAB=，PA与平面M所成角为，二面角M-l-N的大小为，则有 （ ） Asin=sinsin Bsin=sinsinC sin=sinsin D 以上都不对6、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，
12、PA=AB=a，ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。7、过正方形ABCD所在平面外一点P作平面ABCD，设PA=AB=，求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。DBAPC8、如图所示，已知四棱锥P-ABCD，PB，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为。求二面角A-PB-C的大小。ABCDA1D1C1B1超越训练1、如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1BDC的正切值。 2、如图，在直三棱柱中，平面侧面.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.3、如图所示，多面体中，是梯形，是矩形，平面平面，。（1）求证：平面；（2）若是棱上一点，平面，求；（3）求二面角的平面角的余弦值。DCBAA4、 如图，在六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面ABCD，。（1） 求证：与AC共面，与BD共面；（2） 求证：平面平面；（3） 求二面角的大小（用反三角函数表示）。9
