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1、课时作业(十五)第15讲导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例 (时间：45分钟分值：100分)1函数yxsinx，x的最大值是()A1 B.1C D12函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a0，b0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则a3，则方程x3ax210在(0，2)上恰有_个实根132012南京一模 若关于x的方程kx1lnx有解，则实数k的取值范围是_14(10分)已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f(1)0，求函数yf(x)在上的最大值
2、和最小值15(13分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？16(12分)2012石家庄二模 己知函数f(x)(x2axa)ex(a2，e为自然对数的底数)(1)若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在x2，2，使得f(x)3a2e2，求实数a的取值范围课时作业(十五)【基础热身】1C解析 f(x)1
3、cosx0，所以f(x)在上为增函数，所以f(x)的最大值为f()sin，故选C.2B解析 f(x)3x23a，3a0，令f(x)0，可得ax2.又x(0，1)，所以0a1.3B解析 f(x)(excosx)(ex)cosxex(cosx)excosxex(sinx)ex(cosxsinx)，则函数f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率kf(0)e01，故切线的倾斜角为，故选B.4(，4)(0，)解析 f(x)3x26x.令f(x)0有x0或x2.当x0，f(x)是增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)是增函数因为f(x)有且只有一个零点，所以f(0)0，得a0或a0，所以h
4、(x)在1，1上单调递增，有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数6B解析 令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，所以由g(x)在R上递增又g(1)f(1)20.所以由g(x)0，得x1.故选B.7C解析 如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.造价为y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，所以y4aR.由题意，令y0，得.8C解析 由(x1)f(x)0，得x1时，f(x)0；x1时，f(x)0，函数yf(x)在(，1上单调递减，f(0)f(1)；在1，)上单调递增，f(2)f(1)所以f(0)f(2)2f(1)函数yf(x)可为常数函数，则f(0)f(
5、2)2f(1)故选C.9A解析 由ea2aeb3b，有ea3aeb3b，令函数f(x)ex3x，则f(x)在(0，)上单调递增，f(a)f(b)，ab，A正确，B错误；由ea2aeb3b，有ea2aeb2b，令函数f(x)ex2x，则f(x)ex2，函数f(x)ex2x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增，当a，b(0，ln2)时，由f(a)b，当a，b(ln2，)时，由f(a)f(b)得a0，故|MN|min1ln(1ln3)11(0，3)解析 f(x)3x22mxx(3x2m)令f(x)0，得x0或x.因为x(0，2)，所以02，所以0m3，则在(0，2)上f(x)0，f(
6、2)94a0，所以分离参数可得k，因为方程kx1lnx有解，所以k的取值为函数f(x)的值域又f(x)，令f(x)0，则xe2.当x(0，e2)时，f(x)0；当x(e2，)时，f(x)，所以f(x)在上的最大值为f(1)6，最小值为f.15解：(1)当x40 km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5 h要耗油2.517.5 L.所以当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.(2)当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶 h，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)h(x)(0x120)，令h(x)0，得x80，当x(0，80)时，h(x)0，h
7、(x)是减函数；当x(80，120时，h(x)0，h(x)是增函数所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.因此h(x)在(0，120上只有一个极值，也是它的最小值所以，当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.【难点突破】16解：(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，切点为(1，e)，于是有f(x)(x2x)ex，kf(1)2e，所以切线方程为y2exe.(2)f(x)x(xa2)ex，令f(x)0，得xa20或x0，当2a20，即0a2时，x2(2，a2)a2(a2，0)0(0，2)2f(x)00f(x)极大值极小值所以f(a2)ea2(4a)，f(2)e2(4a)，当0a2时，有f(2)f(a2)，若存在x2，2使得f(x)3a2e2，只需e2(4a)3a2e2，解得a1，所以0a1.当a22，即a0时，x2(2，0)0(0，2)2f(x)0f(x)极小值所以f(2)e2(43a)，f(2)e2(4a)，因为e2(43a)f(2)，若存在x2，2使得f(x)3a2e2，只需e2(4a)3a2e2，解得a1，所以a0.综上所述，有a1.
