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1、复数、框图、合情推理(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.(2013湖北,理1)在复平面内,复数z=(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.阅读下面的程序框图,若输出s的值为-7,则判断框内可填写()A.i3?B.i4?C.i5?D.i6?3.(2013福建,文8)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数n后,输出的S(10,20),那么n的值为()A.3B.4C.5D.64.复数的共轭复数是a+bi(a,bR),i是虚数单位,则ab的值是()A.-7B.-6C.7D.65.
2、观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,则52 014的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.81256.如图所示的三角形数阵是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n2),其余每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,则第7行第4个数(从左往右数)为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.下表是某工厂10个车间2013年2月份产量的统计表,1到10车间的产量依次记为A1,A2,A10(如:A2表示2号车间的产量为900件).如图是统计表中产量在一定范围内车间个数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结
3、果是.车间12345产量/件11009009508501500车间678910产量/件81097090083013008.两点等分单位圆时,有相应正确关系为sin+sin(+)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sin+sin+sin=0.由此可以推知:四点等分单位圆时的相应正确关系为.9.(2013北京东城模拟,14)数列an的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行增加两项,若an=an(a0),则位于第10行的第8列的项是,a2 014在图中位于.(填第几行的第几列)三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)
4、已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.11.(本小题满分15分)已知函数f(x)=,g(x)=. (1)求证:f(x)是奇函数;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式,并证明.12.(本小题满分16分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2,n=1,2,3,.(1)求a3,a4,并求数列an的通项公式;(2)设bn=,Sn=b1+b2+bn,证明Sn2.#1.D解析:z=i(1-i)=1+i,复数z=的共轭复数=1-i,其在复平面内对
5、应的点(1,-1)位于第四象限.2.D解析:i=1,s=2;s=2-1=1,i=1+2=3;s=1-3=-2,i=3+2=5;s=-2-5=-7,i=5+2=7.因输出s的值为-7,循环终止,故判断框内应填“i6?”,故选D.3.B解析:若n=3,则输出S=7;若n=4,则输出S=15,符合题意.故选B.4.C解析:设z=7-i,=7+i=a+bi,得a=7,b=1,ab=7.5.B解析:由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,故周期T=4.又由于2 014=5034+2,因此52 0
6、14的末四位数字是5625.6.A解析:由“第n行有n个数且两端的数均为(n2)”可知,第7行第1个数为,由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第7行第2个数为,同理,第7行第3个数为,第7行第4个数为.7.5解析:该算法流程图输出的是月产量大于900件的车间的个数,由月产量统计表可知,n=5.8.sin+sin+sin(+)+sin=0解析:由类比推理可知,四点等分单位圆时,与+的终边互为反向延长线,+与+的终边互为反向延长线,如图.9.a89第45行的第78列解析:由题意知前10行有1+3+5+19=100(项),前9行有1+3+5+17=81(项).故第10行第8列对应的项应为
7、数列an的第89项,故为a89.此三角形阵前n行共有1+3+5+(2n-1)=n2(项),又1 936=4422 014452=2 025,a2 014应位于第45行第78列.10.解:设x=a+bi(a,bR),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得解得故所求复数为11.(1)证明:f(x)的定义域为(-,0)(0,+),又f(-x)=-=-f(x),故f(x)是奇函数.(2)解:计算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,于是猜测f(x2)-5f(x)g(x)=0(xR且x0).证明
8、:f(x2)-5f(x)g(x)=-5=0.12.解:(1)因为a1=1,a2=2,所以a3=a1+sin2=a1+1=2,a4=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4.一般地,当n=2k-1(kN*)时,a2k+1=a2k-1+sin2=a2k-1+1,即a2k+1-a2k-1=1.所以数列a2k-1是首项为1、公差为1的等差数列,因此a2k-1=k.当n=2k时,a2k+2=a2k+sin2=2a2k.所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列,因此a2k=2k.故数列an的通项公式为an=(2)由(1)知,bn=,Sn=+,Sn=+,-得,Sn=+=1-.所以Sn=2-=2-0,所以Sn+1Sn,即Sn是递增数列.故Sn2.
