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1、福建省各地2015届高三上最新数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（三明市B片区高中联盟校2015届高三上学期期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为二、解答题1、（福州市2015届高三上学期教学质量检查）已知函数，其中是自然对数的底数（）判断函数在内的零点的个数，并说明理由；（），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（）若，求证：2、（龙岩市一级达标校2015届高三上学期期末）已知函数（）设，求证：当时，；若函数恰有两个零点，（）求实数的取值范围；已知存在，使得，试判断与的大小，并加以证明3、（宁德市2015届高三上学期单科质检）已知函数（）若，求函数的极
2、值；（）若在有唯一的零点，求的取值范围；（）若，设，求证：在内有唯一的零点，且对（）中的，满足4、（泉州市2015届高三上学期单科质检）已知：函数，；直线，.（1） 设函数，试求的单调区间;（2） 记函数的图象与直线，轴所围成的面积为函数的图象与直线，轴所围成的面积为.(i) 若，试判断的大小，并加以证明；(ii) 证明：对于任意的，总存在唯一的，使得5、（三明市B片区高中联盟校2015届高三上学期期末）已知函数常数）在处的切线垂直于轴(I)求实数的关系式；(II)当时，函数与函数的图象有两个不同的公共点，求实数的取值范围；(III)数列满足 （且），数列的前项和为，求证：（,是自然对数的底）
3、6、（厦门市2015届高三上学期质检）设函数（I）若，求函数的极值；（II）若函数存在两个零点, 求的取值范围； 求证：(e为自然对数的底数)7、（福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考）设曲线在点处的切线斜率为，且。对一切实数，不等式恒成立（I）求的值。（II）求函数的表达式；（III）求证：8、（漳州市八校2015届高三第二次联考）设函数.（）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；（）记为函数的导函数若，试问：在区间上是否存在（）个正数，使得成立？请证明你的结论.9、（德化一中2015届高三第三次月考）已知函数(R)，曲线在点处的切
4、线方程为.（I）求实数a的值，并求的单调区间；（II）试比较与的大小，并说明理由；（III）是否存在kZ，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.10、（福州市第八中学2015届高三第四次质检）巳知函数，其中.（）若是函数的极值点，求的值；（）若在区间上单调递增，求的取值范围；（）记，求证：.11、（龙海二中2015届高三上学期期末）已知函数，（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；（3）若方程有两个解，求实数的取值范围12、（宁化一中2015届高三第四次阶段考）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若是函数图像上不同的两点，且
5、直线的斜率恒大于实数，求实数的取值范围； (3)当时，设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.13、（莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考）已知函数()若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；()在()的结论下，设函数的最小值；()设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1、二、解答题1、本题主要考查函数的零点、函数的导数、
6、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等解：（）函数在上的零点的个数为11分理由如下：因为，所以2分因为，所以，所以函数在上是单调递增函数3分因为，根据函数零点存在性定理得函数在上的零点的个数为14分（）因为不等式等价于，所以 ，使得不等式成立，等价于，即6分当时，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值7分又，由于，所以，故在区间上单调递减，因此，时，取得最大值8分所以，所以所以实数的取值范围是9分（）当时，要证，只要证，只要证，只要证，由于，只要证10分下面证明时，不等式成立令，则，当时，单调递减；当时，单调递
7、增所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为：，由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线取得斜率的最大值为12分故时，；时，13分综上所述，当时，成立 14分2、解：（I）当时，设则，当时，；当时，.因此，函数在上单调递增，在上是单调递减得，即. 4分（II）（i）由得.当时则在上是单调递增，因此函数至多只有一个零点，不符合题意. 5分当时，由得因此，在上是单调递增，在上是单调递减，所以.一方面，当从右边趋近于0时，；当时，因此， 6分另一方面，由得，即因此，很明显在上是单调递增且根据题意得，即方程有且只有一个大
8、于1的正实数根.设，由得解得所以，实数的取值范围是 9分3、本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分解法一：（）当时，1分由，令，得当变化时，的变化如下表：0极小值故函数在单调递减，在单调递增，3分有极小值，无极大值4分（），令，得，设则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点当时，方程的解为，满足题意；5分当时，由函数图象的对称轴，函数在上单调递增，且，所以满足题意；6分当，时，此时方程的解为，不符合题意；当，时，由，只需，得7分综上，8分（说明：未讨论扣1分）（）设，则，
9、9分 ，由，故由（）可知，方程在内有唯一的解，且当时，单调递减；时，单调递增11分又，所以12分取，则， 从而当时，必存在唯一的零点，且，即，得，且，从而函数在内有唯一的零点，满足14分解法二：（）同解法一；4分（），令，由，得5分设，则，6分问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题又当时，单调递增，7分故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当8分（）同解法一（说明：第（）问判断零点存在时，利用时，进行证明，扣1分）4、5、解：（1），由，得。3分（2）当时，。令，即，于是函数与函数的图象有两个不同的公共点，等价于有两个不同的根。4分令， 6分在上单调递减，在上单调递增，且7分当 时， 当
10、 时，当 时 ，函数与函数的图象有两个不同的公共点。8分（3）， ， ， 9分由（2）知，令 得 即11分 累加得 13分即 得证 14分6、 7、解：（I）由对一切实数，不等式恒成立得 ， 3分（II） 由得 得 5分又恒成立则由恒成立得 同理由恒成立得 8分综上， 9分（III） 10分要证原不等式，即证： 11分 14分注：第（III）小题也可用数学归纳法证明。8、本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想满分12分解：（）当时，所以切线的斜率为.2分 又，所以切点为. 故所求的切线方程为：即.4分（），.6分令，
11、则.当时，；当时，.故为函数的唯一极大值点，所以的最大值为=.8分由题意有，解得. 所以的取值范围为.10分（）当时，. 记，其中.当时，在上为增函数，即在上为增函数. 12分又，所以，对任意的，总有.所以，又因为，所以.故在区间上不存在使得成立的（）个正数. 14分9、解：（I）依题意，1分所以，又由切线方程可得，即，解得，此时，3分令，所以，解得；令，所以，解得，所以的增区间为：，减区间为：.5分（II）【法一】由(1)知，函数在上单调递减，所以，即9分【法二】，因为所以，所以.9分（III）若对任意恒成立，则，记，只需.又，10分记，则，所以在上单调递减.又，所以存在唯一，使得，即，11
12、分当时，的变化情况如下：00极大值12分所以，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，13分又，所以，因为，即，且kZ，故k的最小整数值为3.所以存在最小整数，使得对任意恒成立.14分10、（） 解法1： ，9分 令， 则 11分 令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，则，则， 13分故 14分 解法2： 9分 则表示上一点与直线上一点距离的平方 由得，让，解得， 直线与的图象相切于点，12分 （另解：令，则， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 直线与的图象相切于点）， 点（1，0）到直线的距离为， 则14分11、（1）解： （ 令，得故函数的单调递增区间为4分（2） 当时，当时，要
13、使在上递增，必须，如使在上递增，必须，即，由上得出，当时，在上均为增函数 9分（3）方程有两个解有两个解设, （） 随变化如下表 极小值由于在上，只有一个极小值，的最小值为，当m时，方程有两个解. 14分12、解：（1）的定义域为且1分当时，即在上递增；2分当时，令，则，即，即 即在上递增，在上递减；4分综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为（2）设，其中，由题知：在上恒成立，即恒成立，即恒成立，令即在上递增，即在上恒成立，即在上恒成立，即当即时，所以，所以8分（3）设在的切线能平行于轴，因为，所以结合题意，有 9分得，所以由得所以 11分设，式变为 设，所以函数在上单调递增，因此，即也就是，此式与矛盾.所以在处的切线不能平行于轴.14分13、解：（1）依题意：上是增函数，恒成立，2分 b的取值范围为4分（2）设，即 5分当上为增函数，当t=1时，6分当7分当上为减函数，当t=2时，8分综上所述，当当9分（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则 ，12分设令则 所以上单调递增，故 ， 则这与矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.14分
