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1、2016年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1若集合M=1，2，3，4，N=x|x（x3）0，则MN等于（）A1，2，3B1，2Cx|1x3D2，3，42设复数z=2+i，则复数z（1z）的共轭复数为（）A13iB1+3iC1+3iD13i3在等差数列an，a6=9，a3=3a2，则a1等于（）A1B2C1D24设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=6x+y的最大值为（）A2B C6D5若双曲线M：=1（m0）的离心率为2，则双曲线N：x2=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=2xCy=xD
2、y=2x6如图，在梯形ABCD中，AB=3CD，则下列判断正确的是（）A =3B =C =D =+7某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（）A B2C D38执行如图所示的程序框图，若输出S的值为18，则输入的S值为（）A4B7C22D329已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），为了得到f（x）的图象，只需将g（x）=2sinx的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位10若关于x的不等式4x+xa在x（0，上恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，+）B（0，1C（，D，111设为锐角，则“l
3、og2tan1”是“0sin2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12直线x4y+1=0经过抛物线y=ax2的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PAPB，其中，A（0，2+m），B（0，2m），则正数m的最小值为（）A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为14曲线f（x）=ex+5sinx在（0，1）处的切线方程为15一边长为3
4、的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为16设Sn，为数列an的前n项和，若Sn=2n1，则的最大值为三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60，c=b（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，BCD的面积为，求BD的长18某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组457910乙组56789（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格
5、零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率19在四梭推 PABCD中，CD平面PAD，ABCD，CD=4AB，ACPA，M为线段CP上一点（1）求证：平面ACD平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB平面PAD20已知椭圆C： +=1（ab0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k0）在第一象限的交点为A设B（，1），且=，求
6、k的值；若A与D关于x轴对称，求AOD的面积的最大值21已知函数f（x）=，f（0）=9，其中a0，b，cR，且b+c=10（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间1，2上仅存在一个x0，使得f（x0）a，求实数a的值请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，ABO三边上的点C、D、E都在O上，已知ABDE，AC=CB（l）求证：直线AB与O相切；（2）若AD=2，且tanACD=，求AO的长选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标中，直线l的方程为（3cos4sin）=2，曲线C的方程为=m（m0） （1）求
7、直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知不等式|x+2|+|x2丨10的解集为A（1）求集合A；（2）若a，bA，xR+，不等式a+b（x4）（9）+m恒成立，求实数m的取值范围2016年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1若集合M=1，2，3，4，N=x|x（x3）0，则MN等于（）A1，2，3B1，2Cx|1x3D2，3，4【考点】交集及其运算【分析】先化简集合N，再求MN【解答】解
8、：集合M=1，2，3，4，N=x|x（x3）0=x|0x3，MN=1，2故选：B2设复数z=2+i，则复数z（1z）的共轭复数为（）A13iB1+3iC1+3iD13i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把z=2+i代入z（1z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1z）的共轭复数【解答】解：z=2+i，z（1z）=（2+i）（1i）=13i，复数z（1z）的共轭复数为1+3i故选：B3在等差数列an，a6=9，a3=3a2，则a1等于（）A1B2C1D2【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a6=9，a3=3a2
9、，a1+5d=9，a1+2d=3（a1+d），解得a1=1，故选：C4设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=6x+y的最大值为（）A2B C6D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=6x+y得y=6x+z，平移直线y=6x+z，由图象可知当直线y=6x+z经过点C时，直线y=6x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即C（1，0），代入目标函数z=6x+y得z=61+0=6即目标函数z=6x+y的最大值为6故选：C5若双曲线M：=1（m0）的离心率为2，则双曲线N：x2=1的渐近
10、线方程为（）Ay=xBy=2xCy=xDy=2x【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的离心率求出m=2，然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，双曲线M：=1（m0）的离心率为2，=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，则双曲线N：x2=1的渐近线y=x=y=x，故选：A6如图，在梯形ABCD中，AB=3CD，则下列判断正确的是（）A =3B =C =D =+【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】在梯形ABCD中，AB=3CD，ABDC，利用向量的三角形法则、向量共线定理即可判断出结论【解答】解：在梯形ABCD中
11、，AB=3CD，ABDC， =， =+=+故选：D7某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积等于（）A B2C D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为四棱柱与三棱柱的组合体【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为1的正方形，高为2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以几何体的体积V=112+=故选C8执行如图所示的程序框图，若输出S的值为18，则输入的S值为（）A4B7C22D32【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i6，退出循环，输出S的值为S+49+162
12、5=18，从而解得S的值【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i=2，满足条件i6，满足条件i是偶数，S=S+4，i=3满足条件i6，不满足条件i是偶数，S=S+49，i=4满足条件i6，满足条件i是偶数，S=S+49+16，i=5满足条件i6，不满足条件i是偶数，S=S+49+1625，i=6不满足条件i6，退出循环，输出S的值为S+49+1625=18，故解得：S=4故选：A9已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），为了得到f（x）的图象，只需将g（x）=2sinx的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平
13、移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由周期求出，由零点的坐标求出的值，可得f（x）的解析式；再根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），可得=，=3再根据3+=k，kZ，可得=k，0，=，f（x）=2sin（3x）只需将g（x）=2sin3x的图象向右平移个单位，可得f（x）=2sin3（x）=2sin（3x）的图象，故选：D10若关于x的不等式4x+xa在x（0，上恒成立，则实数a的取值范围是（）A1，+）B（0，1C（，D，1【考点】函数恒成立问题【分
14、析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论【解答】解：不等式4x+xa在x（0，上恒成立，等价为不等式4x+xa在x（0，上恒成立，设f（x）=4x+x，则函数在（0，上为增函数，当x=时，函数f（x）取得最大值f（）=4+=21=1，则a1，故选：A11设为锐角，则“log2tan1”是“0sin2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】为锐角，可得tan0，则“log2tan1”可得：tan2，可得： “0sin2”，反之不成立，例如取=即可判断出结论【解答】解：为锐角，tan0，则“lo
15、g2tan1”tan2，“0sin2”，反之不成立，例如取=“log2tan1”是“0sin2”的充分不必要条件故选：A12直线x4y+1=0经过抛物线y=ax2的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PAPB，其中，A（0，2+m），B（0，2m），则正数m的最小值为（）A B C D【考点】二次函数的性质【分析】由抛物线的焦点，得到未知量a，由垂直得到斜率乘积是1，由此得到m的取值范围【解答】解：y=ax2的焦点坐标为（0，）a=1，抛物线为y=x2，设P点坐标为（x，x2）PAPB，其中，A（0，2+m），B（0，2m），kPAkPB=1x43x2+4m2=0有解令t=x2，（t0）则方程变为
16、t23t+4m2=0，且在t0上有解，对称轴为t=，只需0即可，m故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为15【考点】分层抽样方法【分析】根据总体中年员工的所占的比例、样本的容量，求出应抽取中年员工的人数【解答】解：因为老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，所以参演的中年员工的人数为：36=15，故答案为：1514曲线f（x）=ex+5sinx在（0，1）处的切线方
17、程为y=6x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=ex+5cosx，则f（0）=e0+5cos0=1+5=6，即函数在（0，1）处的切线斜率k=f（0）=6，则对应的方程为y1=6x，即y=6x+1，故答案为：y=6x+115一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为40【考点】球的体积和表面积【分析】先求出正三角形外接圆的半径，再求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积S【解答】解：一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，正三角形外接圆
18、的半径r=3=，球心O到此正三角形所在的平面的距离为d=，球O的半径R=，球O的表面积S=4R2=40故答案为：4016设Sn，为数列an的前n项和，若Sn=2n1，则的最大值为【考点】等比数列的前n项和【分析】Sn=2n1，可得a1=S1=1，当n2时，an=SnSn1则=，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：Sn=2n1，a1=S1=21=1，当n2时，an=SnSn1=（2n1）（2n11）=2n1则=，当且仅当n=3时取等号的最大值为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60，
19、c=b（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，BCD的面积为，求BD的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由C=60，可得sinC，由c=b，可得：，又由正弦定理可得：，解得sinB，结合bc，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）C=60，可得：sinC=，由c=b，可得：，又由正弦定理，可得：，解得：sinB=，由已知可得bc，可得B为锐角，可得：B=45，A=BC=75（2）BCD的面积为，即： aCDsinC=，解得：CD=1，由余弦定理可得：BD
20、=18某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组457910乙组56789（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够比较两组员工的业务水平（）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一
21、名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率【解答】解：（）依题意， =（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S= （47）2+（97）2+（107）2=5.2，S= （57）2+（87）2+（97）2=2=，S甲2S乙2，两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大（）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7
22、，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，P（A）=19在四梭推 PABCD中，CD平面PAD，ABCD，CD=4AB，ACPA，M为线段CP上一点（1）求证：平面ACD平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB平面PAD【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由CD平面PAD得PACD，结合
23、PAAC，得PA平面ACD，故平面ACD平面PAM；（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AE，可得MECD，ME=CD，因为ABCD，AB=CD，所以AB与ME平行且相等，推出四边形ABME是平行四边形，故MBAE，所以MB平面PAD【解答】证明：（1）CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA，又ACPA，CDAC=C，PA平面ACD，PA平面PAM，平面ACD平面PAM（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AEPM=PC，MECD，ME=CD，又ABCD，AB=CD，MEAB，ME=AB，四边形ABME是平行四边形，MBAE，又AE平面PAD，MB平面PAD，MB平面P
24、AD20已知椭圆C： +=1（ab0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k0）在第一象限的交点为A设B（，1），且=，求k的值；若A与D关于x轴对称，求AOD的面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求出圆O的方程，运用直线和圆相切的条件，求出b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可求出a，进而能求出椭圆方程（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求出交点A的坐标，运用向量的当量积的坐标表示，计算即可得到所求值；运用三角形面积公式，结合基本不等式即可得到AOD的面积最大值【解答】解：（1）由题设知圆
25、O的方程为x2+y2=b2，直线l：xy+2=0与圆相切，故有，解得b=，e=，a2=3c2=3（a2b2），即a2=3，椭圆C的方程为（2）设A（x0，y0），（x00，y00），则y0=kx0，由，解得，=，解得k=，或k=0（舍），k=当且仅当k=时取等号SAOD的最大值为21已知函数f（x）=，f（0）=9，其中a0，b，cR，且b+c=10（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间1，2上仅存在一个x0，使得f（x0）a，求实数a的值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，得到=9，结合b+c=10，求出b，c的值即
26、可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，求出a即可【解答】解：（1）f（x）=，f（0）=9，而b+c=10，解得：b=9，c=1，f（x）=，f（x）=，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x或x，f（x）在（，）递减，在（，）递增，在（，+）递减；（2）由（1）得：f（x）在（，）递增，在（，+）递减，a1时，1，f（x）在1，2递减，f（x）max=f（1）=a，解得：a=，0a时，2，f（x）在1，2递增，f（x）max=f（2）=a，无解，a1即12时，f（x）在1，）递增，在（，2递减，f（x）max=f（）=a，无解，综上，a=请考生在22、23
27、、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，ABO三边上的点C、D、E都在O上，已知ABDE，AC=CB（l）求证：直线AB与O相切；（2）若AD=2，且tanACD=，求AO的长【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】（1）连结OC，OCAB，推导出OA=OB，OCAB，由此能证明直线AB与O相切（2）延长DO交O于点F，连结FC，由弦切角定理得ACDAFC，从而=，由此能求出AO的长【解答】证明：（1）ABDE，又OD=OE，OA=OB，如图，连结OC，AC=CB，OCAB，又点C在O上，直线AB与O相切解：（2）如图，延长
28、DO交O于点F，连结FC，由（1）知AB是O的切线，弦切角ACD=F，ACDAFC，tanACD=tanF=，又DCF=90，=，AD=2，AC=6，又AC2=ADAF，2（2+2r）=62，r=8，AO=2+8=10选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标中，直线l的方程为（3cos4sin）=2，曲线C的方程为=m（m0） （1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）令=0，得（3cos04sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，
29、由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围【解答】解：（1）直线l的方程为（3cos4sin）=2，令=0，得（3cos04sin0）=2，3=2，直线l与极轴的交点到极点的距离=（2）直线l的直角坐标方程为3x4y2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，实数m的取值范围是（，）选修4-5：不等式选讲24已知不等式|x+2|+|x2丨10的解集为A（1）求集合A；（2）若a，bA，xR+，不等式a+b（x4）（9）+m恒成立，求实数m的取值范围【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）化不等式|x+2|+|x2丨10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得10a+b10，由基本不等式可得（x4）（9）25，由恒成立可得m+2510，解不等式可得【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x2丨10等价于，或或，解得5x5，故可得集合A=（5，5）；（2）a，bA=（5，5），xR+，10a+b10，（x4）（9）=19x+36=37（+9x）372=25，不等式a+b（x4）（9）+m恒成立，m+2510，解得m352016年7月21日
