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1、2016年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=x|y=ln（x+1），B=2，1，0，1，则（RA）B=（）A2B2，1C2，1，0D2，1，0，12复数等于（）A1+2iB12iC2+iD2i3若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C8D84运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A3B2C1D25设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则C若mn，m，n，则D若，m，n，则mn6从1，2，3，4，5中随机选取一个数a，从1，2
2、，3中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A B C D7若实数x，y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A16B12C11D98函数f（x）=sin（x+）（其中|）的图象如图所示，为了得到y=cosx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度9设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”；已知f（x）=x在（1，3）上为“凹函数
3、”，则实数m的取值范围是（）A2，+）B，5C（2，+）D（，+）10已知点P为抛物线C：x2=2py（p0）上任意一点，O为坐标原点，点M（0，m），若|PM|OM|恒成立，则实数m的取值范围为（）A（，B（，C（，pD（，2p11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A208B128C64D3212已知函数f（x）=x22（a+m）x+a2，g（x）=x2+2（am）xa2+2m2，（a，mR），定义H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x）（其中maxp，q表示p、q中较大值，minp，q表示p、q中的较小值）记H1（x）的最小值为A，
4、H2（x）的最大值为B，则AB=（）A4m2B4m2Ca22a4m2Da22a+4m2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13写出命题“存在x（0，+），使得lnxx1”的否定：14写出（x）5的展开式中常数项：15已知平面内A，B两点的坐标分别为（2，2），（0，2），O为坐标原点，动点P满足|=1，则|的最小值是16ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=C且4a2+b2+c2=4，则ABC面积的最大值为三、解答题（共5小题，满分60分）17已知数列an的前n项和是Sn，且Sn+an=1（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=log，求数列的前n项和Tn18一个盒子
5、中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）19在直三棱锥ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC=2，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦
6、值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由20已知椭圆C1：和椭圆C2： =1的离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上（1）求椭圆C1的方程；（2）设P为椭圆C2上一动点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点试判断AOC的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和最大值；（2）若两不等正数m，n满足mn=nm，函数f（x）的导函数为f（x），求证：f（）0选修4-1：几何证明选讲22已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且ABDC，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ
7、AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：p24pcos+2=0（1）将极坐标方程化为普通方程（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值选修：4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x1|（1）求不等式f（x）4的解集；（2）若关于x的不等式f（x）log2（a23a）恒成立，求实数a的取值范围2016年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=x|y=ln
8、（x+1），B=2，1，0，1，则（RA）B=（）A2B2，1C2，1，0D2，1，0，1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】利用对数函数性质和补集定义求解【解答】解：集合A=x|y=ln（x+1）=x|x+10=x|x1，B=2，1，0，1，（RA）B=x|x12，1，0，1=2，1故选：B2复数等于（）A1+2iB12iC2+iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简【解答】解：复数=2+i，故选C3若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C8D8【考点】双曲线的简单性质【分析】求得
9、双曲线的a，b，c，可得右焦点，求出抛物线的焦点，解方程可得p=8【解答】解：双曲线的a=3，b=，c=4，可得右焦点为（4，0），抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），由题意可得=4，解得p=8，故选：C4运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A3B2C1D2【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得n=1，S=1，满足条件n5，S=0，n=2满足条件n5，S=2，n=3满足条件n5，S=1，n=4满足条件n5，S=3，n=5满足条件
10、n5，S=2，n=6不满足条件n5，退出循环，输出S的值为2故选：B5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则C若mn，m，n，则D若，m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果【解答】解：若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；m，mn，n，又n，故B正确；若mn，m，n，则或与相交，故C错误；若，m，n，则mn或m，n异面，故D错误故选：B6从1，2，3，4，5中随机选取一个数a，从1，2，3中随机选取一个数b，则关于x的方程x
11、2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则=（2a）24b20，即a2b2，列举可得a2b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，a是从集合1，2，3，4，5中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合1，2，3中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有35=15种情况，若方程x2+2ax+b2=0有实根，则=（2a）24b20，即ab，此时有，共9种情况；则方程x2+2ax+b2=0
12、有实根的概率P=故选C7若实数x，y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A16B12C11D9【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而由z=x+3y得：y=x+，显然直线过A（2，3）时，z最大，求出z的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，3），而由z=x+3y得：y=x+，显然直线过A（2，3）时，z最大，z的最大值是：11，故选：C8函数f（x）=sin（x+）（其中|）的图象如图所示，为了得到y=cosx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【
13、考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定，再根据图象过点（，0），确定的值，即可求函数f（x）的解析式，由y=cos2x=sin2（x+），根据图象的变换规律即可得解【解答】解：T=4（）=，=2，f（x）=sin（2x+），图象过点（，0），sin（2+）=0，|，=，f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）；y=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+）=sin2（x+）；函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y=sin2x的图象故选：D9设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的
14、导函数为f（x），若在区间（a，b）上f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”；已知f（x）=x在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（）A2，+）B，5C（2，+）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】利用导数的运算法则可得f（x），f（x）由于函数f（x）在区间（1，3）上为“凹函数”，可得：在区间（1，3）上f（x）0恒成立，解得即可【解答】解：f（x）=x，f（x）=x3+x2+3x，f（x）=x2+mx+3，由题意得：x2+mx+30在（1，3）恒成立，即mx在（1，3）恒成立，令g（x）=x，g（x）=1+0，g（x）在（1
15、，3）递增，g（x）maxg（3）=2，故m2，故选：A10已知点P为抛物线C：x2=2py（p0）上任意一点，O为坐标原点，点M（0，m），若|PM|OM|恒成立，则实数m的取值范围为（）A（，B（，C（，pD（，2p【考点】抛物线的简单性质【分析】设抛物线C：x2=2py（p0）上任意一点P（x，），利用条件分类讨论，最后综合可得答案【解答】解：设抛物线C：x2=2py（p0）上任意一点P（x，），点M（0，m），|PM|OM|m0，显然适合；若m0，点M（0，m），|PM|OM|，即m2x2+（m）2，即mp+，此时0mpm的取值范围是（，p故选：C11某几何体的三视图如图所示，则该几何
16、体的外接球的表面积是（）A208B128C64D32【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球半径，代入求得表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为4，底面为等腰三角形，底边长为6，高为3ABC为等边三角形，外接圆的半径r=2，几何体的外接球的半径R=4，外接球的表面积S=416=64故选：C12已知函数f（x）=x22（a+m）x+a2，g（x）=x2+2（am）xa2+2m2，（a，mR），定义H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x）（其中
17、maxp，q表示p、q中较大值，minp，q表示p、q中的较小值）记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）A4m2B4m2Ca22a4m2Da22a+4m2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】先作差，得到h（x）=f（x）g（x）=2（xa）22m2分别解出h（x）=0，h（x）0，h（x）0，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）进而得出A，B即可【解答】解：令h（x）=f（x）g（x）=x22（a+m）x+a2x2+2（am）xa2+2m2=2x24ax+2a22m2=2（xa）22m2（设m0），由2（xa）22m2=0，解得x=am，此时f（x）=g（x）；由
18、h（x）0，解得xa+m，或xam，此时f（x）g（x）；由h（x）0，解得amxa+m，此时f（x）g（x）综上可知：（1）当xam时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x）=x（a+m）22amm2H2（x）=minf（x），g（x）=g（x）=x（am）22am+3m2，（2）当amxa+m时，H1（x）=maxf（x），g（x）=g（x），H2（x）=minf（x），g（x）=f（x）；（3）当xa+m时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x），H2（x）=minf（x），g（x）=g（x），故A=g（a+m）=（a+m）（am）22am+3m2=2amm2，B=g
19、（am）=2am+3m2，AB=2amm2（2am+3m2）=4m2故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13写出命题“存在x（0，+），使得lnxx1”的否定：对任意x（0，+），都有lnxx1【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题推出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x（0，+），使得lnxx1”的否定：对任意x（0，+），都有lnxx1故答案为：对任意x（0，+），都有lnxx114写出（x）5的展开式中常数项：5【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中常数项
20、【解答】解：（x）5的展开式的通项公式为Tr+1=，令30=0，r=4，故展开式中常数项=5，故答案为：515已知平面内A，B两点的坐标分别为（2，2），（0，2），O为坐标原点，动点P满足|=1，则|的最小值是1【考点】平面向量数量积的运算【分析】找到P的轨迹，设出P点坐标（cos，2+sin），则（）2可化为关于的函数，求出此函数的最小值，开方即可【解答】解：|=1，P的轨迹是以B（0，2）为圆心，以1为半径的圆，设P（cos，2+sin），则=（2+cos，sin），|2=（2+cos）2+sin2=4cos+5当cos=1时，|2取得最小值1，|的最小值是1故答案为116ABC中，角A
21、，B，C的对边分别为a，b，c，若B=C且4a2+b2+c2=4，则ABC面积的最大值为【考点】余弦定理【分析】由B=C得b=c，代入4a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值【解答】解：由B=C得b=c，代入4a2+b2+c2=4得，4a2+2b2=4，即b2=22a2，由余弦定理得，cosC=，所以sinC=，则ABC的面积S=absinC=ab=，当且仅当9a2=89a2取等号，此时a2=，所以ABC的面积的最大值为故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17已知数列an的前
22、n项和是Sn，且Sn+an=1（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=log，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）分类讨论n=1与n2，从而求得数列an是以为首项，为公比的等比数列，从而解得；（2）化简bn=log=n，从而利用裂项化简=（），从而求前n项和【解答】解：（1）当n=1时，S1+a1=1，解得，a1=；当n2时，由Sn+an=1，Sn1+an1=1，两式作差得：an=an1，故数列an是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为an=；（2）bn=log=n，=（），故Tn= （1）+（）+（）+（）+（）=（1+）=18一个盒子中装有大量形状大小一样
23、但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可（2）XB（3，），根据二项分布求解P（X=0
24、），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的0.2；则XB（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=（）3=；P（X=1）=（）2=；P（X=2）=（）（）2=；P（X=3）=（）3=，X的分布列为：X01
25、23P即E（X）=0=19在直三棱锥ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC=2，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法进行证明垂直问题（2）求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系进行求解判断即可【解答】解：（1）证明：AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1AE=AAB面A1ACC1又AC面A1ACC
26、1，ABAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A（0，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），设D（x，y，z），=，且0，1，即（x，y，z2）=（2，0，0），则D（2，0，2），则=（12，1，2），=（0，2，1），=22=0，所以DFAE；（2）存在一点D且D为A1B1的中点，使平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为 理由如下：由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，则，令x=3，则y=1+2，z=2（1），则=（3，1+2，2（1） 平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为，|co
27、s，|=|=，即=，解得=或=（舍），所以当D为ABA1B1中点时满足要求 20已知椭圆C1：和椭圆C2： =1的离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上（1）求椭圆C1的方程；（2）设P为椭圆C2上一动点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点试判断AOC的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求定值【解答】解：（
28、1）由题意可得， +=1且=，a2b2=c2，即a2=4，b2=2，椭圆C1的方程为+=1； （2）当直线AC的斜率不存在时，必有P（，0），此时|AC|=2，SAOC=；当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：yy0=k（xx0），与椭圆C1联立，得（1+2k2）x2+4k（y0kx0）x+2（y0kx0）24=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x0=，即x0=2ky0，又x02+2y02=2，y02=，SAOC=|y0|=综上，无论P怎样变化，AOC的面积为常数21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间和最大值；（2）若两不等正数m，n满足mn
29、=nm，函数f（x）的导函数为f（x），求证：f（）0【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）先求出f（m）=f（n），只要证n2em即可，问题转化为即只要证，构造函数g（x）=（2ex）lnxxln（2ex），根据函数的单调性证明即可【解答】解：（ 1）易知f（x）=，当0xe，f（x）0，；当xe，f（x）0；故函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，f（x）的最大值为f（e）=（ 2）不妨设0mn，mn=nm，有nlnm=mlnn，即=，即f（m）=f（n）由（ 1）知
30、函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以要证f（）0，只要证e，即只要证m+n2e0mn，则易知1men只要证n2em1me，2eme，又ne，f（x）在（e，+）上单调递减，只要证f（n）f（2em），又f（m）=f（n），只要证f（m）f（2em）即可即只要证，只要证（2em）lnmmln（2em），只要证（2em）lnmmln（2em）0，令g（x）=（2ex）lnxxln（2ex），（1xe），即只要证当1xe时g（x）0恒成立即可又g（x）=lnx+ln（2ex）+=+lnx（2ex），1xe，+2，又x（2ex）=e2，lnx（2ex）2，g（x）0，g（x
31、）在（1，e）上单调递增，g（x）g（e）=0，有g（x）0恒成立，此题得证选修4-1：几何证明选讲22已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且ABDC，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQAB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明ACBCQA，可以证明AC2=CQAB；（2）先求出PC，再利用切割线定理求出QA，QD【解答】（1）证明：ABCD，PAB=AQC，又PQ与圆O相切于点A，PAB=ACB，AQ为切线，QAC=CBA，ACBCQA，=，即AC2=CQAB.5分（2）解：ABCD，AQ=2
32、AP，=，由AB=，BP=2，得QC=3，PC=6，AP为圆O的切线，AP2=PBPC=12，AP=2，QA=4，又AQ为圆O的切线，AQ2=QCQD，QD=8.10分选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：p24pcos+2=0（1）将极坐标方程化为普通方程（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）24cos+2=0，利用即可化为直角直角坐标方程；（2）由x2+y24x+2=0化为（x2）2+y2=2，令x2=cos，y=sin，0，2）可得x+y=+
33、2+=2+2，利用正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（1）24cos+2=0，化为直角直角坐标方程：x2+y24x+2=0；（2）由x2+y24x+2=0化为（x2）2+y2=2，令x2=cos，y=sin，0，2）则x+y=+2+=2+2，1，1，（x+y）0，4其最大值、最小值分别为4，0选修：4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x1|（1）求不等式f（x）4的解集；（2）若关于x的不等式f（x）log2（a23a）恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集去并集即可；（2）问题转化为f（x）min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围【解答】解：（1）|2x+1|+|2x1|4，x时，原不等式可化为2x+1+2x14，解得：x1，x时，2x+12x+14，成立，x时，原不等式可化为2x12x+14，解得：x1，综上：x|1x1；（2）不等式f（x）恒成立，等价于f（x）min，因为|2x+1|+|2x1|2x+1（2x1）|=2，所以f（x）min=2，于是2，即，即1a0或3a42016年7月21日
