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1、2016年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设命题p：x（0，+），log2x，则p为（）Ax（0，+），log2xBx（0，+），log2xCx（0，+），=log2xDx（0，+），log2x2复数（i为复数单位）的共轭复数为（）A1+iB1iC1+iD1i3若函数f（x）=，则f（f（）=（）A1B0C1D34已知an是公差为的等差数列，Sn为an的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5=（）A B35C D255若sin2=，则tan+=（）A B C2D36阅读如图所
2、示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n的值为（）A3B4C5D67如图，正三棱锥ABCD的底面与正四面体EBCD的侧面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为（）A30B45C60D908若A，B，C为圆O：x2+y2=1上的三点，且AB=1，BC=2，则=（）A0B C D9安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（）A72B96C120D15610设实数x、y满足，则z=|x4y+1|的最大值和最小值之和是（）A2B3C9D1111正项数列an的前n项和为S
3、n，且2Sn=an2+an（nN*），设cn=（1）n，则数列cn的前2016项的和为（）ABCD12已知A，B分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的取值范围为（）A（，+）B（，+）C，+）D，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13倾斜角为45的直线l经过抛物线y2=8x的焦点F，且l与抛物线交于A，B两点，则|的值为14（x+y）（xy）8的展开式中，x2y7的系数为15如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为16若函数f（x）=2m（1nx+x）x2有唯一零点，则
4、m的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，点P，Q分别为函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，且|=（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（）=，求角C的大小18某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求出该班学生英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于8
5、0分得学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在50，60）的记1绩点分，在60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为，求的分布列和数学期望19如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE，BCF均为等边三角形，EFAB，EF=AD=AB（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值20已知椭圆C1： +=1（ab0）的一个焦点与抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点F重合，且点F到直线xy+1=0的距离为，C1与C2的公共弦长为2（1）求椭圆C1的方程及点F的坐标；（2）过
6、点F的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于C，D两点，求+的取值范围21已知函数f（x）=+bex，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2xy=0垂直（1）求a，b的值；（2）如果当x0时，都有f（x）+kex，求k的取值范围请考生在第22,23,24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡将所选题号后的方框内涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（1）证明： =；（2）若ABC的面积S=ADAE，求BAC的大小选修4-4：坐标系与参数方程23若以直角坐标
7、系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=x|x+2|x3|m（mR）（）当m=4时，求函数f（x）的最大值；（）若存在x0R，使得f（x0）4，求实数m的取值范围2016年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设命题p：x（0，+），log2x，
8、则p为（）Ax（0，+），log2xBx（0，+），log2xCx（0，+），=log2xDx（0，+），log2x【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x（0，+），log2x，则p为：x（0，+），log2x故选：B2复数（i为复数单位）的共轭复数为（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案【解答】解： =1i，则其共轭复数为1+i，故选：A3若函数f（x）=，则f（f（）=（）A1B0C1D3【考点】分段函数的应用；函数的值【分析】
9、利用分段函数直接求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，则f（f（）=f（ln）=f（1）=e02=1故选：A4已知an是公差为的等差数列，Sn为an的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5=（）A B35C D25【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等差数列及等比数列的性质求出首项，由此能求出S5【解答】解：an是公差为的等差数列，Sn为an的前n项和，a2，a6，a14成等比数列，=（）（），解得a1=，S5=5+=故选：C5若sin2=，则tan+=（）A B C2D3【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简求出sincos的值，原
10、式利用同角三角函数间基本关系化简后，将sincos的值代入计算即可求出值【解答】解：sin2=2sincos=，即sincos=，原式=+=3，故选：D6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n的值为（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=+3时满足条件，退出循环输出S的值为5【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=1，S=0不满足条件S3，S=sin=，n=2；不满足条件S3，S=sin+sin=+，n=3；不满足条件S3，S=sin+sin+sin=+1，n=4；不满足条件S3，S=sin+sin+sin+sin=+1
11、+=+3，n=5；满足条件S3，退出循环，输出n的值为5故选：C7如图，正三棱锥ABCD的底面与正四面体EBCD的侧面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】由已知AE过BCD的重心，BCD是等边三角形，从而AE平面BCD，由此能求出结果【解答】解：正三棱锥ABCD的底面与正四面体EBCD的侧面BCD重合，连接AE，AE过BCD的重心，BCD是等边三角形，AE平面BCD，异面直线AE与CD所成角的大小为90故选：D8若A，B，C为圆O：x2+y2=1上的三点，且AB=1，BC=2，则=（）A0B C D【考点】平面
12、向量数量积的运算【分析】根据圆的性质可知BC为直径，AOB是等边三角形，求出AC和ACB，代入向量的数量积运算即可【解答】解：连结OA，OB，则OA=OB=AB=1，OAB是等边三角形，ABO=60，BC=2，BC是圆O的直径，AC=，ACB=30，=1=故选：D9安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（）A72B96C120D156【考点】计数原理的应用【分析】利用间接法，先排没有限制条件的种数，再排除丁没有连续的种数，问题得以解决【解答】解：甲，乙、丙三位教师安排星期一至星
13、期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A63=120种，其中丁没有连续的安排，安排甲，乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有A33C43=24种，故并且丁至少要有两天连续安排12024=96种，故选：B10设实数x、y满足，则z=|x4y+1|的最大值和最小值之和是（）A2B3C9D11【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，令t=x4y+1，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得t的范围，求出其绝对值的范围，则答案可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），令t=x4y+1，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上
14、的截距最小，t有最大值为2，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为9，z=|x4y+1|的最大值和最小值分别为9和0则z=|x4y+1|的最大值和最小值的和为9故选：C11正项数列an的前n项和为Sn，且2Sn=an2+an（nN*），设cn=（1）n，则数列cn的前2016项的和为（）ABCD【考点】数列的求和【分析】由2Sn=an2+an（nN*），an0，可得：当n=1时， +a1，解得a1当n2时，化为：（an+an1）（anan11）=0，可得anan1=1，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：an，Sn可得cn=（1）n=（1）n，即可得出【解答】解：2Sn=a
15、n2+an（nN*），an0，当n=1时， +a1，解得a1=1当n2时，2an=2（SnSn1）=an2+an，化为：（an+an1）（anan11）=0，anan1=1，数列an是等差数列，公差为1，首项为1an=1+（n1）=nSn=cn=（1）n=（1）n=（1）n，则数列cn的前2016项的和=+=1+=故选：D12已知A，B分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的取值范围为（）A（，+）B（，+）C，+）D，）【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得A（a，0），B（a，0），设P（m
16、，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得k1k2=，k1，k20，再由基本不等式即可得到k1+k2的取值范围【解答】解：由题意可得A（a，0），B（a，0），设P（m，n），可得=1，即有=，可得k1k2=，k1，k20，则k1+k22=，由A，B为左右顶点，可得k1k2，则k1+k2，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13倾斜角为45的直线l经过抛物线y2=8x的焦点F，且l与抛物线交于A，B两点，则|的值为32【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线y2=8x，可得焦点F（2，0），直线l的方程为：y=x2，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与抛物
17、线方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系、抛物线的定义即可得出【解答】解：由抛物线y2=8x，可得焦点F（2，0），直线l的方程为：y=x2，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：x212x+4=0，x1+x2=12，x1x2=4|=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4+212+4=32故答案为：3214（x+y）（xy）8的展开式中，x2y7的系数为20【考点】二项式系数的性质【分析】把（xy）8按照二项式定理展开，即可得到（x+y）（xy）8的展开式中x7y2的系数【解答】解：（x+y）（xy）8 =（x+y）（x8x7y+x6y2xy7+y8），故（x
18、+y）（xy）8的展开式中x7y2的系数为+=20，故答案为：2015如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得：该几何体是四棱锥，且一条侧棱与底面垂直，该几何体外接球转化为对应长方体的外接球，求出外接球的半径以及体积【解答】解：由三视图得：该几何体是下底面为边长为4、8的矩形，高为4的四棱锥，且一条侧棱与底面垂直，所以该几何体的外接球也是长、宽、高为：4、8、4的长方体的外接球，则外接球的直径为： =4，即半径是2，所以该几何体外接球的体积V=，故答案为：16若函数f（x）=2m（1nx+x）x2有唯一零点，则m的取值范围是m0或m=【考
19、点】函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理【分析】由f（x）=0得2m（1nx+x）=x2，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由f（x）=2m（1nx+x）x2=0，得2m（1nx+x）=x2，若m=0，则x=0，不满足函数的定义域（0，+），故m0，设h（x）=2m（1nx+x），则函数的定义域为（0，+），函数的导数h（x）=2m（1+），若m0，则h（x）0恒成立，则函数单调递减，此时函数h（x）与y=x2，在（0，+）上只有一个交点，满足条件若m0，则h（x）0恒成立，则函数单调递增，要使函数f（x）只有一个零点，则两个函数只有一个
20、交点，即此时两个函数相切，设切点为（a，b），则h（x）=2m（1+），y=2x，则满足得a=1，m=，综上m0或m=，故答案为：m0或m=三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，点P，Q分别为函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，且|=（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（）=，求角C的大小【考点】正弦函数的图象【分析】（1）由条件利用诱导公式、正弦函数的奇偶性，正弦函数的图象和性质求得的值，可得函数的解析式（2）由条件求得
21、A的值，利用正弦定理求得B的值，利用三角形的内角和求得C的值【解答】解：（1）函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，=，f（x）=sin（x+）=cosx点P，Q分别为函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，且|=，=，=，函数f（x）=cosx（2）a=1，b=，f（）=cos（）=cosA=，cosA=，A=ABC中，由正弦定理可得=，求得sinB=，B= 或B=当B=时，C=AB=，当B=时，C=AB=18某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80）
22、，80，90），90，100（1）求出该班学生英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分得学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在50，60）的记1绩点分，在60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）英语成绩在80，90）区间内对应的小矩形最高，由此能求出该班学生英语成绩的众数，由频率分布直方图得该班学生英语成绩的平均数（2）成绩低于80分的学生有12人，其中成绩在成绩在50，60）的学生有2人，成绩为60，80）的学生有10人，设抽取2人的总绩点分为，则的可能取值为2，3
23、，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（1）英语成绩在80，90）区间内对应的小矩形最高，该班学生英语成绩的众数为85由频率分布直方图得该班学生英语成绩的平均数为：=81（2）成绩低于80分的学生有30（）=12人，其中成绩在成绩在50，60）的学生有=2人，成绩为60，80）的学生有=10人，设抽取2人的总绩点分为，则的可能取值为2，3，4，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，的分布列为： 2 3 4 PE=19如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE，BCF均为等边三角形，EFAB，EF=AD=AB（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF
24、平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）当N为CF的中点时，AF平面BDN连结AC交BD于M，连结MN利用中位线定理即可证明AFMN，于是AF平面BDN；（2）过F作FO平面ABCD，垂足为O，过O作x轴AB，作y轴BC于P，则P为BC的中点以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，则|cos，|即为所求【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF平面BDN证明：连结AC交BD于M，连结MN四边形ABCD是矩形，M是AC的中点，N是CF的中点，MNAF，又AF平
25、面BDN，MN平面BDN，AF平面BDN（2）过F作FO平面ABCD，垂足为O，过O作x轴AB，作y轴BC于P，则P为BC的中点以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，EF=1，OP=（ABEF）=，OF=A（，0），B（，0），C（，0），F（0，0，），N（，）=（0，2，0），=（，），=（，）设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，令z=得=（2，0，），=1，|=，|=cos，=直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos，|=20已知椭圆C1： +=1（ab0）的一个焦点与抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点F重合，且点F到直线xy+1=0的
26、距离为，C1与C2的公共弦长为2（1）求椭圆C1的方程及点F的坐标；（2）过点F的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于C，D两点，求+的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得c=，再由点到直线的距离公式可得c=1，可得焦点F，求得抛物线的方程，设出设C1与C2的公共弦端点为（m，n），（m，n），（m，n0），由弦长求得交点坐标，代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设过F（1，0）的直线为x=my+1，代入抛物线的方程y2=4x，椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|CD|，|AB|，求得+，化简整理，即可得到所求范围【解答】解：（1）抛物线C2：
27、y2=2px（p0）的焦点F（，0），即有c=，点F到直线xy+1=0的距离为，可得d=，即有c=1，p=2，即F（1，0）；即有y2=4x，设C1与C2的公共弦端点为（m，n），（m，n），（m，n0），则2n=2，可得n=，m=，将（，）代入椭圆方程可得， +=1，又a2b2=1，解得a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）设过F（1，0）的直线为x=my+1，代入抛物线的方程y2=4x，可得y24my4=0，由弦长公式可得|CD|=4（1+m2），由x=my+1代入椭圆方程8x2+9y2=72，可得（8m2+9）y2+16my64=0，由弦长公式可得|AB|=，可得+=+=+，由1
28、+m21，可得0，即有+的取值范围为（，21已知函数f（x）=+bex，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2xy=0垂直（1）求a，b的值；（2）如果当x0时，都有f（x）+kex，求k的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与2xy=0垂直，可得a，b的方程，解方程可得a，b的值；（2）由题意可得+ex+kex，即有（1k）ex，即1k，可令g（x）=，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到k的范围【解答】解：（1）f（x）=+bex的导数为f（x）=，由切线与直线2xy=
29、0垂直，可得f（0）=1，f（0）=，即有b=1， ab=，解得a=b=1；（2）当x0时，都有f（x）+kex，即为+ex+kex，即有（1k）ex，即1k，可令g（x）=，g（x）=g（x），即有g（x）为偶函数，只要考虑x0的情况由g（x）1=，x0时，exex，由h（x）=2xex+ex，h（x）=2（ex+ex）22=0，则h（x）在x0递减，即有h（x）h（0）=0，即有g（x）1故1k1，解得k0则k的取值范围为（，0请考生在第22,23,24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡将所选题号后的方框内涂黑选修4-
30、1：几何证明选讲22如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（1）证明： =；（2）若ABC的面积S=ADAE，求BAC的大小【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理【分析】（1）运用同弧所对圆周角相等与角平分线性质，构造两个三角形相似，从而证明出=；（2）利用三角形的面积公式构造出等式，求出sinBAC的值，继而求出BAC的大小【解答】解：（1）证明：AD是ABC的角平分线，BAE=DAC，又所对的圆周角相等，即BEA=DCA在ABE与ACD中，BAE=DAC，BEA=DCA，ABEADC，（2）由（1）知=，所以有ABAC=ADAE又ABC的面积S=ADAE=ABAC=，故选修4
31、-4：坐标系与参数方程23若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是=（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）将极坐标方程两边同乘，去分母即可得到直角坐标方程；（2）写出直线l参数方程的标准形式，代入曲线C的普通方程，根据参数的几何意义得出|AB|【解答】解：（1）=，2sin2=6cos，曲线C的直角坐标方程为y2=6x曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线（2）直线l的
32、参数方程可化为，代入y2=6x得t24t12=0解得t1=2，t2=6|=|t1t2|=8选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=x|x+2|x3|m（mR）（）当m=4时，求函数f（x）的最大值；（）若存在x0R，使得f（x0）4，求实数m的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（I）利用绝对值的意义，去掉绝对值号，化为分段函数，利用分段函数的性质，求解函数的最值；（II）由，即，转为，分类讨论m，即可求解实数m的取值范围【解答】解：（）当m=4时，函数f（x）在（，3上是增函数，在（3，+）上是减函数，所以f（x）max=f（3）=2（），即，令g（x）=x|x+2|x3|+4，则存在x0R，使得g（x0）成立，即，当m0时，原不等式为（m1）20，解得m=1，当m0时，原不等式为（m1）20，解得m0，综上所述，实数m的取值范围是（，0）12016年7月21日
