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1、2016年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，则集合AUB=（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，82下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）Ay=x3BCy=tanxD3某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A19、13B13、19C20、18D18、204已知直线m，n和平面，m，nm，那么“n”
2、是“m”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A B C2D6已知等比数列an中，a1=1，且，那么S5的值是（）A15B31C63D647如图，已知三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，且ACB=90，侧面PAB底面ABC，AB=PA=PB=4则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A，2B4，2， C，2，2D，2，8经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产
3、品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0能正确表示上述供求关系的图形是（）A B C D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于10已知ABC中，AB=4，AC=3，CAB=90，则=11已知圆C：（x1）2+（y2）2=2，则圆C被动直线l：kxy+2k=0所截得的弦长12已
4、知x1，则函数的最小值为13已知x，y满足，目标函数z=mx+y的最大值为5，则m的值为14函数f（x）=cosx2x2xb（bR）当b=0时，函数f（x）的零点个数；若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16如图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k的概率
5、；（）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）17已知在ABC中，B=90，D，E分别为边BC，AC的中点，将CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥CABDE（如图）（）求证：DE平面BCD；（）设平面CDE平面ABC=l，求证：ABl；（）若CDBD，AB=2，BD=3，F为棱BC上一点，设，当为何值时，三棱锥CADF的体积是1？18已知函数，数列an满足：（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn19已知函数（）求曲线C：y=f
6、（x）在x=1处的切线l的方程；（）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求m的取值范围；（）当m1时，（）中的直线l与曲线C：y=f（x）有且只有一个公共点，求m的取值范围20已知椭圆C：过点A（2，0），离心率，斜率为k（0k1）直线l过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与x轴交于点B（）求椭圆C的标准方程；（）P为x轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设HPG的面积为S1，BPQ面积为S2，求的取值范围2016年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全
7、集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，则集合AUB=（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，8【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，UB=2，5，8，则AUB=2，5故选：A2下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）Ay=x3BCy=tanxD【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可【解答】解：Ay=x3是奇函
8、数在其定义域上是增函数，满足条件，By=是奇函数在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件Cy=tanx为奇函数，在每个区间上为是增函数，但其定义域不是增函数，不满足条件，Dy=为偶函数，在定义域上不是增函数故选：A3某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A19、13B13、19C20、18D18、20【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【分析】把两列数据按照从小到大排列，数据有11个最中间一个数字就是中位数，把两列数据的中位数找出来【解答】解：由茎叶图知甲的分数是6，8，9，15，17，
9、19，23，24，26，32，41，共有11个数据，中位数是最中间一个19，乙的数据是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40共有11和数据，中位数是最中间一个13，故选A4已知直线m，n和平面，m，nm，那么“n”是“m”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】直线m，n和平面，m，nm，由“n”可得：“m”，反之不成立，可能：n，或n【解答】解：直线m，n和平面，m，nm，那么“n”“m”，反之不成立，可能：n，或n“n”是“m”的充分不必要条件故选：A5已知双曲线的一个焦点F，点P在
10、双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A B C2D【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的方程为=1（a，b0），P在渐近线y=x上，OFP为等腰直角三角形，只能是OPF=90或OFP=90，均有POF=45，运用直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线的方程为=1（a，b0），F（c，0），P在渐近线y=x上，OFP为等腰直角三角形，只能是OPF=90或OFP=90，均有POF=45，即有=1，即a=b，c=a，则e=故选：B6已知等比数列an中，a1=1，且，那么S5的值是（）A15B31C63D64【考
11、点】等比数列的通项公式【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可【解答】解：设公比为q，a1=1，且，=q3=8，q=2，S5=31，故选：B7如图，已知三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，且ACB=90，侧面PAB底面ABC，AB=PA=PB=4则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A，2B4，2， C，2，2D，2，【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可【解答】解：三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，且ACB=90，侧面PAB底面ABC，A
12、B=PA=PB=4；x是等边PAB边AB上的高，x=4sin60=2，y是边AB的一半，y=AB=2，z是等腰直角ABC斜边AB上的中线，z=AB=2；x，y，z分别是2，2，2故选：C8经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0能正确表示上述供求关系的图形是（）A B
13、 C D【考点】函数的图象【分析】注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析应由y轴分析x轴，从而利用排除法求得【解答】解：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，排除B、C；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除A，故选D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sin
14、B=2sinAsinB，sinB0，sinA=，A为锐角，A=30故答案为：3010已知ABC中，AB=4，AC=3，CAB=90，则=16【考点】平面向量数量积的运算【分析】使用勾股定理和余弦函数的定义计算BC和cosB，代入向量的数量积公式计算【解答】解：由勾股定理得BC=，cosB=，=ABBCcosB=4=16故答案为：1611已知圆C：（x1）2+（y2）2=2，则圆C被动直线l：kxy+2k=0所截得的弦长2sqrt2【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆C：（x1）2+（y2）2=2的圆心C（1，2），半径r=，再推导出直线l：kxy+2k=0过圆心C（1，2），由此能求出圆C被动
15、直线l：kxy+2k=0所截得的弦长【解答】解：圆C：（x1）2+（y2）2=2的圆心C（1，2），半径r=，动直线l：kxy+2k=0整理，得：（x1）k+2y=0，解方程组，得x=1，y=2，直线l：kxy+2k=0过圆心C（1，2），圆C被动直线l：kxy+2k=0所截得的弦长为故答案为：212已知x1，则函数的最小值为3【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x1，x10则函数=+（x1）+1+1=3，当且仅当x=2时取等号则函数的最小值为3故答案为：313已知x，y满足，目标函数z=mx+y的最大值为5，则m的值为frac73【考点】简单线性规划【分析】
16、由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（1，2），化目标函数z=mx+y为y=mx+z，当m1，即m1时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最大值为，解得m=；当1m2，即2m1时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最大值为m+2=5，解得m=3（舍）m=故答案为：14函数f（x）=cosx2x2xb（bR）当b=0时，函数f（x）的零点个数0；若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（，1）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定
17、理；利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的值域，即可推出函数的零点的个数利用函数的单调性，求出函数的最值，求解即可【解答】解：当b=0时，函数f（x）=cosx2x2x2x+2x=22x2x2，cosx1，f（x）=cosx2x2x1函数f（x）的零点个数为0函数f（x）=cosx2x2xb，函数是偶函数，可得f（x）=sinx2xln22xln2，x0时，2xln2+2xln22ln212xln22xln21sinx2xln22xln20，函数f（x）在x0时是减函数，x0时是增函数，x=0函数取得最大值：1如图：若函数f（x）有两个不同的零点，则b的取值范围（，1）故答案为：0；（，1）
18、三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）化简f（x），从而求出周期T；（）根据x的范围，求出2x的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可【解答】解： =，（）； （），即，由此得到：f（x）max=1，此时；，此时16如图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（）在一年中随机取一个月的销售量，估计
19、销售量不足200k的概率；（）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线【分析】（）设销售量不足200k为事件A，这一年共有12个月，利用列举法能求出销售量不足200k的概率（）设连续两个月销售量递增为事件B，利用列举法能求出这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率（）由折线图，估计年平均销售量在200k250k这两条水平线之间【解答】（本小题共13分）解：（）设销售量不足200k为事件A
20、，这一年共有12个月，其中1月，2月，6月，11月共4个的销售量不足200k，所以（）设连续两个月销售量递增为事件B，在这一年中随机取连续两个月的销售量，有1，2月；2，3月；3，4月；4，5月；5，6月；6，7月；7，8月；8，9月；9，10月；10，11月；11，12月共11种取法，其中2，3月，3，4月；4，5月； 6，7月；7，8月；8，9月；11，12月共7种情况的销售量递增，所以 （）在200k250k这两条水平线之间 17已知在ABC中，B=90，D，E分别为边BC，AC的中点，将CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥CABDE（如图）（）求证：DE平面BCD；（）设平面CDE平面A
21、BC=l，求证：ABl；（）若CDBD，AB=2，BD=3，F为棱BC上一点，设，当为何值时，三棱锥CADF的体积是1？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（I）由DEAB，ABBC可知DEBC，故翻折后DEBD，DECD，得出DE平面BCD；（II）由DEAB可知AB平面CDE，由线面平行的性质即可得到ABl；（III）VCADF=VADCF=，当CDBD时，DCF=45，BC=3，代入体积公式计算CF，从而得出的值【解答】证明：（）B=90，D，E分别为BC，AC的中点DEAB，CDDE，BDDE，又CDBD=D，DE平面BCD，（）DEAB，DE面CDE，AB面C
22、DE，AB面CDE，又AB面ABC，面ABC面CDE=l，ABl解：（III）DE平面BCD，DEAB，AB平面BCD，VCADF=VADCF=1，SCDF=CDBD，CD=BD=3，DCB=45，CB=3SCDF=解得CF=，BF=BCCF=2=218已知函数，数列an满足：（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）通过代入可知an+1an=2，进而可知数列an是以首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；（）通过（I）及等差数列的求和公式，裂项可知，进而并项相加即得结论【解答】解：（），即an+1an=2，又a1
23、=2，数列an是以首项、公差均为2的等差数列，an=a1+（n1）d=2+2（n1）=2n；（）数列an是等差数列，=19已知函数（）求曲线C：y=f（x）在x=1处的切线l的方程；（）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求m的取值范围；（）当m1时，（）中的直线l与曲线C：y=f（x）有且只有一个公共点，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，根据切点坐标，向量k=f（1）=m2，求出切线方程即可；（）求出函数的导数，通过讨论m的符号结合二次函数的性质，判断函数的单调性，从而求出m的具体范围；（）根据直线和曲线C的关系，得到，
24、根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：（），x0因为，所以切点为（1，）又k=f（1）=m2，所以切线l，即l（）当m0时，f（x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递减，符合题意 当m0时，设y=mx2x1，该抛物线开口向上，且=1+4m0，过（0，1）点，所以该抛物线与x轴相交，交点位于原点两侧，f（x）不单调，不符合题意，舍去 综上m0 （）因为直线l与C有且只有一个公共点，所以方程，即有且只有一个根 设，则，当m0时，因为x0，所以mx+10，令g（x）0，解得x1；令g（x）0，解得0x1；所以g（x）在（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以g（x）min=g（1）
25、=0，所以符合条件当1m0时，则令g（x）0，解得；令g（x）0，解得0x1或；所以g（x）在上单调递增，在（0，1），上单调递减，=，因为1m0，所以，又，所以，即，所以所以g（x）在上有一个零点，且g（1）=0，所以g（x）有两个零点，不符合题意综上m020已知椭圆C：过点A（2，0），离心率，斜率为k（0k1）直线l过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与x轴交于点B（）求椭圆C的标准方程；（）P为x轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设HPG的面积为S1，BPQ面积为S2，求的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆过点A（2，0），离心率，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程（）设G（x1，y1），H（x2，y2），直线l：y=kx+2 由得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、椭圆性质，结合已知能求出的取值范围【解答】（本小题共13分）解：（）椭圆C：过点A（2，0），离心率，由已知得a=2，c=1，椭圆C的标准方程为（）设G（x1，y1），H（x2，y2），直线l：y=kx+2 由得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，即=16（12k23）0，即0k1，又，而=，=，设，即 的取值范围是（0，22016年7月15日
