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1、2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本答题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=x|1x2，B=x|x23x0，则RAB=（）A（1，3）B（1，2）C（0，2）D2.3）2在复平面上，复数对应的点位于（）A第一象限B第三象限C第二象限D第四象限3设为锐角，若cos=，则sin的值为（）A B CD4已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若ab，则a的值为（）AB C D5若函数f（x）=则ff（8）=（）A2B2C4D46已知向量=（1，2），=（2，3），若向量满足，（），则=（）A（，）B（，）C（，）D（，）7一个几何体的三视图如图所示，则该几何
2、体的体积为（）A64B642C644D6488在区间0，1上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y”的概率，则P=（）A B C D9执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（）A1B C D10设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y8=0上，则该抛物线的准线方程为（）Ax=4Bx=3Cx=2Dx=111函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A（k+，k+），kZB（k+，k+），kZC（2k+，2k+），kZD（2k+，2k+），kZ12设函数f（x）=log2（3x1），则使得2f（x）f（x+2）成立的x的取值范围是（）A（，+）B
3、（，+）C（，）（，+）D（，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设圆C：（x3）2+（y2）2=1（a0）与直线y=x相交于P、Q两点，则|PQ|=14若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为15已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为3，则球O的体积为16已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分）（一）、必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17已知等比数列an中，a1=，a4=（1）Sn为an的前n项和，
4、证明：2Sn+an=1；（2）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和18从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85）85，95）95，105）105，115）115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面AB
5、CD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1；（2）证明：平面D1AC平面BB1C1C20已知椭圆L： +=1（ab0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上（）求L 的方程；（）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值选修4-1：几何证明选讲22（选修41：
6、几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径选修4-4:坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，C3：=2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值选修4-5:不等式选讲24设a，b，c，d均为正数，且ac=db，证明：（）若abcd，则+；（）+是|ab|cd|
7、的充要条件2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=x|1x2，B=x|x23x0，则RAB=（）A（1，3）B（1，2）C（0，2）D2.3）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A的补集RA，再化简B，求出RAB即可【解答】解：集合A=x|1x2，RA=x|x1或x2=（，12，+），又B=x|x23x0=x|0x3=（0，3），RAB=2，3）故选：D2在复平面上，复数对应的点位于（）A第一象限B第三象限C第二象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所
8、对应点的坐标得答案【解答】解：=，复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限故选：A3设为锐角，若cos=，则sin的值为（）A B CD【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出【解答】解：为锐角，cos=，=则sin=故选：B4已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若ab，则a的值为（）AB C D【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，ab，可得2a=1+b，b2=a，解出即可得出【解答】解：数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，ab，2a=1+b，b
9、2=a，化为：2b2b1=0，解得b=1或，b=1时，a=1，舍去a=b2=故选：B5若函数f（x）=则ff（8）=（）A2B2C4D4【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：函数f（x）=f（8）=2，ff（8）=f（2）=2+=4故选：C6已知向量=（1，2），=（2，3），若向量满足，（），则=（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】设出向量，利用向量的垂直于共线列出方程求解即可【解答】解：设向量=（a，b），向量=（1，2），=（2，3），=（1a，2b），向量满足，（），可得a+2b=0，3（1a）=2（2b），解得a=，b
10、=则=（，）故选：C7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A64B642C644D648【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的该几何体的体积=43122=642故选：B8在区间0，1上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y”的概率，则P=（）A B C D【考点】几何概型【分析】由题意可得总的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，事件P包含的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，x+y，数形结合可得【解答】解：由题意可得总的基本事件为（x，y）
11、|0x1，0y1，事件P包含的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，x+y，它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P=，故选：D9执行右面的程序框图，如果输入的N=3，那么输出的S=（）A1B C D【考点】程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件K3，跳出循环，计算输出S的值【解答】解：由程序框图知：输入N=3时，K=1，S=0，T=1第一次循环T=1，S=1，K=2；第二次循环T=，S=1+，K=3；第三次循环T=，S=1+，K=4；满足条件K3，跳出循环，输出S=1+=故选：C10设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y8=0上，则该抛物线的准线方程
12、为（）Ax=4Bx=3Cx=2Dx=1【考点】抛物线的简单性质【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程【解答】解：把y=0代入2x+3y8=0得：2x8=0，解得x=4，抛物线的焦点坐标为（4，0），抛物线的准线方程为x=4故选：A11函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A（k+，k+），kZB（k+，k+），kZC（2k+，2k+），kZD（2k+，2k+），kZ【考点】余弦函数的图象【分析】根据三角函数的图象求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：函数的周期T=2（）=2，即，得=1，则f（x）=
13、cos（x+），则当x=时，函数取得最小值，则+=+2k，即=+2k，即f（x）=cos（x+），由2k+x+2k+2，kZ，即2k+x2k+，kZ，即函数的单调递增区间为为（2k+，2k+），故选：D12设函数f（x）=log2（3x1），则使得2f（x）f（x+2）成立的x的取值范围是（）A（，+）B（，+）C（，）（，+）D（，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数的运算可将原不等式化为（3x1）23x+5，且3x10，解得答案【解答】解：函数f（x）=log2（3x1），则不等式2f（x）f（x+2）可化为：2log2（3x1）log2（3x+5），即（3x1）23x+5，且
14、3x10，解得：x，即使得2f（x）f（x+2）成立的x的取值范围是（，+），故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设圆C：（x3）2+（y2）2=1（a0）与直线y=x相交于P、Q两点，则|PQ|=frac4sqrt65【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆C圆心C（3，2），半径r=1，再求出圆心C（3，2）到直线y=x的距离d，由此利用勾股定理能求出|PQ|的长【解答】解：圆C：（x3）2+（y2）2=1的圆心C（3，2），半径r=1，圆心C（3，2）到直线y=x的距离d=，圆C：（x3）2+（y2）2=1（a0）与直线y=x相交于P、Q两点，|PQ|=2=2=
15、故答案为：14若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为3【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，平移直线2x+y=0确定最小值即可【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，作出直线2x+y=0，对该直线进行平移，可以发现经过的交点B时Z取得最小值，解得：，点B（1，1）；Z取得最小值3故答案为：315已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为3，则球O的体积为24【考点】球的体积和表面积【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如
16、图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=3R3=18，则球O的体积为R3=24故答案为：2416已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据=0得到a的值【解答】解：y=x+lnx的导数为y=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处
17、的切线方程为y1=2x2，即y=2x1由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x1，得ax2+ax+2=0，又a0，两线相切有一切点，所以有=a28a=0，解得a=8故答案为：8三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分）（一）、必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17已知等比数列an中，a1=，a4=（1）Sn为an的前n项和，证明：2Sn+an=1；（2）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设等比数列an的公比为q，由a1=，a4=可得=，解得q再利用
18、等比数列的通项公式及其前n项和公式即可证明（2）log3an=n可得bn=12n，于是=2，利用“裂项求和”即可得出【解答】（1）证明：设等比数列an的公比为q，a1=，a4=，解得q=an=，Sn=，2Sn+an=+=1，2Sn+an=1（2）解：log3an=nbn=log3a1+log3a2+log3an=12n=，=2，数列的前n项和=2+=2=18从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85）85，95）95，105）105，115）115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
19、（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100，质量指标的样本
20、的方差为S2=（20）20.06+（10）20.26+00.38+1020.22+2020.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1；（2）证明：平面
21、D1AC平面BB1C1C【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，要证明直线EE1平面FCC1，只需证明EE1F1C，就证明了EE1平面FCC1内的直线，即可推得结论；（2）要证明平面D1AC平面BB1C1C，只需证明ACBC，ACCC1，即可【解答】证明：（1）方法一：取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1连接A1D，F1C，由于A1F1D1C1CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C又EE1A1D，得EE1F1C，而
22、EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC又CC1DD1，FCCC1=C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1（2）连接AC，取F为AB的中点，在FBC中，FC=BC=FB=2，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB=2，因此ACB=90，即ACBC又ACCC1，且CC1BC=C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C20已知椭圆L： +=
23、1（ab0）的一个焦点于抛物线y2=8x的焦点重合，点（2，）在L 上（）求L 的方程；（）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）求得抛物线的焦点，可得c=2，再由点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程；（）设直线l的方程为y=kx+b（k，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，可得直线OM的斜率，进而得到证明【解答】解：（）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得c=2，即a2b2=4，又点（
24、2，）在L上，可得+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆L： +=1；（）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+b代入椭圆方程+=1，可得（1+2k2）x2+4kbx+2b28=0，x1+x2=，即有AB的中点M的横坐标为，纵坐标为k+b=，直线OM的斜率为kOM=，即有kOMk=则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求函数的单调区
25、间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（xk） f（x）+x+10在x0时成立转化为k（x0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=exax2的定义域是R，f（x）=exa，若a0，则f（x）=exa0，所以函数f（x）=exax2在（，+）上单调递增若a0，则当x（，lna）时，f（x）=exa0；当x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+
26、）上单调递增（II）由于a=1，所以，（xk） f（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故当x0时，（xk） f（x）+x+10等价于k（x0）令g（x）=，则g（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零点，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值为g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等价于kg（），故整数k的最大值为2选修4-1：几何
27、证明选讲22（选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知DBBE，可知DE为O的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=设DE的中点为O，连接BO，可得BOG=60从而AB
28、E=BCE=CBE=30得到CFBF进而得到RtBCF的外接圆的半径=【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE为O的直径，DCE=90DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故DG是BC的垂直平分线，BG=设DE的中点为O，连接BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF的外接圆的半径=选修4-4:坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，C3
29、：=2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）由曲线C2：=2sin，化为2=2sin，把代入可得直角坐标方程同理由C3：=2cos可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtan，其中0，其极坐标方程为：=（R，0），利用|AB|=即可得出【解答】解：（I）由曲线C2：=2sin，化为2=2sin，x2+y2=2y同理由C3：=2cos可得直角坐标方程：，联立，解得，C2与C3交点的直角坐
30、标为（0，0），（2）曲线C1：（t为参数，t0），化为普通方程：y=xtan，其中0，其极坐标方程为：=（R，0），A，B都在C1上，A（2sin，），B|AB|=4，当时，|AB|取得最大值4选修4-5:不等式选讲24设a，b，c，d均为正数，且ac=db，证明：（）若abcd，则+；（）+是|ab|cd|的充要条件【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；（）先证若|ab|cd|，则（ab）2（cd）2，可得abcd，由（）可得+；再证若+，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|ab|cd|，即可得证【解答】证明：（）由（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由ac=db，可得a+b=c+d，由abcd，可得（+）2（+）2，即为+；（）若|ab|cd|，则（ab）2（cd）2，即（a+b）24ab（c+d）24cd，由a+b=c+d，可得abcd，由（）可得+；若+，则（+）2（+）2，即有a+b+2c+d+2，由ac=db，可得a+b=c+d，即有abcd，（ab）2=（a+b）24ab（c+d）24cd=（cd）2，可得|ab|cd|即有+是|ab|cd|的充要条件2016年7月15日
