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1、2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A2、（2016年全国I高考）函数y=2x2e|x|在2,2的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II高考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2、（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_。【答案】三、解答题1、（2016年北
2、京高考） 设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【解析】 （I） 曲线在点处的切线方程为，即 由解得：，（II）由（I）可知：， 令，极小值的最小值是的最小值为即对恒成立在上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【解析】() 求导数当时，单调递增，单调递减；当时，（1） 当时，或，单调递增，单调递减； (2) 当时， ，单调递增，(3) 当时，或，单调递增，单调递减；() 当时，于是， ，令，于是，的最小值为；又设，因为，所以必有，使得，且时，单调递增；时，单调递减；又，所以的最小值为所以即对于任
3、意的成立3、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（I）讨论f(x)的单调性；（II）确定a的所有可能取值，使得f(x) -e1-x+在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数)。【解析】（I）由题意，当时，在上单调递减.当时，当时，； 当时，. 故在上单调递减，在上单调递增.（II）原不等式等价于在上恒成立.一方面，令，只需在上恒大于0即可. 又，故在处必大于等于0.令，可得.另一方面， 当时，故，又，故在时恒大于0.当时，在单调递增.，故也在单调递增.，即在上恒大于0.综上，.4、（2016年天津高考）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II)
4、 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【解析】（1） ，单调递增；，在单调递增，在单调递减，在单调递增（2）由得（3）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，使得即可当时，在上单调递减 递减，成立当时， 若时，成立当时，所以，在区间上的最大值不小于成立5、（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x22.解：由已知得：若，那么，只有唯一的零点，不合题意；若，那么，所以当时，单调递增当时，单调递减即：极小值故在上至多一个零点，在上至多一个零点由于，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有
5、一个零点而当时，故则的两根， ，因为，故当或时，因此，当且时，又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点此时，在上有且只有两个零点，满足题意若，则，当时，即，单调递增；当时，即，单调递减；当时，即，单调递增即：+0-0+极大值极小值而极大值故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解而当时，单调递增，至多一个零点此时在上至多一个零点，不合题意若，那么当时，即，单调递增当时，即，单调递增又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意若，则当时，即，单调递增当时，即，单调递减当时，即，单调递增即：+0-0+极大值极小值故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解当时，单调递增，至多一个零点此
6、时在上至多一个零点，不合题意综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为由已知得：，不难发现，故可整理得：设，则那么，当时，单调递减；当时，单调递增设，构造代数式：设，则，故单调递增，有因此，对于任意的，由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，在上单调递增，因此：整理得：6、（2016年全国II高考）()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【解析】证明： 当时， 在上单调递增 时， 由(1)知，当时，的值域为，只有一解 使得，当时，单调减；当时，单调增记，在时，单调递增7、（2016年全国III高考）设函数，其中，记的
7、最大值为（）求；（）求；（）证明解析：（）（）当时，因此， 4分当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），8、（2016年浙江高考）已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （I）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.（II）（i）设函数，则，所以，由的定义知，即（ii）当时，当时，所以，9、(2016江苏)已知函数.（1） 设a=2,b=. 求方程=2的根;若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.解：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.
