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1、(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为()A10B10C. D解析：，ab0x10.答案：B2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60C120 D150解析：由于cosm，n，m，n120，所以直线l与所成的角为30.答案：A3已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B.C. D.解析：对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)
2、50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，验证可知C、D均不满足n0.答案：B4已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：以D为坐标原点， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,2)， (4,4,0)，(4,0,2)易知AC平面DBB1D1，所以是平面DBB1D1的一个法向量所以BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为|cos， |.答案：C5(2010海口模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角
3、ABD1B1的大小为()A60 B30C120 D150解析： 建系如图设A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)C(0,1,0)则(1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量设n(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量则n0，n0又(1,0,1)，(0,1,0)令x1.则z1cos，n，n120，即二面角ABD1B1的大小为120.答案：C6.如图所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为()A. B.C. D解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC1
4、2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0,2,2)D1、F1为A1B1、A1C1的中点，D1(1,1,2)，F1(1,0,2)，(1，1,2)， (1,0,2)，(1，1,2)(1,0,2)3，|，|，cos，.答案：A二、填空题(共3个小题，每小题4分，满分12分)7.如图，在45的二面角l的棱上有两点A、B，点C、D分别在、内，且ACAB，ABD45，ACBDAB1，则CD的长度为_解析：由，cos，cos45cos45，|22()32(011cos13511cos120)2，|.答案：8若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y
5、，z)，则xyz_.解析：，由a0，a0，得解得所以xyzyy23(4)答案：23(4)9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为_解析：以D为坐标原点，分别以， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)， (2,0,1)，又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则(2,2,0)， (0,1,2)，可得平面BDM的一个法向量n(2，2,1)，因为cosn，故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.答案：三、解答题(共3个小题，满分38
6、分)10(2010新课标全国卷)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E(，0)可得(，n)，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C(，0,0)，D(0，0)，E(，0)，P(0，0,1)设n(x
7、，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)由(1,0，1)，可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.11(2010浙江高考)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求二面角AFDC的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长解：(1)取线段EF的中点H，连接AH，因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF，及AH平面AEF，所以AH平面BEF.如图建立空间直角坐标
8、系Axyz，则A(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)故(2,2,2)， (6,0,0)设n(x，y，z)为平面AFD的一个法向量，所以 取z，则n(0，2，)又平面BEF的一个法向量m(0,0,1)，故cosn，m.所以二面角的余弦值为.(2)设FMx，则M(4x,0,0)，因为翻折后，C与A重合，所以CMAM，故(6x)28202(2x)222(2)2，得x，经检验，此时点N在线段BC上所以FM.12(2010厦门模拟)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF且BECF，BCF，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)设，当取何值
9、时，二面角AEFC的大小为？解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABDC.又BECF，ABBEB，平面ABE平面DCF.又AE平面ABE，AE平面DCF.(2)过点E作GECF交CF于点G，由已知可得：EGBCAD，且EGBCAD，EGAD，又EF2，GF1.四边形ABCD是矩形，DCBC.BCF，FCBC，又平面ABCD平面BEFC，平面ABCD平面BEFCBC.FC平面ABCD，FCCD.分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设BEm，由，得ABm.A(，m,0)，E(，0，m)，F(0,0，m1)，(0，m，m)，(，0,1)设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得，令y，可得平面AEF的一个法向量n(，)又(0，m,0)是平面CEF的一个法向量，cos，即，解得，当时，二面角AEFC的大小为.
