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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)用凸凹函数的切线研究高考试题“以直代曲”的思想方法 “以直代曲”是微积分最基本、最朴素的思想方法,“以直代曲”的思想就是利用直线段来近似曲线,这样可使有关曲线的问题转化到直线段上来,从而使问题得到简化.其中,以曲线的切线来近似曲线就是典型的方法.母题结构:()若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递增,则当x0D时,f(x)(x0)(x-x0)+f(x0),当且仅当x=x0时,等号成立;()若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递减,则当x0D时,f(x)(x0)(x-x0)+f(x0),当且仅当x=x0时,等号成立.母题解析:
2、()令g(x)=f(x)-(x0)(x-x0)-f(x0),则(x)=(x)-(x0);由(x)在区间D上单调递增当xx0时,(x)(x0)(x)0g(x)在xx0内单调递减;当x(x0)(x)0g(x)在xx0内单调递增g(x)g(x0)=0f(x)(x0)(x-x0)+f(x0),当且仅当x=x0时,等号成立;同理可证(); 母题的实质是凹凸函数的性质,具有明显的几何意义,如下图所示,当函数是凹函数时,函数图像均在其切线之上(切点除外);当函数是凸函数时,函数图像均在其切线之下(切点除外). 1.直线与曲线的位置 子题类型:(2014年课标高考试题)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2
3、,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.()求a;()证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.解析:()由f(x)=x3-3x2+ax+2(x)=3x2-6x+a(0)=a曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线:y=ax+2;由切线与x轴交点的横坐标为-2-2a+2=0a=1;()当a=1时,f(x)=x3-3x2+x+2,(x)=3x2-6x+1f(x)的图像如图:过P(0,-2)作曲线y=f(x)的切线,设切点为Q(t,t3-3t2+t+2),则kPQ=(t)t2-3t+1+=3t2-6t+1t=2kPQ=1;由直线y=kx-2过P(0,-
4、2),且k0时,f(x)gt(x)对任意正实数t成立;(ii)有且仅有一个正实数x0,使得g8(x0)gt(x0)对任意正实数t成立.解析:()由y=f(x)-g8(x)=-4x+=x2-4单调递增区间是(-,-2)和(2,+),单调递减区间是(-2,2);()(i)由(x)=x2(t)=t曲线y=f(x)在x=t处的切线:y-=t(x-t),即y=gt(x)=tx-t;当x0时,(x)=x2在区间(0,+)上单调递增f(x)gt(x)对任意正实数t成立;(ii)令h(t)=gt(x0)=tx0-t,则(t)=tx0-hmax(t)=h(x03)=x03;所以,g8(x0)gt(x0)4x0-
5、x03;又曲线y=f(x)在x=2处的切线:y=4x-当x0时,f(x)4x-x34x-x034x0-.故当且仅当x0=2时,g8(x0)gt(x0)对任意正实数t成立.点评:母题最常见的应用是证明或构造不等式,如:若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递增,则当x0D时,f(x)(x0)(x-x0)+f(x0);若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递增,则存在唯一的xD,使得:f(x)(x0)(x-x0)+f(x0)(x0D);若两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,且(x)在区间D上单调递增,(x)在区间D上单调递减,则f(x)g(x
6、). 3.逼近函数零点 子题类型:(2015年天津高考理科试题)已知函数f(x)=nx-xn,xR.其中nN*,且n2.()讨论f(x)的单调性;()设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x)求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x);()若方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|+2.解析:()由(x)=n-nxn-1;当n为偶数时,f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+);当n为奇数时,f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-,-1)和(1,+);()当x0时,由(x)=n-nxn
7、-1在区间(0,+)上单调递减对于任意的正实数x,都有f(x)g(x);()由曲线y=f(x)在原点处的切线方程:y=nx,g(x)=(n-n2)(x-n),则f(x)4x,且f(x)-12(x-4);设nx=a,g(x)=(n-n2)(x-n)=a的根分别为x3,x4,则x3=,x4=-+n;不妨设x10.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.()用a表示b,并求b的最大值;()求证:f(x)g(x)(x0).3.(2007年辽宁高考试题)已知函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=(x).()证明:当tk时,g(x)在闭区间a,b上是
8、减函数;()证明:f(x).4.(2015年天津高考文科试题)已知函数f(x)=4x-x4,xR.()求f(x)的单调区间;()设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x)求证:对于任意的实数x,都有f(x)g(x);()若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x10),则(x)=L的方程为:y=x-1;()由(x)=(x)=当x(0,e)时,(x)递减当x(0,e)时,f(x)x-1,当且仅当x=1时,等号成立;当xe时,x-1e-1,f(x)f(e)=10)处的切线相同,则f(x0)=g(x0),(x0)=(x0)x02+2ax0=3a2l
9、nx0+b,x0+2a=x0=a(-3a舍去),b=a2-3a2lna;令h(x)=x2-3x2lnx,则(t)=2x(1-3lnx)hmax(x)=h(e)=eb的最大值=e;()设公切线:y=kx+m;由(x)=x+2a在区间(0,+)上单调递增,(x)= 在区间(0,+)上单调递减f(x)kx+M,kx+mg(x)f(x)g(x)(x0).3.解:()由g(x)=e2x-t(ex+1)+x(x)=2e2x-tex+1=ex(2ex+e-x-t);又由2ex+e-x2当t0g(x)在R上是增函数;()由g(x)在闭区间a,b上是减函数当xa,b时,(x)02ex+e-x-t0;令h(x)=
10、2ex+e-x,则(x)=2ex-e-xh(x)在(-,-ln2)上单调递减,在(-ln2,+)上单调递增,故只需取k=maxh(a),h(b);()(法一)由f(x)2t2-2(ex+x)t+e2x+x2-0=4(ex+x)2-8(e2x+x2-)0(ex-x)21;作y=ex在x=0处的切线:y=x+1知exx+1ex-x1(ex-x)21f(x);(法二)由f(x)e2x-2tex+t2+x2-2tx+t2(ex-t)2+(x-t)2;设P(x,ex),Q(t,t),则点P(x,ex)在曲线y=ex上,点Q(t,t)在直线y=x上,作y=ex在x=0处的切线:y=x+1,则|PQ|min
11、=直线y=x与y=x+1的距离=|PQ|PQ|2(ex-t)2+(x-t)2f(x).4.解:()由(x)=4-4x3f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+);()由(x)=4-4x3在区间(-,+)上单调递减f(x)g(x);()由曲线y=f(x)在原点处的切线方程:y=4x,g(x)=-12(x-4),则f(x)4x,且f(x)-12(x-4);设4x=a,g(x)=-12(x-4)=a的根分别为x3,x4,则x3=,x4=-+4;由4x1f(x1)=a=4x3x1x3,由-12(x4-4)=a=f(x2)-12(x2-4)x4x2x2-x1x4-x3=-+4-=-+4.
