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1、2009年高考文科数学试题分类汇编函数与导数一、选择题1.（09年福建2） 下列函数中，与函数 有相同定义域的是 A B C D【分析】本题考查函数的定义域.【解析】函数的定义域为（0，+），函数定义域为（0，+），函数的定义域为，函数和的定义域都为R,故选A.2.（09年福建8） 定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是A B. C. D【分析】本题考查函数的图像与性质。【解析】由偶函数的图像与性质知，函数在上是减函数，由二次函数的图像知函数在上是减函数，3.(广东卷4)若函数是函数的反函数，且，则 A B C D2 【答案】A【解析】函数的反函数是,又,
2、即,所以,故,选A.4.(广东卷8)函数的单调递增区间是 A. B.(0,3) C.(1,4) D. 【答案】D【解析】,令,解得,故选D5.（浙江8）若函数，则下列结论正确的是（ ）A，在上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B，在上是减函数C，是偶函数D，是奇函数C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问【解析】对于时有是一个偶函数6. （2009北京4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左
3、平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A，B，C，D.故应选C.7. (2009山东卷6)函数的图像大致为( ). 【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.8. （09山东7） 定义在R上的函数满足= ，则的值为( )A.-1 B. -2 C
4、.1 D. 2【解析】:由已知得,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.9. (2009山东卷文12)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D. 答案:D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 10.（2009全国卷文2）定义在R上的函数满足= ，则的值为( )A.-1 B. -2 C.1
5、D. 2 答案：B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.11.（2009全国卷文3）函数y=的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称答案：A解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。12.（2009全国卷文7）设则（A） （B） （C） （D）答案：B解析：本题考查对数函数的增减性，由1lge0,知ab,又c=lge, 作商比较知cb,选B。13. （09年安徽文8）b,函数的图象可能是 【解析】可得的两个零
6、解.当时,则当时,则当时,则选C。【答案】C14. （2009江西卷文2）函数的定义域为ABCD答案：D【解析】由得或,故选D. 15. （2009江西卷文5）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为A B C D答案：C【解析】,故选C.16.（2009江西卷文11）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 答案：B【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.17.（
7、2009江西卷文12）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A或 B或 C或 D或答案：A【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.18. （2009天津卷文5）设，则A B C b D S S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.3.（2009辽宁卷文15）若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3【答案】34.（09福建文15）若曲线存在垂直于轴的
8、切线，则实数的取值范围是 .解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。5. （2009重庆卷文12）记的反函数为，则方程的解 【答案】2解法1由，得，即，于是由，解得解法2因为，所以解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得6.（2009江苏卷3）函数的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。7.（2009江
9、苏卷9）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）8.（2009江苏卷10）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 【解析】考查指数函数的单调性。 ，函数在R上递减。由得：m1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最
10、值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解： （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由知，当时，故在区间是增函数； 当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 解得 1a6故的取值范围是（1，6）6. （09安徽文21）（本小题满分14分） 已知函数，a0，（）讨论的单调性;（）设=3，求在区间1，上值域，其中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二
11、问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。【解析】(1)由于令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函数在上的值域为8. .（2009江西卷文17）（本小题满分12分）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若
12、方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.9. （2009天津卷文21）（本小题满分12分）设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=【解析】解：当所以曲线处的切线斜率为1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （
13、2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。10. （2009四川卷文20）（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（
14、I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即又，由已知得联立，解得.所以函数的解析式为 4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有实数解， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值； 12分11.（2009湖南卷文19）（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定
15、义域和值域。解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.19(09高考数学文21)（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当7时，掌握程度的增长量总是下降；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
16、（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.证明（1）当时，而当时，函数单调递增，且故函数单调递减当时，掌握程度的增长量总是下降(2)有题意可知整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分20. （2009宁夏海南卷文21）（本小题满分12分）已知函数.(1) 设，求函数的极值；(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （21）解：（）当a=1时，对函数求导数，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,则不恒成立.所
