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1、“周期数列”知多少作者：耿瑞照 工作单位：山东淄博淄川般阳中学 信箱：xiaorui321邮编：255150 地址：山东淄川区般阳中学（原淄矿一中）电话：15953358064我们在学习函数时，通常会围绕着函数的单调性、奇偶性和周期性进行研究；那么，数列作为一种特殊的函数，它是否有周期性呢？有周期性的数列又有哪些特点呢？下面是我在教学中总结出的几点认识，仅供大家参考1、周期数列的概念及主要性质 类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简
2、称周期通过周期数列的定义以及所学过的周期函数的性质，发现周期数列满足以下性质：（1）如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期（2）若数列满足（，且），则6是数列的一个周期（3）已知数列满足（，且为常数），分别为的前项的和，若（，），则，（4）若数列满足，则数列是周期数列；若数列满足，则数列是周期数列若数列满足，则数列是周期数列2、周期数列性质的简单应用（1）求周期数列的通项公式例1（04山东数学竞赛）、已知数列满足，求分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可解：，从而；即数列是以3为周期的周期数列又，所以例2、若数列满足；若，则的值为（ ）A B C
3、 D解析：紧扣分段函数的定义，代入a1=求得a2=，并依次求出故此数列是周期为3的周期性数列，故故选B（2）求周期数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列中，且对于大于的正整数，总有，则等于（ ） A-5 B-2 C2 D3解析：由性质（2）知，数列是以6为周期的周期数列，而，再由性质（3）可得，故选A例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列满足（为实数），()，求解：()可变形为我们发现与三角式十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型通过运算，发现本题中可取=，显然此数列的周期是6而，再由性质（3），得注：此类问题也可采用不动点法求解，有兴趣的朋友不妨试一下（3
4、）求周期数列的前项和例5、设数列中，且对，有= （）成立，试求该数列前100项和解：由已知条件，对任何自然数，有= ，把式中的换成，得= 两式相减得，因为，所以所以是以4为周期的周期数列，而，再由性质（3），得例6（上海08质检题）、若数列满足，为的前项和，且，求解析：由及性质（2），可知所以数列是以6为周期的周期数列由，知，再结合，可求得，；由递推关系式可进一步求得，因为，由性质（3），得（4）求周期数列的极限例7、（06北京）在数列中，是正整数，且，则称为“绝对差数列”若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，数列和的极限是否存在，如果存在，求出其极限值解析：因为在绝对差数列中，所以自第20项开始，该数列是，即自第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3所以当时，的极限不存在当时，所以
