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1、“精彩的分形”中见“归纳方法”的教学设计洪利芳（浙江省宁波外国语学校）一、 教材分析“精彩的分形”是浙教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第四章课题学习的内容。它是在学生认识相似形的基础上，为满足学生感受数学之美和体会数学思维方法和思想方法以及发展能力与个性的需要提出来的，是课堂教学的延伸与拓展。二、教学目标（一）知识与技能1借助具体的分形实例并通过经历观察的过程，了解分形的概念。2借助雪花曲线并通过经历猜想边数、周长的过程，了解分形的性质具有有限的面积和无限的周长。3通过经历操作探索的过程，会设计简单的分形图案。（二）过程与方法 1借助雪花曲线的形成过程，进一步了解分形的结构特点。2
2、借助雪花曲线并通过经历归纳边数、周长的过程，感受归纳思想方法；发展观察、猜想、归纳的能力。（三）情感态度与价值观1借助具体的分形实例，欣赏精彩的分形，感受数学之美。2通过动手操作，培养学生参与活动和交流活动的意识，进而发展想象力和学习数学的兴趣，逐步培养学生的逻辑思维能力。3通过研究解决问题的方法，培养学生的创新意识及探究精神。三、教学重点和难点重点：了解分形的结构特点及解决分形问题的思想方法。难点：求雪花曲线的边数、周长及利用分形进行图案的设计。四、教学方式教师引导下的学生独立学习与独立学习基础上的交流合作。五、教学过程（一）、自主探索，收集图案课前，教师布置如下的任务，供学生课前探索。1生
3、活中经常可以见到这样的图案或物体：将其细微部分放大后，其结构看起来与原来的一样（如图1、图2、图3）。你能举出尽可能多的具有这种特点的图案或物体吗？请大家用适当的方式去收集并整理。 图1 图2 图32你在收集这类图案或物体的过程中有何感触？设计意图：让学生认识分形来自于生活，并且分形具有广泛的现实情景，从而感受数学地认识分形的必要性，激发学生学习分形的兴趣，同时发展学生收集信息的能力。（二）、合作交流，汇报成果上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报课前探索成果。同时教师倾听学生的汇报。在此基础上，教师进行总结：正因为具有这种特点的图案或物体的广泛存在性，就决定了从数学角度研究这类图
4、案或物体结构特点的必要性。（三）、引导探究，猜想归纳师：我们的世界因为它们而变的精彩，那同学们，你们知道这美妙的图片是怎么变化得出的吗？（学生们窃窃私语）师：这要归功于我们数学当中的“分形”，（疑惑中）分形是这样一种图形，将其细微部分放大后，其结构看起来与原来的一样。设计意图：从自主探索“分形形成”的美妙图案慢慢的开始，从而很自然自然地引入课题，让学生进一步认识到平时生活中到处有数学，从而激发学生学习“分形”这节课的积极性，使学生对“分形”充满了好奇，引领着学生走向分形性质的探讨。师：我们的身边有大量的由分形构造出的美丽风景，同学们，冬天漫天飞舞的雪花，美吗？那你信不信老师可以由一个等边三角形
5、变化得出一朵雪花。（学生混乱中，有人点头，有人摇头）师：雪花曲线是这样形成的：（1）画一个等边三角形，并把每条边三等分；（2）以居中的线段为边向外作等边三角形，并去掉这条居中的线段；（3）对每一条线段重复上述过程，。 （边说边展示图片）师：同学们，这像一朵美丽的雪花吗？师：谁能求出图2的边数？生：图2的边数为12师：怎么得到的？生：数出来的。（众生大笑）师：好，那图3的边数呢？生：图3的边数为48。师：怎么得到的？（众生异口同声的说“数出来的”）师：行，那你能数出图n的边数吗？（众生大叫“不能”）师：但现在我想知道图n的边数，怎么办？生：找规律，由3,12,48可知后一个是前一个的4倍，猜测图
6、n的边数为师：你能说明你猜测的正确性吗？生：由操作过程可知，一条边通过一次操作就变成4条，所以后一个图形的边数是前一个图形的4倍。师：精彩，刚才我们通过数出图2、图3的边数，猜测图n的边数，并归纳证明了我们的猜想。设计意图：先加入了雪花曲线分形变化过程中边长的变化规律，给学生探索雪花曲线分形过程中周长的变化规律提供了示范，增加了层次感，由易入难、由简到繁、由浅到深，采用这种循序渐进、层层深入方法，给学生铺垫很多台阶，使得理解难度大大降低，又让学生体会归纳这一数学思想方法。师：现在老师提出这样一个问题：若设雪花曲线的起始正三角形的边长为1，则第n个雪花图形的周长是多少？请大家合作研讨并大胆探索归
7、纳。（提示：可借助探索边数的思想方法进行探索、归纳）（学生独立学习，教师巡视指导。约5分钟后进行交流、评价。）生：图n的周长表达式为师：你怎么得出的？生：我是仿照刚才边数的规律的探求方法，先求出图2的周长为4，图3的周长为，后一个是前一个的倍，归纳出图n的周长为。师：非常好，归纳又帮我们解决了一个难题，如果这样无限地继续下去，图n的周长将怎样变化？生：因为后一个是前一个的倍，所以周长将无限加长。师：好，这是分形的一个重要性质：具有无限的周长。师：漂亮，这就是分形具有的一个令人惊异的性质：有着无限的周长但具有有限的面积，大自然也很好的诠释了分形的这一性质，像我们的海岸线就具有有限的面积，但有着无
8、限的周长。设计意图：这是本节课的难点，学生不易掌握，通过合作研讨大胆猜想归纳，让学生认识分形具有自相似且可以迭代操作的结构特点，并在探索雪花曲线的边数、周长的过程中，让学生体会归纳思想方法。（四）、画龙点睛，归纳小结师：现在我们归纳整理一下探索得到的结论：（1）分形的结构特点：自相似且可以迭代操作。（2）雪花曲线的几个结论：第n个雪花图形的边数为；若起始正三角形的边长为1，则第n个雪花图形的周长为。（3）探索分形问题的思想方法：特殊到一般观察、猜想、归纳。（4）分形的性质：具有有限的面积，但有着无限的周长。设计意图：在学生充分活动的基础上，将发现的结论进行整理、补充和完善，使之规范化，这有助于
9、学生理清条理，掌握各知识点。（五）、布置作业，应用新知师：现在请大家在课后运用所学的思想方法解决下列问题：（1）按下列操作程序给出分形图案。画一个正方形，并把每条边三等分；以居中的线段为边向外作正方形，并去掉这条居中的线段；对每一条线段重复上述过程，。（2）猜想第n个图形的边数是多少？（3）若起始正方形的边长为1，则猜想第n个图形的周长是多少（用含n的代数式表示）？并思考如果这样无限地继续下去，第n个图形的周长将怎样变化？（4）自选一个起始图形，设计一个自相似和可以迭代操作的分形图案。（以上任务完成后请相互交流，并一周后上交给老师。）设计意图：用生成的数学思想方法解决具体问题是数学教学的重要组
10、成部分，有利于将显化的思想方法进行内化。让学生在课后能对归纳思想再一次的进行整理应用，提升学生对归纳思想的认识和掌握。六、教学反思：数学课程标准明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自主、全面、可持续发展”。从这里，我们可以深切体会到，现代数学教育给我们提出了新的教学课题，新的教学模型。这些课题，这些模型有别于以往的传统的数学的教学方法，在以前的机械的、抽象的、单纯的模仿与记忆的基础上，如何更好的激发学生的主观能动性、激发学生对数学学习的积极性，有了更深刻的认识。现代数学教育工作者应该在这一领域有更多的探究工作，有更
11、多的探究空间。让学生对于数学的认识从抽象到具体，对于数学的学习从被动到主动的转型。1.课题学习要采用课内外结合的策略和价值引导与自主建构相结合的教学方式：课内外结合有利于提供学生充分从事数学活动的机会，有利于学生经历“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的过程，这符合探究学习的特点，更是课题学习所必须的教学策略。价值引导与自主建构相结合是新课程倡导的教学理念，学生思维是否有效的关键是教师引导是否科学。如果引导的指向性太强，就会导致学生思考力度不足；如果引导的指向性太弱，就会导致学生难以打开理性思维的“闸门”，从而导致学生无法经历实质性的思维活动。因此，充分发挥学生的主观能动性需要教师科学引导。如
12、在本节课的教学中，采用了问题“暗示”的引导方法，能使学生经历猜想的过程。科学的引导来自于教师“理解数学、理解学生和理解教学”。这就是说教学决策之前的教学分析是不该被忽视的教学起点。2.台阶式的探究：分形的性质具有有限的面积，但具有无限的周长。简简单单的15个字，对于学生来说，都认得，句子也不长。但是要让学生真正理解这句话，对这句话有很具体概念，那难度是相当大的。因此，在开始部分我就先加入了分形变化过程中边长的变化规律，给学生探索分形过程中周长的变化规律提供了示范，增加了层次感，由易入难、由简到繁、由浅到深，采用这种循序渐进、层层深入方法，给学生铺垫很多台阶，使得理解难度大大降低。是学生轻而易举
13、的对这个本来抽象的模糊的概念有了一个具体的清晰的深刻的认识，从而使得这节课的重点和难点得以很好的突破，使课堂轻松活跃，教学紧张有序，知识点巩固牢固。3.归纳与猜想数学思想方法贯穿整个课堂：数学课程标准明确提出：“教师应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。数学知识本身固然重要，但是使学生终身受益的却是数学思想方法。如果说知识和技能是数学学习的基础，那么数学思想方法是数学的灵魂和精髓。初中阶段主要的数学思想方法有化归思想、函数思想、分类讨论思想、概率统计思想、数形结合思想等。数学思想方法是基于数学知识又高于数学知识的一种
14、隐性的数学知识。认识隐性知识需要合适的情境与过程，即要把“过程”作为数学课程内容的一个部分，否则难以将隐性知识显化。如本节课的教学中，让学生经历分形图案或物体的收集与交流的过程，旨让学生认识分形实现情景的广泛性，感受从数学角度研究分形的必要性，同时为领悟和运用思想方法提供合适的情境；让学生经历典型的雪花曲线的形成过程和雪花曲线性质的探索过程，旨在让学生认识分形的结构特点和体会认识过程中的观察、分析、归纳、概括等科学方法和推理、等价转换等数学思想方法；让学生经历分形构造方法和研究分形的思想方法的应用过程，让学生理解更深入、体验更深刻。数学思想方法包括：观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象、概
15、括等形成数学理论的科学方法；逻辑推理的证明方法；化归、递推、等价转换、推广与限定等常用的一般数学思想方法；还有特殊的数学思想方法：用字母表示数的思想方法，集合的思想方法，函数、映射、对应的思想方法、数形结合的思想方法等。一节课的内容往往蕴涵着多种数学思想方法，要根据需要抓住其主要思想方法进行有计划、有目的教学。如在本节课的教学中，主要让学生体会形成理论的归纳方法。数学思想方法的建构一般有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。因此，贯彻数学思想方法的基本途径是：充分挖掘教材中蕴涵的数学思想方法教学决策之前进行深入、细致的教学分析；有目的有意识的渗透和突出有关的数学思想方法根据数学特征及
16、认知规律选择主要的数学思想方法；有计划有步骤地渗透和介绍有关的数学思想方法从数学思想方法的高度设计教学过程。如在本节课的教学中，形成分形结构特点阶段主要设计观察、分析、概括，形成分形性质阶段主要设计归纳方法，但归纳是生成数学理论的重要方法。因此，这节课主要渗透归纳方法。 4小结和布置作业的有效结合：在最后，我一边对于本节课所学的知识点、所用的教学方法进行简短小结，一边布置了为巩固本堂课所学知识点的作业，复习本节课的数学思想归纳思想，让学生在课余自主的去探索正方形类似分形变化后边数、周长的变化规律，再一次体会归纳思想，把课中所学知识独自运用一次，测试自己对这节课所学内容的掌握情况。5.不足与遗憾：反观整个教学过程，还有很多方面值得仔细揣摩和认真思考。我认为成功的数学教学是以学生为主体，以学生的发展为本，学生喜欢才是硬道理。如何通过我的教学，唤起学生对数学的审美体验，培养正确的情感价值观；如何灵活恰当的引导，使学生自主参与，发现问题；如何在课堂有限的时间内有效的渗透数学思想方法这是我在今后的课堂教学中需要深思的众多问题，但是我想：只要有探索的精神，有进取的意识，越来越精致、越来越合理、越来受学生喜欢的数学课将不在是梦。本文参加宁波市初中数学第二轮疑难问题论坛
