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1、高考数学解题高分策略难点突破与培优提高 第I卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A、14题，基础送分题，做到不失一题！解题常用经典再现A1.集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B如果【注意】：Z= 整数（） Z =全体整数 （）已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集（） 空集的补集是全集若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）2、若=，则的子集有个，真子集有个，非
2、空真子集有个.3、4、 De Morgan公式:；.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题*1.命题的否定与它的否命题的区别：命题的否定是,否命题是.命题“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.*2.常考模式： 全称命题p：；全称命题p的否定p：.特称命题p：；特称命题p的否定p：.A3.复数运算*1.运算律：； ； .【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质：； ； .*3.重要结论：； ； ，；性质：T=4；.【拓展】：
3、或.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点；(2)时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；(3)时，幂函数的图像在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征
4、是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). 频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.频率=.小长方形面积=组距=频率. 所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.茎叶图
5、当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1)一组数据样本方差 ；样本标准差= (2)两组数据与,其中,.则,它们的方差为,标准差为若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.样本数据做如此变换：，则，.B、(59，中档题，易丢分，防漏/多解)B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当时，若表示直线的右边，若则表示直
6、线的左边.（2）当时，若表示直线的上方，若则表示直线的下方.2、设曲线（），则或所表示的平面区域：两直线和所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点与曲线的位置关系：若曲线为封闭曲线（圆、椭圆、曲线等），则，称点在曲线外部；若为开放曲线（抛物线、双曲线等），则，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线，目标函数.当时，将直线向上平移，则的值越来越大；直线向下平移，则的值越来越小；当时，将直线向上平移，则的值越来越小；直线向下平移，则的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1），若，直线在y轴上的截距越大，z越大，若，直线在y轴上的截距越大，z越小.（2）表示过两点的直线
7、的斜率，特别表示过原点和的直线的斜率.（3）表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（4）表示到点的距离.（5）；（6）；（7）；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。B 2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割
8、化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：，； ，；，；等.（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）利用二倍角公式和二倍角公式的等价变形，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化.（3）切割化弦（名的变化） 利用同角三角
9、函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. （4）常值变换常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：等.（5）引入辅助角 一般的，期中. 特别的，;，等.（6）特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例：，可以通过两式和，作进一步化简. （7）整体代换举例： ，可求出整体值，作为代换之用.B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在中，（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总
10、互余.锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即，；. (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理 面积公式：.其中为三角形内切圆半径，为周长之半(3)对任意，；在非直角中，(4)在中，熟记并会证明：*1.成等差数列的充分必要条件是*2.是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列 *3.三边成等差数列；.*4.三边成等比数列,. (5)锐角中, ，；.【思考】：钝角中的类比结论(6)两内角与其正弦值：在中，(7)若，则.(8).B 4.三角恒等与不等式组一组二 组三 常见三角不等式(1)若，则；(2) 若，则；(
11、3) ；(4)在上是减函数；B5.概率的计算公式：古典概型：；等可能事件的概率计算公式：；互斥事件的概率计算公式：P(A+B)P(A)+P(B)；对立事件的概率计算公式是：P()=1P(A)；独立事件同时发生的概率计算公式是：P(AB)P(A)P(B)；独立事件重复试验的概率计算公式是：(是二项展开式(1P)+Pn的第(k+1)项).几何概型：若记事件A=任取一个样本点，它落在区域，则A的概率定义为注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的
12、概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称为在事件发生的条件下，事件发生的概率。注意：；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。B6. 排列、组合（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：直接法：间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，
13、再考虑其他位置）。间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组
14、，平均分成组问题别忘除以.B7.最值定理，若积，则当时和有最小值；，若和，则当是积有最大值.【推广】：已知，则有.（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.已知，若，则有：，若则有：B8.求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.逆求法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围，型如的
15、函数值域；换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利
16、用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域判别式法：对于形如（,不同时为）的函数常采用此法【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1.型，可直接用不等式性质；2.型，先化简，再用均值不等式；3.型，通常用判别式法；4.型，可用判别式法或均值不等式法；导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.B9.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.常规函
17、数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1) ：则且.(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.(3)： ，则且.(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。，值域.(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲
18、解.(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.调整分子：例3.求函数的值域；变用公式：基本不等式有几个常用变形： , ，.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；连用公式：例5.已知，求的最小值；对数变换：例6.已知，且，求的最大值；三角变换：
19、例7.已知，且，求的最大值；常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若（为定值，），可设，其中.在上是增函数，在上是减函数；在上是增函数，在上是减函数；.令，其中.由，得，从而在上是减函数.和为定值若（为定值，），则在上是增函数，在上是减函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.在上是减函数，在上是增函数；积为定值若（为定值，），则.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；在上是减函数，在上是增函数.倒数和为定值若（为定值，）
20、，则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.B12.理解几组概念*1. 广义判别式设是关于实数的一个解析式， 都是与有关或无关的实数且，则是方程有实根的必要条件，称“”为广义判别式. *2. 解决数学问题的两类方法：一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.*3. 二元函
21、数设有两个独立的变量与在其给定的变域中中，任取一组数值时，第三个变量就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量称为变量与的二元函数.记作：. 其中与称为自变量，函数也叫做因变量，自变量与的变域称为函数的定义域. 把自变量、及因变量当作空间点的直角坐标，先在平面内作出函数的定义域；再过域中得任一点作垂直于平面的有向线段，使其值为与对应的函数值； 当点在中变动时，对应的点的轨迹就是函数的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域就是此曲面在平面上的投影.*4. 格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都
22、在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.*5. 间断点我们通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，且其左、右极限都存在，我们把称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.*6. 拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.如果在区间内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点.(1)求； (2)令，解出此方程在区间内实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根，检查在左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.*7.驻点曲线在它的极值点处的切线都平行于轴，即.这说明，可导函数的极值点
23、一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.*8. 凹凸性定义在上的函数，如果满足：对任意的都有，则称是上的凸函数.定义在上的函数如果满足：对任意的都有，则称上的凹函数.【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.B13. 了解几个定理*1. 拉格朗日中值定理: 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那末在内至少有一点，使成立.这个定理的特殊情形，即：的情形.描述
24、如下： 若在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么在内至少有一点，使成立.*2. 零点定理：设函数在闭区间上连续，且那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（）使*3. 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）*4. 夹逼定理：设当时，有，且，则必有 【注】：表示以为的极限，则就无限趋近于零（为最小整数）C、1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式设，是线段的分点，是实数，且（或=），则（）推广1：当时，得线段的中点公式：推广2：则（对应终点向量）三角形重心坐标公式：ABC的
25、顶点，重心坐标：注意：在ABC中，若0为重心，则，这是充要条件【公式理解】： *1.是关键() (内分) 0 (外分) 0 (-1) (外分) 0 (-10)若P与P1重合，=0 P与P2重合，不存在 P离P2 P1无穷远，=*2.中点公式是定比分点公式的特例；*3.始点终点很重要，如若P分的定比=，则P分的定比=2；*4.知三求一；*5.利用有界性可求一些分式函数取值范围；*6.则是三点共线的充要条件.C 2. 抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探
26、究抽象函数：正比例函数型：.指数函数型：.对数函数型：.幂函数型：,.三角函数型：,.,.（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。C 3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图像关于直线对称. 【注】：亦然.【特例】，当时，的图像关于直线对称. 【注】：亦然.性质2：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图像关于点对称. 【特例】：当时，的图像关于点对称.【注】：亦然.事实上，上述结论是广义奇(
27、偶)函数的性质.性质3：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图像关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图像关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件函数关系式()对称性函数图像是奇函数函数图像是偶函数或函数图像关于直线对称或函数图像关于点对称【注】：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.(2)两个函数图像之间的对称性1.函数与的图像关于直线对称.2.函数与的图像关于直线对称.3.函
28、数与的图像关于原点对称.4.函数与它的反函数的图像关于直线对称.5.函数与的图像关于直线对称.特别地，函数与的图像关于直线对称.C4.几个函数方程的周期(约定)(1)若，或，则的周期；(2)若，或，或 ，或，或，或，或，或，或，则的周期；(3)若，则的周期；(4)若，或，或，或，或，或且，则的周期；(5)若，则的周期；(6)若，则的周期.【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C5.对称性与周期性的关系定理1：若定义在上的函数的图像关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论1：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.定理2
29、：若定义在上的函数的图像关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.定理3：若定义在上的函数的图像关于点和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论3：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.C6.函数图象的对称轴和对称中心举例 函 数 满 足 的 条 件对称轴(中心)满足的函数的图像或 满足的函数的图像或满足的函数的图像 满足的函数的图像满足的函数的图像(偶函数)满足的函数的图像(奇函数)满足与的两个函数的图像 满足与的两个函数的图像满足与的两个函数的图像C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任
30、意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.7、若奇函数关于直线对称，即对于任意
31、的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.【拓展】：1、若函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称.2、若函数为奇函数，则函数的图像关于点对称.3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.4、定义在上的函数满足，则函数的图像关于点对称. C8.关于奇偶性与单调性的关系. 如果奇函数在区间上是递增的,那么函数在区间上也是递增的; 如果偶函数在区间上是递增的,那么函数在区间上是递减的;【思考】：结论推导C7.原函数与反函数原函数，对应的反函数为 (1) 原函数与反函数互为反函数，反函数的定义域和值域分别是原函
32、数的值域和定义域. 【理解】：设的定义域为，值域为，那么，对应的反函数定义域为，值域为.一般地，如果函数有反函数，且，那么这就是说点（）在函数图像上，那么点（）在函数的图像上与互为反函数.即，函数的反函数是，函数的反函数是.函数的图像与其反函数的图像相同.(2)性质： 原函数的图像与其反函数的图像关于直线对称.在定义域上,只有单调函数才有反函数，并且单调函数必有反函数.【注意】：*1.对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的且非连续的非单调函数也可能有反函数；*2.周期函数不存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数也不存在反函数；互为反函数的两个
33、函数在各自的定义域具有相同的单调性；设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同【注意】函数的图像与其反函数的图像的交点位置.当它们是递增时，交点在直线上；当它们递减时，交点可以不在直线上，并且交点个数不定.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数；设的定义域为，值域为，则有，；【注意】：，如的反函数；若函数存在反函数，则其反函数为，并不是，而函数是的反函数；C 9.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.1.在长
34、方体中：体对角线长为，外接球直径；棱长总和为；全(表)面积为，体积；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.2.在正三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.3.在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：全面积；体积；对棱间的距离；相邻面所
35、成二面角；外接球半径；内切球半径；正四面体内任一点到各面距离之和为定值.CBAA4.在立方体中：设正方体的棱长为，则体对角线长为，全面积为，体积，内切球半径为,外接球半径为,与十二条棱均相切的球半径为,则,且【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.5.在球体中：球是一种常见的简单几何体球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小球包括球面及
36、球面围成的空间区域内的所有的点球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长球心和截面圆的距离与球的半径及截面圆半径之间的关系是.掌握球面上两点、间的距离求法： 计算线段的长；计算球心角的弧度数；用弧长公式计算劣弧的长.【注】：“经度是小小半径所成角，纬度是大小半径的夹角”. 【补充】：一、四面体1对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的
37、六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为31；12个面角之和为720，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为1802直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形（在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2AC
38、D3等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有等腰四面体的体积可表示为；等腰四面体的外接球半径可表示为；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为；h = 4r二、空间正余弦定理空间正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/s
39、inC-BA-D空间余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D6.直角四面体的性质：在直角四面体中,两两垂直,令,则底面三角形为锐角三角形； 直角顶点在底面的射影为三角形的垂心； ；外接球半径R=.7. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 (3)球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为C10.圆锥曲线几何性质0e1 e=
40、1如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.椭圆方程的第一定义：双曲线的第一定义：圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹简言之就是 “（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中，椭圆中、双曲线中.圆锥曲线的焦半径
41、公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.1.平移变换向量平移法则：按平移得，即按平移得，当时，向右平移，时，向左平移.当时，向上平移，时向下平移.对于“从到”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“”是“左负右正，上正下负”.【小结】：“按向量平移”的几个结论点按向量平移后得到点.函数的图像按向量平移后得到图像，则的函数解析式为.图像按向量平移后得到图像，若的解析式，则的函数解析式为.曲线：按向量平移后得到图
42、像，则的方程为.向量按向量平移后得到的向量仍然为.2.翻折变换(1)由得到，就是把的图像在轴下方的部分作关于轴对称的图像，即把轴下方的部分翻到轴上方，而原来轴上方的部分不变.(2)由得到，就是把的图像在轴右边的部分作关于轴对称的图像，即把轴右边的部分翻到轴的左边，而原来轴左边的部分去掉，右边的部分不变.3.伸缩变换(1)设点是平面直角坐标系内的任意一点，在变换的作用下，点对应于点，函数在变换下得到(2)将的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，得到即4.对称变换(1)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；(2)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；(3)函数的图像可以将函数的
43、图像关于原点对称即可得到；(4)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到.(5)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到； .【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数”及函数等）相互转化. (3)理解等轴双曲线与反比例函数图像的本质联系.(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.C 12. 借助图象比较大小C 13.常用的近似计算公式（当充分小时）(1)；.(2)；.(3)；.(4)（为弧度）；（为弧度）；（为弧度）.C 14.大小比较常用方法：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果
