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1、 山西师范大学文理学院本科毕业论文 中学函数解题思维姓 名 秦少瑜 专 业 数学与应用数学 班 级 数学0703 学 号 0790110303 指导教师 王翠红 答辩日期 成 绩 山西师范大学现代文理学院二一一年四月中学函数解题思维 内容摘要在现代数学中，函数应用的越来越广泛，重要性也越来越大，因此，运用合理的方法解决函数问题成为中学数学中最常见的问题。本论文通过对中学函数中一般问题的思考，运用合理方法对问题进行分析解决。我们知道，函数在中学阶段算是难点，但是它又是重点，是中学数学的核心内容，是每个中学生避不开的问题。函数中常见的问题包括函数的单调性、奇偶性、函数的最值以及函数的应用等各方面。
2、想要更加简便快捷的解决函数问题就要选择正确的思维方法。本文选取了其中几个比较容易理解的问题进行了分析和探讨，通过查阅资料上网收集等方法，总结出一些解题思维的心得。通过举例分析，画图等方式简洁明了的阐述了令中学生头疼的函数问题，为中学生进一步简单的解决函数问题提供了新的思考思路。该论文紧密联系中学教材，文章内容容易理解，所举例题符合教学大纲。【关键词】函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 Secondary Function of Problem-solving Thinking AbstractIn modern mathematics, the function applies more an
3、d more widely and more and more importance, therefore, using a reasonable solution to solve the function problem is a problem in middle school mathematics. This paper on the general problem in secondary function to think, to use a reasonable method analyzes the problems solved. We know, function at
4、the secondary level is the key, but it is also difficult, and it is the core of the middle school mathematics and students do not avoid the problem of each. Function common problems including monotonic of functions, parity, the most value and function of the application of functions, etc. If we want
5、 to use more convenient shortcut to solve the problem, we must to choose the correct function of thinking methods. In this paper, we select some easy to understand questions were analyzed and discussed, through the data access methods of Internet collection, summarizes some problem solving thinking
6、experiences. Through the example analysis, drawing methods such as succinctly expatiates the function to middle school students have a headache, further simple solution for middle school students to provide a new thinking of function thinking. This paper closely textbooks, the content of the article
7、 are easy to understand, comply with the example syllabus questions.【Key words】Function Domain Range Monotonic Parity 目 录一、引言(2)二、函数思维在解题中的应用(2) （一）逆向思维在函数解题中的应用(2) （二）数形结合思想在函数解题中的应用(5) （三）用方程的思想求函数的解析式(7)三、例析函数解题错误及防范(8)四、小结(9)参考文献(10)致谢(10)中学函数解题思维 学生：秦少瑜 指导教师：王翠红一、引言函数作为中学的一个重要内容，起着至关重要的作用，它的应用非
8、常广泛，利用函数的知识及其思想，我们可以解决很多数学问题。函数是重点，同时也是难点，在解有关函数问题时，有时候因为我们对函数知识掌握欠缺，思维不清晰，定位不准确，就会出现错解。因此我们在解函数问题时，一定要谨慎，多方面考虑，切不可草率做题。本文就函数的基本要素、重要性质，通过典型类题的分析，使我们对函数知识融会贯通，解函数问题时思维宽阔，举一反三，做到迅速、准确的解决问题。本文还对在解函数问题时常出现的错误，做了初浅的探讨，以此来启发我们在做函数问题时要审题清楚，要有实事求是的态度。二、函数思维在解题中的应用（一）逆向思维在函数解题中的应用 在解数学问题时，我们大多数时候是从条件出发，借助一些
9、方法和具体模式进行正面考虑。但有时候这样做会事倍功半，因此我们可以考虑从问题的反面或结论出发，反向运用性质来解决问题，这就是逆向思维。它的思维模式就是从条件或命题结论的反面出发来推出问题的结果。应用逆向思维来解决某些与定义域和值域有关的问题 （）定义域与值域互求例 求函数在上的值域。解：函数可变形为 故由此可知 原函数又可变形为 函数的定义域为，即 解得： 小结：因为题中已知了函数的定义域，所以可将函数反解得出，由此得到关于的不等式，解之所得结果即为题目所求。例 已知函数的值域为，求此函数的定义域。解：由题意可得： 解得： 解得：综上：原函数的定义域为()求有关参数范围的问题例 已知函数的值域
10、为，求的值。解：由题意可知：将函数变形为当时，满足题意。当时，由于，则有 即函数的值域为是方程的两个根再由一元二次方程根与系数的关系可得： ，小结：解此类问题，关键就在于把函数求值域的问题与解一元二次不等式问题联系起来，即把函数式变形为关于的一元二次方程，当二次函数系数不为且有解，则可利用判别式来求解，否则，利用判别式来求解。.应用逆向思维来求解有关函数单调性问题 函数的单调性是函数的一个重要性质，它在数学中的应用非常广泛，在解相关问题时，我们要灵活的运用，快速解题，增强我们的解题能力。 例 已知满足，求的值。解：由条件，可得： 由两式的结构，我们可构造函数由此可得又因为函数在上是单调函数 即
11、.函数综合应用中的逆向思维例 设，且，求的值域。解： = = = 有综上，的值域为小结：在求解本题时，巧妙的运用了不等式的性质，从而避开了变形、化解这些繁琐的过程。 （二）数形结合思想在函数解题中的应用 数形结合思想是一种非常重要的数学思想，它有及其广泛的应用，运用数形结合思想的基本思路是：根据题设条件，画出相应的图形，再根据图形的规律来解决相关问题。.利用图像解单调性问题例 天津卷已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）。 图（1）分析：对于此类问题，如果直接求解的话，就需要分类讨论，这样就会比较繁琐。如果我们从函数的单调性即画出分段函数的图像（如图（1）来研究，就会发现此函数在定义域上是单调
12、增函数。由题中有，解得，故答案是。利用函数图象解奇偶性问题例 判断函数的奇偶性。图（2）解：画出分段函数图象，如图（2）所示： 有当即时，有： 当即时，有 无论或，总有由此可知是奇函数。利用函数图象确定根的个数例 利用函数图象来讨论方程的实根个数。解：构造函数：与 由题意可知，方程的实根个数就是函数的图像与函数的图像的交点个数。如图（3）：当时，方程没有实数根。当或或时，方程只有一个实数根。当时，方程有两个不相等的实数根。图（3）（三）用方程的思想求函数的解析式方程的思想就是将题设条件中的函数作为未知函数来考虑，从而建立函数方程或方程组，消去另外的未知数便得到所求函数的解析式。例 函数是偶函数
13、，是奇函数，如果，求。解：函数是偶函数，是奇函数 +得：例 若 ，求。解：在式中，用代替，得： 即 再用代替式中的，得： +-得： 综上：例 若函数满足条件：，求的解析式。解：将已知条件中的方程中的变量换成，可得： 又 解、两式可得： 小结：用方程的思想来解此类问题时，关键是要构造一个与已知方程中含有相同未知元的方程，再解此方程组得到所求解析式。三、例析函数解题错误及防范草图不合格例 判断此命题“当时，关于的方程没有实数解”正确与否？错解：由题意，当时，函数与函数关于直线对称，且分布于它的两侧，因此，当时，关于的方程没有实数解。剖析：由于我们平时习惯画草图，经常将函数与函数 画在直线的两侧，从
14、而导致错解。事实上，当时，函数的图像与函数的图像有一公共点，因此，此命题为假。此题启发了我们在平时做题时，要有严谨的态度，切不可草率做题。概念不清，定位不准确例 已知，求函数的最大值及最大值时的值。错解：由题意设 因为，则由函数的图像可知：当即时，的最大值为。剖析：上述解法看似很流畅、完美，但是它忽略了函数的基本要素之一定义域，题设条件中，对来说，的取值范围是，但对于来说，必须满足，此时，的取值范围是，所以。因此，当即时，取得最大值为。 四、小结函数是中学数学中的一个重要内容，起着举足轻重的作用，它贯穿于中学数学的整个知识脉络中，利用函数的知识和思想，我们可以处理很多数学问题。在本文中，通过对
15、函数的基本要素、基本性质以及综合运用中的例题分析，使我们对函数有更整体的把握，条理清晰，逻辑清楚，增强我们的解题能力。 参考文献【1】刘伟.逆向思维在函数解题中的应用.上海中学数学，2008年第9期【2】苏有马.函数单调性的求解思维策略.上海中学数学，2010年第10期【3】代红芳.判断函数奇偶性应注意到问题.中学生数理化（高一版），2008年第7-8期【4】 邵文丽.巧用函数图象速解题.高中数理化（高三）【5】 高慧明.函数解析式的求法探究.泛舟学海（高中），2008年第9期【6】 陈尧明.例析函数解题错误及防范.数学通报，2009年第48期第3卷致谢：大学四年在眨眼之间已接近尾声，而毕业论
16、文是我们的最后一站，它将为我的大学生活画上一个完美的句号。在大学最后的这段时光里，我要特别感谢我的论文指导教师王翠红老师，从论文选题、开题报告到论文完成，一路走来，王老师都给予了不屑的帮助和支持，从她的身上，我体味到了她对待学习时那种严谨的作风，求实的态度和对知识永无止境的追求，她给予我的这些将是我一生的财富，是我在以后学习和工作中的动力和杠杆。感谢大学四年陪伴我走来的所有老师，从你们身上，我获得了无数，你们教给我的专业知识将是我在以后的学习和工作中不断进步和成长的源泉，这篇论文的完成，也源于您们的奉献。同时还要感谢刘伟、高慧明、苏有马、代红芳、邵文丽、陈尧明所有老师，因为您们充分的资料，我的论文才得以完成。总之，感谢您们，因为您们，我的大学生活才如此完美。
