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1、大胆想象，谨慎论证高三的一堂数列复习课实录高三的数学复习课到底该怎么上？这是摆在我们每个高三老师面前的重要课题，我们大多数老师认为时间紧、任务重，往往采取高频率、大容量的习题讲解，整堂课下来就是学生被牵着鼻子走，效果不甚理想。能否发挥学生的主体作用，调动学生学习的积极性，变被动为主动呢？下面是我的一堂有关数列的复习课，尽管学生打乱了我的计划，但给我的感觉是学生比平时活跃得多，教学效果也好得多。实录如下，仅供探讨。请同学们回忆一下，前个正整数的和、平方和、立方和公式是怎样的？ （我很快把三个公式板书在黑板上，下面学生所说的重要过程或结论也一样板书在黑板上）很好！会证明这些公式吗？都可以用数学归纳
2、法，公式还可以用倒序相加法。看来同学们对教材相当熟悉！能说说这些公式有什么作用，或者你对公式的想法吗？（可能是我这个不着边际的问题顿时让课堂活跃起来，有沉思的，有讨论的，还有急急忙忙查笔记翻资料的，学生的回答也确实让我大开眼界。）1 条件和结论是可逆的。如果记数列的前项和为，即分别记公式右边为，当时，用容易证明（或），说明公式的条件和结论是可逆的。我在想，既然是可逆的，而和又存在平方关系，把中的看作，那么满足 的数列的通项是否一定是呢？回答正确， 这个问题提得很有价值！（我马上把问题抛给了学生）同学们能证明它是正确的吗？如果不正确，增加什么条件使它正确呢？不正确，但是若增加附加条件能使其正确。
3、由得： 再用-得：故增加第一个条件，时可得：得：，-得： 故增加第二个条件可得由知，由附加条件得，所以综上所述，要使的结论正确，必须附加条件且或条件。完全正确，理由充分！（提出如此有见地问题，在如此短的时间内给出如此严谨的解答是我第一个没想到的！）2 与排列组合的联系和数列的拆项分组求和。可以用公式求数列的前项和。由得：。当然，用类似的方法可对数列求和。很好！他举出了公式的一个重要应用，拆项分组求和，即把一个数列的和分成几个熟悉的数列的和再求和。请你们迅速求出。（有点害羞地） 。我看，但我不知道有什么用没有。（居然把它和排列组合联系起来了，这是我第二个没想到！看得出其他的同学也无不感到惊讶。于
4、是我只好顺着学生的思想发问）很好！那同学们看看有用吗？，和我们曾经证明过的有联系吗？恰好可用来求数列的前项和，即 （有些夸张地说）用处可大呐！可以推广到个连续的正整数积的数列求和，如， 则 （扬扬得意的样子）既然这样，我有更大的发现，时即，我将变形为 ；同理，时即且可证，这样就不仅证明了，我用同样的方法还可以得到，甚至可以得到前个正整数的次幂的和。都太厉害了，同学们的联想完全超出了我的想象！（这又是我没想到的！正当我要再表扬几句，又一个学生站起来了）3 倒数列和数列的裂项相消求和。 如果取所说的数列的倒数，裂项为，那么；若，裂项为，则，这样还可以推广到多个连续正整数的积的倒数求和问题。太好了!
5、他把两个连续正整数积的倒数的求和问题推广到多个的形式，具有一般性。所用的方法实质是数列的裂项求和，请你们注意裂项的特点。你们还能想象出什么结论吗？刚才所说的分母看作时，那么是不是一般的等差数列也具有这种性质呢？如果是成立的，也可以这样推广吗？（不等我发言，又一个学生主动站起来了）我想是可以的，设等差数列的公差为，若时， ，则；若，则；于是有太棒了！刚才几个同学所用的数列的裂项求和，它要求通项公式裂开后必须构成差的形式，而且在求和时能够使前后之间恰能抵消部分项。（平常我们训练时，一般也就2、3项的积，不想他一下子得出这么漂亮的推广式，这是我又一次没有想到的！。）如果我直接记公式的倒数为，这样我就
6、得到一个求和的问题：，不就应该先对分母求和再裂项求和了吗？ 借用刚才的思想应有，不也有先对分母求和再裂项求和了吗？（以往都是我提问他们答，今天全变了！这更是我没有想到的！不行，还得交给他们自己）请同学们想想，这两位同学的说法对吗？如果正确的话，你能求出结果吗？若直接取公式或的倒数也可行吗？前两个都对，结果分别为和，可是如果直接取公式或的倒数无法用裂项法求和。很好！刚才的两位同学不仅给我们出了两个变式训练题，更重要的是给我们提供了一种思考问题的方法，即逆向思维法，要让它成为我们今后学习中反思的重要方法。（我正准备对这堂课进行小结的时候，又有同学提出了新问题。）如果我再对的通项变形为，无法用上面的
7、方法求和，怎么办呢？该怎么办呢？你能想想和它相关的一些问题吗？把这作为今天的课后思考题，也是下节课我们要复习的内容。同学们今天的表现太好了，既有知识的综合和迁移，又有方法的归纳和总结，我相信同学们下节课会表现得更好！铃铃课后随想：1学生的主动思考和提问，打乱了我的整个教学计划，但我认为是值得的，从学生的表现看，比我预想的效果要好得多。怎样做到既能保证教学进度，又能保护学生学习的主动性和积极性，有待进一步的思考和探讨。2学生思维灵活，联想丰富，跳跃性大，如何有效引导，对我自身提出了更高的要求。3要切实转变教学思想和观念，真正发挥学生的主体地位，必须给学生一定的自由空间；只有师生互动，使教师的主导作用和学生的主体地位相得益彰，既要避免“满堂灌”，也要防止“烂糟糟”，才能提高知识的转化率和课堂教学效果。
