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1、全国卷文科数学试题集（6） 立体几何2020正视图20侧视图101020俯视图1（2007全国卷）8已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）2.（2007全国卷）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（）3.（2008新课标）已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC4.（2009全国卷）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(A) (B
2、) (C) (D) 5.（2009全国卷1）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 （A） （B）2 （C） （D）46.（2009全国卷2）已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为上东（A） (B) (C) (D) 7.（2009全国卷2）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是（A）南 （B）北 （C）西 （D）下 8.（2009新课标）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列
3、结论中错误的是A BEF平面ABCDC三棱锥的体积为定值 DAEF的面积与BEF的面积相等 9.（2009新课标）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为A B C D10.（2010新课标1）(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于 (A)30 (B)45 (C)60 (D)9011.（2010新课标1）正方体-中，与平面所成角的余弦值为 （A） （B） （C） （D）12.（2010新课标1）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A) (B) (C) (D) 13.（2010新课标2）已知三棱锥中，底面为边长等于2
4、的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 14.（10新课标2）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个15.（2010全国.宁夏）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a216.（2011全国卷1）已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂足,若，则（A） 2 （B） （C） （D）117.（2011全国卷1）已知平面截一球面得圆，过
5、圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)1318.（2011全国卷2）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为19.（2012全国卷）已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线与平面的距离为（A） （B） （C） （D）20.（2013全国卷）已知正四棱锥的正弦值等于（A） （B） （C） （D）21.（2014全国卷1）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 22.（2014全国卷1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的
6、高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( )A. B. 16 C. 9 D. 23.（2014新课标1）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱24.（2014新课标2）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A B. C. D. 25.（2014新课标2）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为 A B C D26.（2015新课标1）
7、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛27.（2015新课标1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( ) （A） （B） （C） （D）28.（2015新课标2）一个正方体被一个平面截
8、去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） 29.（2015新课标2）已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：1.（2008全国卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _2.（2009全国卷1）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.3.（2009全国卷2)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆
9、C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 4.（2010全国.宁夏）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱5.（2011全国卷1）已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .6.（2011新课标2）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_7. （2012新课标1）已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_.8.（2013新课标）已知圆和圆是
10、球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于 .三解答题：1.(2007全国1)如图，为空间四点在中，等边三角形以为轴运动（）当平面平面时，求；（）当转动时，是否总有？证明你的结论2.（2008全国1）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG。3.（2009全国1）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 4.（2009全国卷2）如
11、图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1ACBA1B1C1DE（）证明：AB=AC （）设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小 5.（09新课标）如图，在三棱锥中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC；（）若，且平面平面，求三棱锥体积 6.（2010全国卷1）设等比数列的前n项和为如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .7.（201
12、0全国卷2）如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB（）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；（）设异面直线AB与CD的夹角为45,求二面角A-AC-B的大小8.（2010全国卷.宁夏）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。9（2011全国卷1）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形. (I) 证明：(II) 求AB与平面SBC所成角的大小。10.（2011全国卷2）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD（I）证明：；（II）设PD=AD
13、=1，求棱锥D-PBC的高11.（2012新课标1）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。12.（13年）如图，四棱锥都是边长为的等边三角形.（I）证明：（II）求点 13.(2014全国卷）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.14.(2014新课标1）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（I）证明：（II）若,求三棱柱的高.15.(2014
14、新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的重点.（1） 证明：/平面；（2） 设，三棱锥的体积，求到平面的距离.16.(2015新课标1）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，（I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.17.(2015新课标2）如图,长方体中AB=16,BC=10,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.全国卷文科数学试题集（6） 立体几何答案一、选择题1.B.【解析】如图，答案：B （1题图） （2题
15、图）2.D【解析】：如图， 答案：D3.【试题解析】：容易判断、三个答案都是正确的，对于，虽然，但不一定在平面内，故它可与平面相交、平行，不一定垂直.4.D; 5.C; 6.C; 7.B; 8.D【解析】可证故A正确，由平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D.9.A【解析】棱锥的直观图如右，则有PO4，OD3，由勾股定理，得PD5，AB6，全面积为：66265644812，故选.A。10.C【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，ABCDA1B1C1D1O11.D 【解析
16、1】因为BB1/DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，ABCSEF12.B【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.13.【解析】D：过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，AB
17、F为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， 14.【解析】D：到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，15.B； 16.【答案】C【解析】因为是直二面角, ,平面,又,17.【答案】D【解析】如图所示,由圆的面积为4知球心到圆的距离,在中, ,故圆的半径,圆的面积为. 18.D; 19.【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,所以利用等积法得，选D. 20.答案：A； 21
18、.【答案】B； 22.【答案】A23.B【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B24.C; 25.C; 26.B【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.27.B试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.28.D试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.29.【答案】C二、填空题1.【解析】 【试题解析】正六边形周长为，得边长为，故其主对角
19、线为，从而球的直径 球的体积2. ; 3.； 4. ；5. 【解析】取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，.6. 7.【解析】如图连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.【答案】8. 答案：三、 解答题：1.解：（）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，（）当以为轴转动时，总有证明：（）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即（）当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有2.【试题解析】(1)如图（）所求多面体
20、的体积（）证明：如图，在长方体中，连接，则因为，分别为中点，所以，从而，又, 所以平面；3.解：（1）作交于点E，则连接,则四边形为直角梯形 作垂足为F，则为矩形由解得：即 所以M为侧棱SC的中点（II）为等边三角形又由（I）知M为SC中点取AM中点G，连接BG，取SA中点H，连接GH，则由此知为二面角S-AM-B的平面角连接BH，在中，所以二面角S-AM-B的大小为4.（）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足为G，连接CG。由三垂线定
21、理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角。 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.5.解：（）因为PAB是等边三角形，所以，可得AC=BC如图，取AB中点D，连结PD，CD，则PD
22、AB，CDAB，所以AB平面PDC，所以ABPC（）作BEPC，垂足为E，连结AE因为，所以AEPC，AE=BE由已知，平面PAC平面PBC，故因为，所以都是等腰直角三角形由已知PC=4，得AE=BE=2，的面积因为PC平面AEB，所以三角锥的体积6.()连接BD,取DC的中点G，连接BG, 由此知 即为直角三角形，故. 又,所以，.作，故内的两条相交直线都垂直. , ,所以，.7.【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可
23、证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。8. 解：(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形AB
24、CD的面积为S=AC x BD = 2+. .9分 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= .12分9.解法一：()取中点，连结，则四边形为矩形，连结，则，.又,故,所以为直角. 3分由,得平面,所以.与两条相交直线、都垂直.所以平面. 6分另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. 6分()由平面知，平面平面.作,垂足为,则平面ABCD,.作,垂足为,则.连结.则.又,故平面,平面平面.9分作,为垂足,则平面.,即到平面的距离为.由于,所以平面,到平面的距离也为.设与平面所成的角为,则,.12分10.（）因为， 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面AB
25、CD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（）知BDAD，又BC/AD，所以BCBD。故BC平面PBD，BCDE。则DE平面PBC。由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，根据BEPB=PDBD，得DE=，即棱锥DPBC的高为11.【答案】12.13.（1）A1D平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C平面ABC,又BCAC，所以BC平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1A1C,由三垂线定理的AC1A1B.(2) BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C
26、1C平面BCC1B1,作A1EC1C,E为垂足，则A1E平面BCC1B1,又直线A A1平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为ACC1的平分线，故A1D=A1E=,作DFAB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tanA1FD=,所以二面角A1-AB-C的大小为arctan.14.【解析】：（I）连结，则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以，又平面，故=平面，由于平面，故 6分（II）作ODBC,垂足为D,连结AD,作OHAD,垂足为H,由于BCAO,B
27、COD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为,所以为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由 OHAD=ODOA,且，得OH=又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为.12 分15.解：（I）设BD与AC的交点为O，连结EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EOPB. EO平面AEC，PB平面AEC,所以PB平面AEC. （）V.由，可得.作交于。由题设知平面，所以，故平面。又.所以A到平面PBC的距离为.16.试题解析：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（II）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3， EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.17.
