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1、第八章 椭圆、双曲线与抛物线考点综述椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，主要体现出以下几个特点：1基本问题，主要考查以下内容：椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解，几何性质的应用；2、求动点轨迹方程或轨迹图形（高频），此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法3有关直线与它们的位置关系问题（高频），这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不
2、求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现4求与椭圆、双曲线及抛物线有关的参数或参数范围问题（高频），这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别值得注意的是近年出现的解析几何与平面向量结合的问题（高频） 其实，高考数学只有 35 个核心考点仅有 122 种典型考法每种考法只需 1 道例题和 3 道练习题每次 1 小时，学会必杀技确保高考 120分！如有疑难，还可以看视频讲解！更多参考：考点1 椭 圆典型考法1 椭圆的最值问题典型例题已知椭圆，常数、，且(1)当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；(2)过原点
3、且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表示四边形的面积，并求的最大值 解析(1) 的左焦点为，设满足题意的点为又，即由点在椭圆上，得，得， (2)过原点且斜率分别为和的直线，关于轴和轴对称，四边形ABCD是矩形设点A联立方程组得，于是是此方程的解，故 ，即设，则在上是单调函数理由：对任意两个实数，且， ，即在上是单调函数，于是，当且仅当等号成立 注：也可利用求导法证明在上是单调函数必杀技： 利用求函数最值的方法+椭圆性质解决与椭圆有关的最值问题须注意：1最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值2最值问题的求解策略：(1)总方针
4、：建立目标函数（或目标不等式）(2)具体方法：转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题利用三角换元，转化为三角函数的最值问题结合椭圆的定义，利用图形的几何特征求最值利用基本不等式求最值还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题读者自行完成上述性质的证明这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭圆都成立，可用于求解一些选择题和填空题实战演练1是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一动点，则的最小值为 2设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线 与AB
5、相交于点D，与椭圆相交于、两点，若，（1）已知，求的值； （2）求四边形面积的最大值；3若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比(1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程;(2)设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值;(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆：和：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、成等差数列，则点P的轨迹方程为”请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明参考答案：1. 2（1）或 .（2）. 提示：设点到的距离分别为，故的面积为 ，易得当时，取最大值注：通过对（2）的
6、求解，我们进一步探究还可以得到关于椭圆所对应的四边形面积的若干结论结论一：已知是椭圆的两个顶点，直线与相交于点D，与椭圆相交于、两点，则四边形面积的最大值为结论二：以椭圆的一条定弦为对角线的椭圆内接四边形面积取最大值时，另一条对角线必过原点与的中点 推论1：若以为斜率的直线与椭圆相切，则两切点的连线必过原点，且其斜率满足： 推论2：以为斜率的椭圆两切线间的距离为（如图8-1-8）推论3：若是椭圆不过原点且不垂直于对称轴的弦上一点，则点是弦中点的充要条件是 结论三：椭圆内接四边形面积的最大值为 结论四：是椭圆的过原点的一条定弦，是椭圆的过弦上定点的动弦，则当弦被点平分时，椭圆内接四边形面积取最大
7、值的充要条件是： 3(1) (2)当射线与轴重合时，= 当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形设其方程为（），设，由 解得，同理可得，令 则由 知，于是在上是增函数，由知，的最大值为，的最小值为 (3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个命题：过原点的一条射线分别与双曲线：和： 交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、成等差数列，则点P的轨迹方程为证明：射线与双曲线有交点，不妨设其斜率为，显然设射线的方程为，设点、由得，由 得，由P点在射线上，且 得 即得命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线：和： 相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若、成等差
8、数列，则点P的轨迹方程为 （证略）典型考法2 与椭圆有关的定点与定值问题典型例题已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形（1）求椭圆方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解析（1），椭圆方程为（2），设，则直线：，即， 代入椭圆得， （定值）（3）设存在满足条件，则， 则由得 ，从而得存在满足条件必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则一般地，解决动曲线（包括动直线）过定点的问题，其解题步骤可归纳
9、为：一选、二求、三定点具体操作程序为：“一选”：选择参变量需要证明过定点的动曲线往往随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线涉及的量较多时，也可选取多个参变量）“二求”：求出动曲线的方程求出只含上述参变量的动曲线方程，并由其它辅助条件减少参变量的个数，最终使动曲线方程的系数中只含有一个参变量“三定点”：求出定点的坐标不妨设动曲线方程中所含的参变量为，把曲线方程写成形如的形式，然后解关于，的方程组得到定点的坐标 实战演练1已知椭圆C经过点，两个焦点为，(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这
10、个定值2设椭圆：（）过点，且左焦点为(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 3若椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点（2，0）到左焦点距离为(1)求椭圆的标准方程(2)若直线：与椭圆相交于，两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标(3)将(2)推广到一般情形，使得(2)为其特例，并给出解答过程参考答案：1(1) . (2)设直线：，代入得，设，易得(定值) 注：本题可推广为（证明略）：2(1) . (2)提示：利用线段的定比分点，关注注：（一）本题的证明还有其它方法，
11、这里从略（二）对于本题，我们还可将第(2)题的结论推广到一般椭圆，具体为：命题一：设椭圆，过椭圆外一点的动直线与椭圆相交于两不同点，在线段上取点，满足，则点在定直线上我们可将命题一推广到其它的圆锥曲线，具体为：命题二：设圆，过圆外一点的动直线与圆相交于两不同点，在线段上取点，满足，则点在定直线上命题三：设双曲线，过双曲线外一点的动直线与双曲线相交于两不同点，在线段上取点，满足，则点在定直线上命题四：设抛物线，过抛物线外一点的动直线与抛物线相交于两不同点，在线段上取点，满足，则点在定直线上以上命题的证明从略3（1）.（2）直线过定点，定点坐标为.（3） （2）的推广（一）：过椭圆上的右顶点作两直
12、线与交椭圆于、两点，当时，直线恒过定点提示：可设直线：且、，由得，则，由已知得，即 直线：恒过定点（2）的推广（二）：过椭圆上的任意定点作两直线与交椭圆于、两点，当时，直线恒过定点典型考法3 椭圆与直线 图8-1-1典型例题已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，长轴的长与焦距之比为2：1(如图8-1-1) (1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由解析 (1)设椭圆E的方程为，由已知得，故，从而椭圆方程为，将A（2，3）代入上式，得，解得，椭圆E的方程为(2)方法一：方法二：方法三：方法四：方法
13、五：方法六：方法七：方法八：(3)方法一：方法二：方法三： 同上，一方面，因为的中点坐标为，且该中点在椭圆的内部，所以，有，解得 （） 另一方面，的中点在直线上，所以，解得，这与（）矛盾所以不存在满足题设条件的相异两点注：存在性问题的一般经解决思路是先假设满足条件的数学对象存在，然后通过数学“操作”肯定或否定假设必杀技： 综合运用基础知识与基本方法本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的方程以及点关于直线的对称等基础知识；并以对这些基础知识的考查为依托，考查了考生对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与创新意识本题的探索思路宽，且解法多种多样， 本题可
14、推广为：对于本题的(3)还可推广为：注：以上的证明均可仿照本题的求解方法，读者可自行完成，这里不再赘述实战演练1已知椭圆，直线：P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线2已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点(1)求直线和的方程；(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由图8-1-23已知椭圆C： ()的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为(1)求椭圆的方程；(2)设过定点M（0，2
15、）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围(3)如图8-1-2，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆 ()相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件参考答案： 图8-1-31（），其轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，且去掉坐标原点提示： （如图8-1-3）由已知得 （） 设，利用已知条件可得，便有，同理，将它们代入（），得，显然与均不为零2(1) ：；：(2)；提示：设，由，得，定点为该椭圆的两个焦点 (3) 与平行.3(1). (2). (3).
16、 提示：由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等当P在y轴上时，显然；当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，则直线RQ的斜率为，由得，同理，在RtOPQ中，有，所以，化简可得综上，当d=1时a，b满足条件 典型考法4 椭圆与圆典型例题以，为焦点的椭圆过点(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解析 (1)方法一：方法二：(2)方法一：方法二： 方法三：方法四：注：以上方法很好地体现定点问题的基本思维方法一先通过特殊情形确定定点，然后证明其它情形也
17、过这一定点，是比较可取的方法；方法二假设定点，通过条件确定定点，是通性通法，但需要较高的运算能力；方法三利用几何特征发现定点的纵坐标为，能有效地减少运算量同时，三种解法充分利用转化思想，合理使用韦达定理，避免求圆的方程带来繁琐的计算方法四利用消元技巧以及圆的方程的特征，直接求出以为直径的圆的方程，不必利用韦达定理，计算过程简单，思路清晰、明了，从而使问题顺利解决必杀技： 平面几何知识与所给图形特征相结合以“直线、圆及圆锥曲线”为主体的平面解析几何作为中学数学中几何代数化的典型代表，历来是高考的重头戏，是体现能力立意，强调思维空间，用“活题”考“死知识”的典范由于其综合性强，算功要求高，常令众多
18、考生望而生畏尤其近年悄然兴起的圆锥曲线与圆的交汇性问题更让考生们感到恐慌！其实这类问题只要善于抓住问题主干，理清解题思路，及时灵活转化问题和条件，巧妙把向量方法和平面几何知识与图形特征结合起来，就会柳暗花明，轻松应对进一步探究，可以得到以圆锥曲线的弦为直径的圆的方程的统一解法，具体为：下面利用这一结论解决下面的试题已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证:直线过定点，并求出该定点的坐标解：(I)由题意设椭圆的标准方程为，
19、(II)方法一：方法二：设，由得，以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为图8-1-4实战演练1已知A，B 分别为曲线：+=1（）与x轴的左、右两个交点，直线过点B，且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T()若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；()如图8-1-4，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 2设椭圆E： （），O为坐标原点，过M（2，），N(，1)两点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存
20、在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由参考答案： 图8-1-51 () 或. 提示： ，如图8-1-5，由点T为圆弧的三等分点得BOT=60或120(1)当BOT=60时，SAB=30又AB=2， (2)当BOT=120时，同理可求得点S的坐标为()提示：切入点1-从点入手切入点2-从点入手注：本题的求解还可从直线的斜率入手，这里不再赘述2(1) . (2)存在，此圆为，的取值范围是提示：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且设该圆的切线方程为，由得，则，要
21、使，必须，即，所以，又，所以，即或，由假设，知圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，因此， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且进一步地，可得 ，分及讨论便易知，注：我们可把这个椭圆推广到任意椭圆，即得到如下性质：考点2 双曲线典型考法1 双曲线的最值问题典型例题已知点动点满足条件记动点的轨迹为(1)求的方程；(2)若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值解析 (1)由知动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，实半轴长，半焦距 c=2，故虚半轴长，从而W的方程为()(2)方法一：分两种情况进行讨论，
22、设的坐标分别为和当轴时，从而；当不与垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得，故，所以，又，综上所述，取得最小值2方法二：设的坐标分别为，则令，于是，且，所以， ，当且仅当，即时不等式取等号，所以的最小值是2 方法三：设的坐标分别为，则，因为，要求的最小值，必须， ，当且仅当时，取得最小值2 方法四：注意到，当且仅当时，取最小值2 必杀技： 利用求函数最值的方法+双曲线性质解决与双曲线有关的最值问题须注意：1最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值2最值问题的求解策略：(1)总方针：建立目标函数（或目标不等式）(2)具体方法：转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数
23、）的最值问题利用三角换元，转化为三角函数的最值问题结合双曲线的定义，利用图形的几何特征求最值利用基本不等式求最值还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用结合本例的求解，试问对于一般的等轴双曲线，是否有类似的结论，回答是肯定的，即结论一：若，是等轴双曲线的右支上的不同两点，是坐标原点，则的最小值为对于上述结论，我们可作进一步地推广，得到更一般的结论：结论二：实战演练1是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 图8-2-12已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为(1)求双曲线C的方程； (2)如图8-2-1
24、，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围.w.k.s.5. 3已知双曲线：，抛物线的顶点在原点，又的焦点是的左焦点(1)求证：与总有两个不同的交点；(2)是否存在过的焦点的的弦，使的面积有最大值或最小值？若有，求出所在直线方程与最值；若没有，请说明理由参考答案：19 . 提示：方法一： P是双曲线的右支上一点，(5，0)、(5，0)是两个焦点，则=6，又分别是圆和上的点，=9方法二：设双曲线的两个焦点分别是F1（5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，
25、此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019 2(1) . (2) . 提示：方法一：方法二：3(1)证略(2) 的面积有最小值，所在直线的方程为；最大值不存在提示：典型考法2 与双曲线有关的定点与定值问题典型例题已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点(1)若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；(2)在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解析 (1)方法一：由条件知，设，设，则，由得，即，于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程
26、所以点的轨迹方程是方法二：同方法一得当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以由得，当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是(2)方法一：假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数方法二：假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由(1)的方法二知，以下同方法一必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则本节的注意事项参见典型考法2，这里不再赘述本
27、例实质上反映了圆锥曲线焦点弦的一个性质，将双曲线推广到一般双曲线，便有下面的结论：结论1： 若将双曲线换为椭圆或抛物线，则有类似结论：结论2：结论3：读者自行完成可以上结论，在此不再赘述在平时的解题中，我们在掌握问题的基本求解方法后，还有必要对问题进行联想、类比和推广，搞清问题的内涵和外延，挖掘出问题的本质特征，触类旁通，这样才能充分发挥问题的知识功能，不断提高自己分析问题和解答问题的能力实战演练1已知点(1)求轨迹E的方程；(2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于两点过作轴的垂线记，试确定的取值范围；在轴上是否存在定点M，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请
28、说明理由2已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于 wwwks (1)求线段的中点的轨迹的方程；(2)设轨迹与轴交于两点，在上任取一点，直线分别交轴于两点求证：以为直径的圆过两定点3A、B为双曲线上的两个动点，满足(1)求的值；(2)动点P在线段AB上，满足，试问点P能否在定圆上参考答案：1(1) . (2) . 提示：由直线的方程与双曲线方程联立并利用韦达定理可得（），故 存在定点满足条件 提示：设存在点满足条件，同可得，得对任意恒成立，所以，解得 2(1) .(2) 提示：不妨设，则易得，于是，以为直径的圆的方程为：，令得：，而在上，
29、则，所以，即以为直径的圆过两定点3(1) . (2) P在以O为圆心、为半径的定圆上提示：由三角形面积公式，得，即即，利用(1)即得 典型考法3 双曲线与直线 图8-2-2典型例题已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的实轴与焦距之比为(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)如图8-2-2，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值 解析 (1)设C的标准方程是，则由题意得，因此，所以C的标准方程为，C的渐近线方程为 (2)方法一：如图8-2-5，由题意，点在直线：和：上，因此有，故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为，设G、H
30、分别是直线MN与渐近线及的交点，由方程组及，解得，故，因为点E在双曲线上，所以，有，从而方法二：设，由方程组得，解得，故直线MN的方程为，注意到，因此，直线MN的方程为下同方法一必杀技： 综合运用基础知识与基本方法本题主要考查双曲线的标准方程、渐近线方程等基础知识；并以对这些基础知识的考查为依托，考查了对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与创新意识 如果进一步探究，易得，本题中的直线、与椭圆相切，而直线是双曲线的切线，于是，我们提出如下问题：答案：，直线是双曲线的切线，且还可求得的面积为证明过程留给读者自行完成，这里不再赘述实战演练1设直线：（其中为整数）与椭圆交于不同
31、的两点、，与双曲线交于不同的两点、，问是否存在直线，使得成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 2已知双曲线右支上任意一点作抛物线的两切线，两切点，所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，试问：(1)是否存在正实数，使得为定值？(2)是否存在正实数，使得为定值？3已知双曲线：(1)已知点的坐标为设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点，记求的取值范围；(2)已知点、的坐标分别为、，为双曲线上在第一象限内的点记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长试将表示为直线的斜率的函数参考答案：1存在直线，其中，共9条提示：方法一：将直线的方程分别与椭圆、双曲线的方程联立方程组，并
32、利用韦达定理及可得分别讨论及的对应情形，即可得所求结果方法二：设，利用点差法可得，再由可得，因此，便有，所以或若，则点与关于原点对称，此时直线过原点，有因此，有及以下同方法一注：我们可将本题推广为：结论1：结论2：以上结论的证明，读者可自行完成 2(1)不存在。提示： (2)不存在，同(1)的方法3(1) 。(2) 提示：若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线的斜率，由计算可得，当时，；当时， s表示为直线的斜率k的函数是典型考法4 双曲线与圆典型例题已知双曲线：的实轴长与焦距的比为(1)求双曲线的方程；(2)设直线是圆：上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值 解析 (1)由
33、题意，得，解得，所求双曲线的方程为(2)方法一：点在圆上，则圆在点处的切线方程为，由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且 的大小为wks5ucom 方法二：点在圆上，圆在点处的切线方程为由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为（且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）必杀技： 综合运用基础知识与基本方法 本例主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程、向量等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力将本题作进一步的探究，可得如下结论： 实战演练1从双曲线 的左焦点 引圆的切线
34、，切点为，延长交双曲线右支于点若为线段的中点为坐标原点，则 2已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过，的直线为，原点到直线的距离是(1)求双曲线的方程； (2)已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由3若动圆恒过定点，且和定圆：外切(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若过点的直线与曲线交于、两点，试判断以为直径的圆与直线：是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由参考答案：1 . 提示：如图8-2-3，注：本题可进一步推广，具体为：结论一：结论二：2(1) . (2) .
35、提示：把代入中消去y，整理得 设，则，因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以，可得，把，代入，解得：，由，得，满足 3 (1). (2) 相交，且截得劣弧所对圆心角的弧度数为提示：注：本题也可利用方程从代数角度换算来判断，即设的方程，利用弦长公式和点到直线距离公式得圆心距和半径，直接比较可得，读者可自行完成，不再赘述考点3 抛物线典型考法1 抛物线的最值问题典型例题在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求点P的轨迹C；(2)设过点F的直线I与轨迹
36、C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值. 解析(1)设点P的坐标为（x，y），则3. 由题设 当x2时，由得，化简得 ；当时，由得，化简得， 图8-3-1故点P的轨迹C是椭圆：在直线x=2的右侧部分与抛物线：在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线（）如图8-3-1所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=当点P在上时，由知 当点P在上时，由知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由知MF=6
37、 - ，NF=6 - ，从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)，由 得 则，是这个方程的两根，所以+=MN=12 - （+）=12 - ，因为当或时，当且仅当时，等号成立(ii)当，时，直线L与轨迹C的两个交点，分别在，上，不妨设点在上，点上，则知，设直线AF与椭圆的另一交点为E，则，所以而点A，E都在上，且，有（1）知，所以，若直线的斜率不存在，则=3，此时，综上所述，线段MN长度的最大值为必杀技： 利用求函数最值的方法+抛物线的性质本节可参看第八章考点1的相关内容，不再赘述值得注意的是本例中的点是题中的椭圆与抛物线的公共焦点，可将本例推广：实战演练 图
38、8-3-21已知圆的圆心在抛物线（）上运动，且圆过点，若为圆在轴上截得的弦，设，则的取值范围是 2如图8-3-2，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，则面积的最小值为 图8-3-33如图8-3-3，已知点，动点在轴上，点在轴上，其横坐标不小于零，点在直线上，且满足，. (1)当点在轴上移动时，求点的轨迹；(2)过定点作互相垂直的直线与，与(1)中的轨迹交于、两点，与（1）中的轨迹交于、两点，求四边形面积的最小值；(3)将(1)中的曲线推广为椭圆：，并将(2)中的定点取为原点，求与(2)相类似的问题的解 图8-3-4参考答案：1 (1) . 提示：如图8-3-4，在中利用面积公式及余弦定理可得
39、 图8-3-52. 提示： 方法一： 如图8-3-5， 方法二：同方法一，注：利用本例的方法一，可得出一个一般性的结论：3(1) 点的轨迹的方程为，它表示以原点为顶点，以为焦点的抛物线；(2). 提示：将直线的方程与的方程联立并利用韦达定理可得，同理，则，当且仅当时等号成立，因此四边形面积的最小值为 (3) . 提示：同(2)可得，则，其中，若令，则由，其中，即，故当且仅当，即时，有最大值，由，得有最小值；又当时，故当且仅当时，四边形面积有最小值为考点3 抛物线 典型考法2 与抛物线有关的定点、定值问题典型例题已知动圆过定点，且与直线相切，其中.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；图8-3-6(2)
40、设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当、变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解析(1)如图8-3-6，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，轨迹方程为(2)设，由题意得（否则）且，直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得，由韦达定理知， ()当时，即时，由知：，因此直线的方程可表示为，即，直线恒过定点()当时，由，得=，将式代入上式整理化简可得：，则，此时，直线的方程可表示为即，直线恒过定点. 综上，由() 、()知，当时，直线恒过定点，当
41、时直线恒过定点.必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则具体可参见本章考点1的典型考法2本例的(2)可推广为：结论一：结论二：由此，可得下面的推论：实战演练1过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点(1)用表示，之间的距离；(2)证明：的大小是与无关的定值，并求出这个值 图8-3-72如图8-3-7，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；(2)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值 图8-3-83已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹是过点的直线，是上（不在上）的动点；，在上，轴（如图8-3-8）(1)求曲线的方程；(
