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1、减轻解析几何运算量的若干方法 摘要：解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科。在直角坐标系中，用方程观点研究曲线，如果方法选择不当，往往会导致计算量过大或讨论繁杂，使学生望而生畏。设而不求，整体代换；利用图形的几何性质；合理引进参数；巧用定义等等都是减少计算量的有效方法。文章要求重点突出，论证严谨，举例充分.关键词：解析几何 解析几何运算量 减轻解析几何运算量1.引言中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，以至于被迫中止解题的过程达到望题兴叹的地步。特别是高考过程
2、中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是考察的一个重要的方面。解析几何，有目共睹，每年的大题基本上都是压轴题的形式出现，计算能力的考查倾向尤为突出。为此，我将从以下几个方面探索减轻运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程。 2.解析几何及其特点解析几何是高中数学的经典内容，包括了直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程。解析几何主要有如下几个特点：一、明确解析几何的基本思想方法：解析法；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解提的程序性和普适性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。二、抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不变量，建立轨迹的方程。三、介绍直
3、线、圆以及三种圆锥曲线时，进一步改进教材的呈现方式。注意引入的过程，并对过程进行分析。在过程的分析中引导学生自主探索，从分析每种曲线的典型几何特性入手，选择适当的平面直角坐标系，建立每种曲线的方程。四、在三种圆锥曲线的简单几何性质的研究中，从直观入手，用代数方法研究他们的几何性质，注意代数方法与几何直观相结合。五、加强不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，感受数学的整体性。六、实例丰富，注重实际背景和应用。七、重视信息技术工具的作用。八、计算量大，计算步骤繁杂。3.减轻解析几何运算量的方法本文主要从介绍几种减轻解析几何运算量的方法3.1 利用图形的几何性质 解析几何中，曲线或图形都
4、具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例1、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。图3解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于点，切点在，故=，从而=，、共线。由切割线定理，（9）。又在中，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出 例2、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角，、在圆上。求的中点M的轨迹方程。图4 解：如图所示，设，连结在中，是的中点，。在中，。 点的轨迹方程为。说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂
5、的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。 3.2 利用三角形边的关系 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例2、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（数学通报80年第6期）分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即证
6、：，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可图5证明：如图设双曲线方程为（），则它的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）、。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，即。由于， 。当直线垂直于轴时结论显然成立。说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出AD中点的坐标；而B、C两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求出B、C中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。3.3 设而不求，整体代
7、换在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例3、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且，得（3）代入（4）得，（1）+（2）得。（2）设P、Q的中点M的坐标为M，则有，（1）+（2）+（3）得，。即：，中点M的轨迹方程为3.4 巧用圆锥曲线定义定义是导出其解析性质的“发源地” 圆锥曲线的定义，反映了圆锥曲线的本质属性，若能熟练地应用解题，常
8、能收到事半功倍的效果。通过以下的比较,可见一斑. 例4如图，定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，AB的中点为M，求M点到y轴的最短的距离，并求出此时点M的坐标。 解题方法分析：由已知得到什么结论？从这个结论出发，利用目标函数求解最值。 解法一：设 ， （1） （2） 即 M到y轴的距离=当且仅当时取等号。 （2）-（1）解得 解法分析二：利用抛物线的定义把M到y轴的距离进行转化。用平面几何的知识进行求解。 解设 ，M到y轴的距离= ，当且仅当AB过焦点F时取等号。设M由 （1） （2）（2）-（1）解得3.5 巧妙构造，避免讨论一些问题，若能巧妙构造，往往可迅速沟通题设与结论之间的关系
9、，从而使问题得解，起到了铺路搭桥的作用。例5 求直线L的方程，使点A（1，1）、B（5，3）到L的距离都是1解：如图所示，分别以A、B为圆心，作半径为1的辅助圆，于是原问题转化为两圆的内、外公切线方程：可设外公切线方程为：即yxBA0A（1，1）到切线的距离为1解之，得AB的中点为（3，2）可设内公切线方程为：即：A（1，1）到内公切线的距离为1解得：或故所求直线方程为或或3.6 变换命题，巧妙化归解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，最根本的做法就是设法把空间几何结构有系统的代数化、数量化，即先把几何问题转化为代数问题，用代数的知识解决后，再到几何中去. 因此，化归思想是解析几何的基本
10、思想，在解析几何学习中，划归思想的体现处处可见.例6 以知, 是三个两两不共线的向量，且有证得三点共线的充分必要条件是：分析：要证明三点共线，最直接的工具是向量共线定理，而这里面和是已知三个向量的分解式中的系数，所以这里要找出向量共线定理与和的联系.证明：必要性，因为三点共线，所以有与共线，即 = 又是不同的三点，所以,于是， 从而有 ， 而 根据向量共线定理可得： += 三点共线时有.充分性:假设成立，那么.由得 即 又与共点三点共线.例 7 证明:已知分别是三角形三边上的定必分点,如果他们把 三角形的边分成定比, , . 那么三点共线的充要条件是: .分析:要证明三点共线的充要条件与 这三
11、个比值有关联想到和已知解过的例2结论相似,问题可不可以化归为用例1的结论呢? 也即找出关于点的向量,的线性分解式. 事实上, ,.由已知.而即: =,同理 .所以+3.7 合理引进参数，简化运算 解析几何的某些问题，引进参数，使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法。使得问题得到顺利解决。常见的参数可以选择点的坐标，直线的斜率，直线的倾斜角等等。例8 如图，给出定点A(a,0)(a0)和直线l:x=-1,B是直线l:上的动点，的平分线交AB于点C，求点C的轨迹的方程，并讨论方程 表示的曲线的类型与a的关系。 解：（方法一）设B(-1,m) (m) C(x,y) 则有0xaOA:y=0 OB
12、:y=-mx即mx+y=0当时，因为C在的平分线上，所以 （1）AB: 因为 （2）（2）代入（1）中消去参数m，整理得： 因为 C的轨迹方程为： 当m=0时，C的轨迹为原点（0，0）也适合上式 综上所述：所求的轨迹方程为：当0a1时，轨迹方程为：（0xa）方程表示椭圆的一个弧段；当a=1时，轨迹方程为：（0x1时，轨迹方程为：（0xa）方程表示双曲线的一个弧段。 （方法二）设B(-1,m) (m) C(x,y) 则有0x0时，OA到OC的角与OC到OB的角相等 所以 （1） 当m0时，OC到OA的角与OA到OB的角相等所以 （2） (1)和(2）都可以化简： （3）AB: 因为 （4）（4）
13、代入（3）中消去参数m，整理得： 当m=0时，C的轨迹为原点（0，0）也适合上式综上所述：所求的轨迹方程为：以下同方法一 （方法三）设B(-1,m) (m) C(x,y) 则有0xa |OA|=a, |OB|= 由三角形角平分线定理：C分所成的比为 由定比分点坐标公式得C的参数的方程： （m为参数）消去参数m，整理得： 以下同方法一 （方法四）设 则点B（-1，） 设 C(x,y) |OC|=r 由 有 两边同乘以r ,则有以下同方法一 说明：本题从解析几何中角平分线知识所涉及的“量”的一些等量关系：距离；角；定比分点；面积的不同的角度出发，多渠道解决了问题。可以看到，仔细分析、推敲、概括和总
14、结是解决问题的关键。要想使这些关系真正体现出来，引进参数必不可少。4 结束语在解析几何的学习中，因为计算量大，运算复杂，使得很多学生大伤脑筋，甚至望而却步。每年高考中因此而失分的也不少，在解题中，尽量减少计算量则成为迅速、准确解题的关键。在教师的教学过程中，教师应注意各种解题方法的运用，让学生学会利用数学思想思考与解决数学问题。5 参考文献1 赵小云. 解析几何问题的方法和技巧J. 数学通讯, 2001, (24) . 2 李昭平. 高考对解析几何问题考查的几大热点J.中学数学杂志, 2005, (01) .3 许怡阳. 谈图形在解析几何解题中的重要性J. 广东教育学院学报 1999，（12）
15、4 李新成. 一类解析几何问题的简便解法J. 延安教育学院学报 2001，（03） 5 周先凤. 高中解析几何问题解决的思维策略训练的实验研究J.西南师范大学 2001，（04）6 杨洪香. 逆用方程根的定义巧解解析几何问题J. 数学通讯, 2006, (20)7 江金莲. 利用圆的性质巧解解析几何问题J. 中学数学, 2007, (07)Concerning teaching function image Analytic geometry is algebraic method to study geometric problem a mathematical discipline. In
16、 a Cartesian coordinate system, using the equation of curve point, if the method choice is undeserved, often leads to too much computation or discuss complex, make students instead of. Set and do not beg, overall substitution; using geometric properties; the introduction of reasonable parameter; using the definition and so on are reducing the amount of computation method. The article focused on the rigorous requirements, argumentation, for example the full.Keywords: Analytic geometry Analytic geometry calculation Reduce the amount of calculation in analytic geometry
