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1、利用均值不等式求最值的几种技巧摘 要：在现行中学数学中，利用均值不等式求函数的最值问题，是一类常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常用到某些特定的技巧，因而形成难点。本文拟就此介绍几种常用的技巧。关键词：中学数学；不等式；最值；Abstract: In current mathematics of middle school, the ones that utilized the mean value inequality to ask function nere most worth the q
2、uestion. It is a kind of commonsense method that is worth paying attention to. But students can not often choose the equal sign while utilizing the mean value inequality to be asked and most worthed, so that solve a problem and is obstructed. So need to carry on proper deformation to function in the
3、 course of solving a problem. Because nill often use some specific skills in the course of deforming, will from the diffcult point, Severod kinds of commonly used sleills of this introduction in this text.Key Words: mathematics of middle school; inequality; maximllm;一 引 言在中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得
4、重视的常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以至解题受阴。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形，因而在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点，本文就此介绍几种常用的技巧。均值不等式及使用条件：均值不等式，若，则（1）是正数；（2）和（）或（）为定值；（3）当且仅当时，取等号。在运用均值不等式解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件。但有的题目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转化、变形，才能求得正确的最值。二 均值不等式的转化技巧1添项例1：当1时，求的最小值。解：给原式添加常数项得到 当且仅当时，2裂项例2：设最小值解 当且仅当，即x=1时，上
5、式取等号。3拆项例3 求函数解 将分为项，分为m项，则 = 要满足均值不等式条件（2）应将各项的变量x约掉，即当且仅当时，4拆幂例4 如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积了大值是多少？解 设圆柱底面半径为r, 高为h，则2h+4r=l,V=，所以5平方例5 设，则的最大值是多少？解 设， ，故6化正例6 求函数最大值解 函数中含自变量的项是负数，需要转化为正数。当且仅当即时等号成立当时，7倒数例7 设复数，求函数的最大值及对应的值。解：由，得tg0,且0argz，则，则，即有时，上式取等号。由均值不等式取等号条件及正切函数的单调性可知，当时，时，上式取等号。由均值不等式等号条件及正切函数
6、的单调性可知当时，8、分子常数化例8 设，求最大值。解 由已知，对任何，有 ，又因故对任何，有 ，又因故对任何，有.由于，故f(n)的最大值为.9参数法例9 求函数的最小值.解 引进参数，则 = 方程 有解时，不等式取等号，消去得.即 方程有唯一实数解，即，此时 .函数的最小值为 .10连续使用均值不等式例10 在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角，求它的外接圆半径和内切圆半径R:r的最小值。解 设指教顶点处三条棱长分别为x、y、z那么由立体几何知识易知，所以 当且仅当x=y=z时取等号，所以R:r的最小值为三 小 结利用均值不等式求最值是高中数学中常用的方法之一，也是历年高考、竞赛的热点内容
7、。而使用的关键是凑“定和”或者“定积”，此时往往需要一定的技巧，本文通过对以上几个重点例题的讲解，旨在通过这些例题告诉大家凑“定和”、“定积”的技巧。参考文献1曾安雄.运用均值不等式求最值的十种技巧.理解考试研究数学版，2001：4-52沈亚妹.利用均值不等式求最值的几种技巧.中学教研（数学），2001，（11）：17193梁薇.均值不等式求最值的转化技巧.柳州师专学报，2000年3月，（1）：1051094曹文军.用均值不等式的函数最值的技巧.数学大世界（高中版），2001，（1）：46475李世臣.用均值不等式求最值的参数法.数学教学通讯，2001，（4）：40436龙克宁.利用均值不等式求函数最值不容忽视的几个条件.黔东南民族师范高等专科学校学报，2001，（3）：7475
