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1、微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数例1：证明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数例2：若,是使得的实数证明方程在（0，1）内至少有一实根证：由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则1）在0，1上连续2）在（0，1）
2、内可导3）=0， 故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 这说明方程在（0，1）内至少有实根 2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数 例3：设在1，2上连续，在（1，2）内可导，证明存在使分析：结论变形为，不易凑成我们将换为，结论变形为，积分得：，即，从而可设辅助函数为，有本题获证例4：设函数，在上连续，在内可微，证明存在，使得：证：将变形为，将换为，则，两边关于积分，得： ，所以，其中，由可得由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证3 几何直观法此法是通过
3、几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数例5：证明拉格朗日中值定理分析：通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数例6：若在上连续且试证在内至少有一点，使分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足0,因而符合介值定理的条件当为的一个零点时，恰等价于因此即知证明的关键是构造辅助函数4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1） 将结
4、论变形，使常数部分分离出来并令为2） 恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为4）端点换变量的表达式即为辅助函数例7：设在上连续，在内可导，试证存在一点，使等式成立分析：将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数例8：设在上存在，在，试证明存在，使得分析：令，于是有，上式为关于，三点的轮换对称式，令（or：，or：），则得辅助函数5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论例9：设函数在0，1上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得分析：
5、所要证的结论可变形为：，即，因此可构造函数，则对与在0，1上应用柯西中值定理即可得到证明例10：设函数在0,1上连续，在（0，1）内可导，且=0，对任意有证明存在一点使（为自然数）成立分析：欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证：即，于是引入辅助函数（为自然数）例11：设函数在区间0，+上可导，且有个不同零点：试证在0，+内至少有个不同零点（其中，为任意实数）证明：欲证在0，+）内至少有个不同零点，只需证方程=0在0，+内至少有个不同实根因为，故只需证方程在内至少有个不同实根引入辅助函数，易验证在区间，上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在0，+内
6、至少有个不同实根，从而证明了方程=0在0，+内至少有个不同实根6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为，再将等式中一个端点的值换成变量，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数，这样首先可以保证=0，而由等式关系=0自然满足，从而保证满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数与之间的关系例12：设是上的正值可微函数，试证存在，使证明：设，令容易验证在 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在使，解得，故例13：设函数在上连续，在内可导，则在内至少存在一点使证明：将所证等式看作，设，令，则满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点，使，即，若=0，则，结论成立；若，则，从而有例14：设，则存在使分析：对于此题设作函数应用罗尔定理可得存在，使，即，从而，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数证明：将所证等式变形为，设，令，则满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在，使，即，于是，故总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数抓住这两点，即可顺利完成证明
