《含参数导数问题的三个基本讨论点.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《含参数导数问题的三个基本讨论点.doc（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、含参数导数问题的三个基本讨论点导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。例1（2008年高考广东卷（理科） 设，函数，试讨论函数的单调性。解：。考
2、虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；（2） 当时，。由，得，因为，所以。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；（2） 当时，。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。综上所述：（1） 当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。（2） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数。（3） 当
3、时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2 (2008高考浙江卷理科)已知是实数，函数（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。解：（）函数的定义域为，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2） 当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（）（）由第（）问的结论可知：（1） 当时，在上单调递增，从而在上单调递增
4、，所以。（2） 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以： 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。 当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。若，无解；若，由解得； 若，由解得。综上所述，的取值范围为。三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3（2007年高考天津理科卷）已知函数，其中。（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值。解：（）当时，曲线在点处的切线方程为。（）由于，所以。由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种
5、情况进行讨论。（1） 当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。（2） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 例4（07高考山东理科卷改编）设函数，其中，求函数的极值点。解：由题意可得的定义域为，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要
6、对参数的取值进行讨论。（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：（）当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：0递减极小值递增由此表可知：当时，有唯一极小值点。（）当时，所以。此时，与随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。综上所述：（1） 当时，有唯一极小值点；（2） 当时，有一个极大值点和一个极小值点；（3） 当时，无极值点。从以上诸例不难看出，在对含参数的导数
7、问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解，最后作为练笔，请试解下题：练习题（2007年高考海南理科卷）设函数（）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于。（答案：（），分别在区间上单调递增，在区间上单调递减；（）存在极值时，的取值范围。的极值之和为）（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), ()小问5分，()小问7分.)已知函数(其中常数a,bR),是奇函数.()求的表达式;()讨论的单调性，并求在区间1,2上的最大值和最小值.（2
8、010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.解：（） 当所以 因此，即 曲线又 所以曲线 （）因为 ，所以 ，令 （1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（，）上单调递减；函数在（，）上单调递增；当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减，（2010山东理数）(2
9、2)(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解：（）因为，所以 ，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增.综上所述：0（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因
10、为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数.（）讨论函数的单调性； （）设，证明：对任意，.解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4.于是0.从而g(x
11、)在（0，+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. 12分（2010北京理数）(18
12、)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。
