圆锥曲线之椭圆题库含详解高考必备费下载.doc

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1、椭圆题库 1 、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1） 当时，求的面积；（2） 当时，求的大小；（3） 求的最大值.解：（1）（2）因，则（1） 设 ，当时，2 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）求点T的轨迹C的方程； （2）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.（1）解 ：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点

2、.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是 （2）解：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M. 当时，由，得3 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （）求双曲线C2的方程；（）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等

3、式得 由、得故k的取值范围为4已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1BF2B10椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2aF1BF2B10，得a5.又c4， 所以b3故椭圆方程为1（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得F2ByB方法一：因为椭圆右准线方程为x，离心率为根据椭圆定义，有F2A（x1），F2C（x2）由F2A、F2B、F2

4、C成等差数列，得（x1）（x2）2 由此得出x1x28设弦AC的中点为P（x0，y0）， 则x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9x1225y12925，9x2225y22925由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25（）（）0（x1x2）.将x0=4，y0，（k0）代入上式，得9425y0（）0（k0）由上式得ky0（当k0时也成立）.由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y04km，所以my04ky0y0y0由P（4，y0）在线段BB（B与B关于x轴对称）的内部，得y0.所以m5 设x、yR，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单

5、位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.（1）解：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，点M（x，y）到两个定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和为8.轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.（2）l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.=+=0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.直线

6、l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此时，=（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即=0.=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=.存在直线l：y=x+3，使得四边形OAPB是矩形.6 设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，

7、求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解：（）：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或7 如图，直线ykxb与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S (I)求在k0，0b1的条件下，S的最大值； （)当AB2，S1时，求直线AB的方程 (I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得所以当且仅当时，S取到最大值1（）解：由得AB 又因为O到AB的距离所以代入并整理，得解得，代入式

8、检验，0 故直线AB的方程是 或或或8 已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e 直线,l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设（）证明：1e2；（）若，MF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（理科无此问）（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形（）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是所以点M的坐标是（） 由即 （）当时，所以 由MF1F2的周长为6，得 所以 椭圆方程为（）因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F

9、1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形9 如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点 转动,并且交椭圆于、两点, 为线段的中点(1) 求点的轨迹的方程;(2) 若在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大?解：如图 (1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，则 当不垂直轴时， 由得 当 垂直于轴时，点即为点，满足方程（*） 故所求点的轨迹的方程为： (2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为, 时,上式达到最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远 此时 设椭圆 上的点、, 的面积

10、设直线的方程为,代入中,得由韦达定理得令,得,当取等号因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时, 三角形的面积最大9 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程椭圆方程为+y2=1或x2+=110设A、B分别为椭圆（）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）求椭圆的方程；（）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。解()依题意得 解得 从而故椭圆方程为（）解法1：由（）得设M点在椭圆上， 又M点异于顶点A、B，由P、A、M

11、三点共线可得 从而 将式代入式化简得于是为锐角，从而为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。10 设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（）易知 设P（x，y），则 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点

12、C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 11 已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足. （I）求点G的轨迹C的方程； （II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、

13、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是 （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|=|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在. 设l的方程为 把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.12 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=1，=2，求证1+2为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐

14、标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 13 、已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.（）求椭圆W的方程；（）求证： ()；（）求面积的最大值. 解：（）设椭圆W的方程为，由题意可知解得，所以椭圆W的方程为 （）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为得.由直线与椭圆W交于、两点，可知，解得设点，的坐标分别为，,则，因为，所以，.又因为，所以 解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的

15、方程为，点，的坐标分别为，,则点的坐标为，由椭圆的第二定义可得,所以，三点共线，即 ()由题意知 ，当且仅当时“=”成立，所以面积的最大值为14 已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C. （I）求曲线C的方程； （II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.解：（I）圆A的圆心为，设动圆M的圆心由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1r2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由故曲线C的方程为 （II）当，消去 由点为曲线C上一点，于是方程可以化简为 解得，综上，

16、直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.15 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W.()求W的方程；()经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（）已知点M（，0），N（0, 1），在()的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：() 设C（x, y）, , , , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. . . W: . () 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整

17、理，得. 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. 满足条件的k的取值范围为 （）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则（x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因为， 所以. 所以与共线等价于. 将代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线.16、 已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 设 则 由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. 所以直线的方程为 ，或 . （）解：假设

18、在轴上存在点，使为常数. 当直线与轴不垂直时，由（）知 所以 将代入，整理得 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 综上，在轴上存在定点，使为常数.17、已知椭圆的离心率为，且其焦点F（c，0）(c0)到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。(1)求椭圆的标准方程；(2)设M为右顶点，则直线AM、BM与准线l分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合），求证：解：（1）由题意有 解得 椭圆的标准方程为 （2）若直线AB与轴垂直，则直线AB的方程是该椭圆的准线方程为,， ， 当直线AB与轴垂直时，命题成立。若直线AB与轴不垂直

19、，则设直线AB的斜率为，直线AB的方程为又设联立 消y得 又A、M、P三点共线， 同理， 综上所述：18设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且APQFOxy （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分设，得4分因为点P在椭圆上，所以6分整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故椭圆的离心率e8分由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求

20、椭圆方程为19 已知椭圆过点，且离心率e.（）求椭圆方程；（）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。由题意椭圆的离心率 椭圆方程为 又点在椭圆上 椭圆的方程为4分（）设 由消去并整理得6分直线与椭圆有两个交点，即8分又 中点的坐标为9分设的垂直平分线方程：在上 即11分将上式代入得 即或 的取值范围为20 已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（R）使等式：cossin成立。解：(1）设椭圆的焦距为2c,因

21、为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： 易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为： 由，有： 设，弦AB的中点，由及韦达定理有： 所以，即为所求。 (2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。 又点在椭圆C上，所以有整理为。 由有：。所以 又AB在椭圆上，故有 将，代入可得：。 对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（R）使等式：cossi

22、n成立。21已知方向向量为的直线过椭圆C：1(ab0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。求椭圆C的方程。过点E(-2，0）的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。解：直线，过原点垂直于的直线方程为解得，椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， 直线过椭圆焦点，该焦点坐标为(2，0)，故椭圆C的方程为 当直线的斜率存在时，设 ，代入并整理得，设，则 ， 点到直线的距离. ，即， 又由 得 ， 而，即， 解得，此时 当直线的斜率不存在时，也有，经检验，上述直线均满足，故直线的方程为 22 设直线与椭圆相交于A、B两个不同

23、的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. （1）证明：； （2）若的面积取得最大值时的椭圆方程（1）证明：由 得将代入消去得 由直线l与椭圆相交于两个不同的点得整理得，即 （2）解：设由，得而点, 得代入上式，得 于是，OAB的面积 其中，上式取等号的条件是即 由可得将及这两组值分别代入，均可解出OAB的面积取得最大值的椭圆方程是23 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解

24、：（1）设椭圆方程为则椭圆方程为（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM= 由 直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 则由 而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 24 已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（4，0）. （1）求证：当时.，； （2）若当时有，求椭圆C的方程； （3）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6时, 求出直线MN的方程.解：（1）设，则，当时，由M，N两点在椭圆上，若，则（舍去）， 。 （2）当时，不妨设 又

25、， 椭圆C的方程为。 （3）因为=6, 由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= 当MNx轴时, |yM-yN|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, 不妨设直线MN的方程为联立，得，=, 解得k=1。此时，直线的MN方程为，或。 25 在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为（）求动点的轨迹的方程；（）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围解：（）依题意，有（），化简得（），这就是动点的轨迹的方程；（）依题意，可设、，则有，两式相减，得，由此得点的轨迹方程为（）设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是25

26、 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设C：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc，故C的方程为：y21 （2）由得（），（1），14，3 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m

27、2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 26 设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设过的直线与C交于两个不同点M、N，求的取值范围解：（1）设， 过定点，以方向向量的直线方程为：过定点，以方向向量的直线方程为：联立消去得：求点P的轨迹C的方程为 （2）当过的直线与轴垂直时，与曲线无交点，不合题意，设直线的方程为：，与曲线交于由 ，的取值范围是27 已知曲线的方程为： （1）若曲线是椭圆，求的取值范围； （2）若曲线

28、是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.解：（1）当 它表示椭圆的充要条件是 （2）方程表示双曲线的充要条件是： 当其一条渐近线斜率为：此时双曲线的方程为： 当，双曲线焦点在y轴上：其一条渐近线斜率为：综上可得双曲线方程为：28 如图所示，已知圆，定点A（3,0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。 （1）求曲线E的方程； （2）求过点Q（2,1）的弦的中点的轨迹方程。解：（1） 为的中垂线， 2分又因为，所以所以动点的轨迹是以点和为焦点的椭圆，且 所以曲线的方程为：； （2）设直线与椭圆交与两点，中点为由点差法可得：弦的斜率 由，Q（2,

29、1）两点可得弦的斜率为， 所以，化简可得中点的轨迹方程为： 29 已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围.解：（1）， 直线l：xy+2=0与圆x2+y2=b2相切，=b，b=，b2=2，a3=3.椭圆C1的方程是（2）MPMF，动点M到定直线l1：x1的距离等于它的定点F2（1，0）的距离，动点M的轨迹是以l1

30、为准线，F2为焦点的抛物线， 点M的轨迹C2的方程为。（3）Q（0，0），设， 由得 ， ，化简得，当且仅当时等号成立，又y2264，当. 故的取值范围是. 30、已知椭圆是椭圆上纵坐标不为零的两点，若其中F为椭圆的左焦点 （）求椭圆的方程； （）求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围解：（）由已知，得 （）A、B是椭圆上纵坐标不为零的点，A、F、B三点共线，且直线AB的斜率存在且不为0.又F（1，0），则可记AB方程为并整理得 显然0，设 直线AB的垂直平分线方程为令x=0，得 “=”号，所以所求的取值范围是 31 在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意

31、一点P向y轴作垂线段PP，P为垂足. （1）求线段PP中点M的轨迹C的方程； （2）过点Q(2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圆上的任意一点，则 则有：得， 轨迹C的方程为 （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点. 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为 由 由= 即

32、 即，四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则，即， 即， 于是有 得 设， 即点N在直线上. 存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为32 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由解 （）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得又由知，所以 （） 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上当且时，

33、由，得又，所以T为线段F2Q的中点在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是 （） C上存在点M（）使S=的充要条件是由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，由，得33 已知直线相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，且点M在直线上. （）求椭圆的离心率； （）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.解：（）由知M是AB的中点，设A、B两点的坐标分别为由，M点的坐标为又M点的直线l上： （）由（）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：上的对称点为，则有由已知，所求的椭圆的方程为34 已知圆M：（x+）2+y2=36及定点N（，0）

34、，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（1）求点G的轨迹C的方程.（2）过点K（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（1）为PN的中点，且GQ是PN的中垂线.又点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，的轨迹方程是 （2）四边形OASB为平行四边形，假设存在直线，使；则四边形OASB为矩形.若直线的斜率不存在，则的方程为.，这与=0矛盾，故的斜率存在. 设直线的方程为、. 又 存在直线满足条件. 35 已知直线l: y2x与椭圆C:y2 1 (a1)交于P、Q两

35、点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A. (1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0 (2)求椭圆C的方程.解: (1)设直线l: y2x与椭圆C: y2 1 (a1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点A(a,0), 将y2x代入x2a2y2a20中整理得(4a21)x24a2x2a20 M(x0,y0)为PQ中点 x0 故x0(2)依题意: 0, 则(x1a)(x2a)y1y20 又y12x1, y22x2故 (x1a)(x2a)(2x1)(2x2)0 由代入 得: 4a44a3a230(a)(4a2a)0 a1, 则4a2a0 故a故所椭圆方程为 y2136 已知椭

36、圆的左焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线交椭圆于A、B两点 （1）若直线的倾斜角，求； （2）求弦AB的中点M的轨迹； （3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围解：（1）直线方程为与联立得 （2）设弦AB的中点M的坐标为依题意有 所以弦AB的中点M的轨迹是以为中心，焦点在轴上，长轴长为1，短轴长为的椭圆。 （3）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点 则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为 37 设分别是椭圆的左，右焦点。（）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的

37、坐标。（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）易知。， 联立，解得，（）显然 可设联立 由 得 又， 又 综可知38已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.解：（1）设A、B两点的坐标分别为 得, 根据韦达定理，得 线段AB的中点坐标为（）. 由已知得 故椭圆的离心率为（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得。由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .39 椭圆C：的两个焦点分别为 ,是椭圆上一点，且满足。 （1）求离

38、心率e的取值范围（2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为5(i)求此时椭圆C的方程(ii)设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P（0，- ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。解：(1)、由几何性质知的取值范围为：e1 (2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为+ = 1 。设H( x , y )是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - byb若0b3 ，则当y = - b时，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -35(均舍去) 若b3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16所求椭圆方程为+ = 1 (ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得x0+2ky0=0；又直线PQ直线l，直线PQ的