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1、函数的图像【考纲说明】1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。 2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。【趣味链接】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！如图一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不到瓶中的水于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随着石子的增多而上升，乌鸦喝到了水但是还没解渴，瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，呱呱的飞走了【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（
2、甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。 2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到 y=f(x)y=f(x+h); y=f(x) y=f(x-h);y=f(x) y=f(x)+h; y=f(x) y=f(x)-h.2、对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；（4）函数
3、的图像可以将函数的图像关于直线对称得到y=f(x) y= -f(x); y=f(x) y=f(-x); y=f(x) y=f(2a-x); y=f(x) y=f-1(x); y=f(x) y= -f(-x).提示：a.若f(ax)f(bx)，xR恒成立，则yf(x)的图象关于x成轴对称图形，若f(ax)f(bx)，xR，则yf(x)的图象关于点(，0)成中心对称图形b.函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x(ba)对称.3、翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻
4、折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 4、伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到y=f(x)y=f(); y=f(x)y=f(x).【经典例题】【例1】函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ） . . . .【解析】函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时且，故。选A.【例2】说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像【解析】方法一：（1）将函数的图像向右平移3个单位，
5、得到函数的图像；（2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像方法二：（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像；（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像【例3】设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：【解析】（1）曲线的方程为；（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，代入曲线的方程，得的方程：即可知点在曲线上反过来，同样证明，在曲线上的点的
6、对称点在曲线上因此，曲线与关于点对称（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，方程组有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，即得，因为，所以【例4】（1）试作出函数的图像；（2）对每一个实数，三个数中最大者记为，试判断是否是的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？【解析】（1），为奇函数，从而可以作出时的图像，又时，时，的最小值为2，图像最低点为，又在上为减函数，在上是增函数，同时即以为渐近线，于是时，函数的图像应为下图，图象为图：（2）是的函数,作出的图像可知，的图像是图中实线部分定义域为；值域为；单调增区间为；
7、单调减区间为；当时，函数有最小值1；函数无最大值【例5】已知函数f(x)|x24x3|(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x的方程f(x)ax至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围【解析】作出图象如图所示(1)递增区间为1,2，3，)，递减区间为(，1，2,3(2)原方程变形为|x24x3|xa，于是，设yxa，在同一坐标系下再作出yxa的图象如图则当直线yxa过点(1,0)时a1；当直线yxa与抛物线yx24x3相切时，由 x23xa30.由94(3a)0.得a.由图象知当a1，时方程至少有三个不等实根【例6】 作图：(1)ya|x1|，(2)ylog，(3)y
8、|loga(x1)|(a1)【解析】 (1)的变换是：yaxya|x|ya|x1|，而不是：yaxyax1ya|x1|，这需要理解好yf(x)yf(|x|)的交换(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别【课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D.2、已知函数f(x)=(x-1)/a (a0,a1),在同一坐标系中，y=f-1(x)与y=a|x-1|的图象只可能是( ) 3、在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象只可能是（ ）4、已知函数y=a/x与y=ax2+bx, 则下列图象正确的是（ ） 5、函数y=的图象是（ ） 6、
9、函数y=(3x-1)/(x+2)的图象 （ ）A. 关于点(-2,3)对称 B. 关于点(2,-3)对称 C. 关于直线x= -2对称 D. 关于直线y= -3对称7、若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（ ）A. y= -f-1(x) B. y= -f-1(-x) C. y= -f(x) D. y= -f(-x)8、设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与y= -f(1-x)的图象关于（ ）对称A.直线x=0 B.直线x=1 C.点(0,0) D.点(1,0)9、在以下四个按对应
10、图象关系式画出的略图中，不正确的是（ ）Ay=|log2x| B. y=2|x| C. y=log0.5x2 D. y=|x-1/3| 10、已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x)的图象是（ ） 11、下列命题中：函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x对称；若f(x)= -f(-x),则f(x)的图象关于原点对称；若f(x)=f(-x)则f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)的图象与y= -f(x)的图象关于y轴对称，其中真命题是（ ）A、 B、 C、 D、全都是12、把函数y=cosx的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象
11、的解析式为 .13、画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3).14、若函数y=log2|ax-1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a的值为 .15、函数y=f(|x-m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线 对称.16、将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_.17、如下图所示，向高为的水瓶同时以等速注水，注满为止； A. B. C. D.（1）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 ；（2）若水量与水深的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 ；（3）若水深与注水时间的函数图象是
12、下图中的，则水瓶的形状是 ；（4）若注水时间与水深的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 a b c d18、已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则b的取值范围是 .19、说出作出函数y=log2(1-x) 的图象的过程.20、方程|x2+2x-3|=a(x-2)有四个实数根，求实数a的取值范围.【课后作业】1、函数yln的图象为()2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数ylog2x的图象重合的函数是()Ay2xBylogx Cy Dylog213、若函数f(x)在(4，)上为减函数，且对任意的xR，有f(4x)f(4x)，则()Af(2)f(3) Bf(2)f(5)
13、 Cf(3)f(5) Df(3)f(6)4、（2009安徽）设ab，函数y(xa)2(xb)的图象可能是()5、已知下图的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是()Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|)6、函数f(x)的图象是()7、已知函数f(x)的定义域为a，b，函数yf(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象大致是()8、若对任意xR，不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是()Aa1 B|a|1 C|a|1 Da19、f(x)定义域为R，对任意xR，满足f(x)f(4x)且当x 2，)时，f(x)为减函数
14、，则()Af(0)f(1)f(5) Bf(1)f(5)f(0) Cf(5)f(0)f(1) Df(5)f(1)f(0)10、若函数y()|1x|m的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是_11、若直线yxm和曲线y有两个不同的交点，则m的取值范围是_12、设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且FG.若对任意的xF，都有g(x)f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”已知函数f(x)()x(x0)，若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为_【参考答案】【课堂练习】1、 D 2、 C D 3、 A 4、 C 5、 C 6、 A
15、7、D 8、D 9、 C 10、 C 11、 C12y=cos(2x-1/2). 设P1(x1,y1)为原图象上的点,通过变换后得到新图象上一点P(x,y)，则x=(x1+1/2)/2, x1=2x-1/2, y1=y, 代入y1=cosx1得到 y=cos(2x-1/2).13 (1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到；(2)y=1-1/(x+3)由函数y=1/x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到，注意渐近线的变化。14 1/2 15. x=m/2 16. y=f(3x-2)。17. （1） C ；（2） A ；（3） D ；（4）B 18 (-,0) 19.先作y=log2x关于y轴对称的图象，再沿x轴向右平移一个单位得到。20 x2+(2+a)x-2a-3=0, 由=0以及-(2+a)/21可得a= -6+2, -6+2a0【课下作业】1、A 2、C 3、D 4、C 5、C 6、C 7、B 8、B 9、C10、1m011、1m12、g(x)2|x|
