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1、【备战2013高考数学专题讲座】第23讲：高频考点分析之不等式、线性规划探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。考查的特点是单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题；不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题居多；作为不等式与函数的综合应用，线性规划问题日显频繁。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下七方面探讨不等式、线性规划问题的求解：1
2、. 解高次、分式不等式和指数、对数不等式；2. 解绝对值不等式；3. 不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用；4. 不等式问题中“数形结合法”的应用；5. 不等式问题中“特殊值法”的应用；6. 基本不等式的应用；7. 线性规划问题。一、解高次、分式不等式和指数、对数不等式：典型例题：例1. （2012年重庆市理5分）不等式的解集为【 】 A. B. C. D. 【答案】A。【考点】分式不等式的解法。【分析】化分式不等式为整式不等式求解：。故选A。例2. （2012年重庆市文5分）不等式 的解集是为【 】（A） （B） （C）（-2，1）（D）【答案】C。【考点】其他不等式的解法。【分析】利
3、用等价变形直接转化分式不等式为二次不等式求解即可： 。故选C。例3. （2012年江西省文5分）不等式的解集是 。【答案】。【考点】其它不等式的解法。【解析】不等式可化为，解得。不等式的解集为。例4. （2012年湖南省文5分）不等式的解集为.【答案】。【考点】一元二次不等式的解法。【解析】由，得，从而的不等式x2-5x+60的解集为。例5. （2012年山东省文5分）函数的定义域为【 】 A B C D 【答案】B。【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，解得。 函数的定义域为。故选B。例6. （2012年重庆市文5分）设函数
4、集合 则为【 】（A） （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）【答案】D。【考点】复合函数的概念，解一元二次不等式和指数不等式，集合及其运算。【分析】利用已知求出集合中的范围，结合集合，求出的范围，然后求解即可：由得，或，即或。或，即。由得，即，即。故选D。例7. （2012年上海市理14分）已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）【答案】（1）由，得。 由得。 ，解得。 由得，。 （2）当时，。由单调性可得。，所求反函数是，。【考点】对数函数的概念、性质，反函数的求法。【解析】（1）由，结合对数函数的性质，列不等式
5、组求解即可。（2）根据对数函数与指数函数互为反函数的性质求解。二、解绝对值不等式：典型例题：例1. （2012年广东省理5分）不等式的解集为。【答案】。【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式。【解析】分类讨论：由不等式得，当时，不等式为，即恒成立；当时，不等式为，解得，；当时，不等式为，即不成立。综上所述，不等式的解集为。另解：用图象法求解：作出图象，由折点参考点连线；运用相似三角形性质可得。例2. （2012年上海市理4分）若集合，则= .【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，。例3. （2012年天津市理5分）已知集合，集合,且，
6、则 , .【答案】，。【考点】集合的交集的运算及其运算性质，绝对值不等式与一元二次不等式的解法【分析】由题意，可先化简集合，再由集合的形式及直接作出判断，即可得出两个参数的值：=,又，画数轴可知，。例4. （2012年天津市文5分）集合中最小整数为 【答案】。【考点】绝对值不等式的解法。【分析】不等式，即，集合。 集合中最小的整数为。例5. （2012年山东省理4分）若不等式的解集为，则实数= 。【答案】2。【考点】绝对值不等式的性质。【解析】由可得，即，而，所以。例6. （2012年江西省理5分）在实数范围内，不等式的解集为 。【答案】。【考点】绝对值不等式的解法，转化与划归、分类讨论的数学
7、思想的应用。【解析】原不等式可化为或或，由得；由得；由得。原不等式的解集为。例7. （2012年陕西省文5分）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 【答案】。【考点】绝对值不等式的性质及其运用。【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3，根据不等式的性质，得，解得，。例8. （2012年湖南省理5分）不等式的解集为 【答案】。【考点】解绝对值不等式。【解析】令，则由得的解集为。例9. （2012年全国课标卷文5分）已知函数()当时，求不等式的解集；()若的解集包含，求的取值范围。【答案】解：（1）当时，由得 或或。 解得 或。 ()原命题即在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立。 。【考点】绝对
8、值不等式的解法。【解析】()分段求解即可。 ()对于，把作未知求解。例10. （2012年辽宁省文10分）已知，不等式的解集为。 ()求a的值； ()若恒成立，求k的取值范围。【答案】解：（I）由得。 又不等式的解集为， 当时，不合题意； 当时，得。()由（I）得。记。 。【考点】分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，分类讨论思想的应用。【解析】（I）针对的取值情况进行讨论即可。 () 针对的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。例11.（2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：求证：【答案】证明：， 由题设。 【考点】绝对值不等式的基本知识。【解析】根据绝对值
9、不等式的性质求证。三、不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用：典型例题：例1. （2012年福建省文4分）已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】(0,8)。【考点】一元二次不等式的解法。【解析】关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则满足a242a0，解得0a0时，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定义域为，。 若，则，在上单调递增。 若，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增。 ()a=1，。 当x0时，它等价于。 令，则。 由()知，函数在上单调递增。 ，在上存在唯一的零点。 在上存在唯一的零点，设此零点为，则。 当时，；当时，。
10、在上的最小值为。 又，即，。 因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】()分和讨论的单调区间即可。 ()由于当x0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例9. （2012年天津市理14分）已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.【答案】解：（）函数的定义域为，求导函数可得. 令，得。当变化时，和的变化情况如下表：0极小值在处取得极小值。由题意，得。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，即。求导函数可得。令，得。当时， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上单调递减，从而对任意
11、的），总有，即对任意的，有成立。符合题意。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增，因此取(0， )时，即有不成立。 不合题意。综上，实数的最小值为。（）证明：当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，。在（2）中，取，得，。综上，。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数的最小值为，即可求得的值。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，求导函数，令导函数等于0，分类讨论：当 时，0，在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有。当时，
12、0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增。由此可确定的最小值。（）当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，由，在（）中，取得,从而可得，由此可证结论。例10. （2012年浙江省理14分）已知，函数（）证明：当时， （i）函数的最大值为； （ii）；（）若对恒成立，求的取值范围【答案】() 证明：()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a。() 设， ，令。当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，
13、在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成立。()解：由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11对x0，1恒成立，|2ab|a1。取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab。作图如下：由图易得：当目标函数为zab过P(1，2)时，有所求ab的取值范围为：。【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】() ()求导后，分b0和b0讨论即可。() 利用分析法，要证|2ab|a0，即证|2ab|a，
14、亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大根据11对x0，1恒成立，可得|2ab|a1，从而利用线性规划知识，可求ab的取值范围。例11. （2012年浙江省文15分）已知aR，函数（1）求的单调区间（2）证明：当01时， + 0.【答案】解：（1）由题意得， 当时，恒成立，此时的单调递增区间为；当时，此时函数的单调递增区间为。（2）由于，当时，；当时，。设，则。则有0101减极小值增1。当时，总有。【考点】分类思想的应用，利用导数求闭区间上函数的最值和单调区间，不等式的证明。 【解析
15、】（1）求出导数，分和讨论即可。 （2）根据，分和两种情形，得到，从而设出新函数，应用导数，证出，得到恒成立，即。例12. （2012年湖南省理13分）已知函数，其中0.（）若对一切R，1恒成立，求的取值集合.（）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】解：（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故。令。当时，单调递减；当时，单调递增.当时，取最小值。于是对一切恒成立，当且仅当令则。当时，单调递增；当时，单调递减，当时，取最大值。当且仅当即时，式成立。综上所述，的取值集合为。（）存在。由题意知，。令则。令，则。当时，单调
16、递减；当时，单调递增，当，即。，。又。函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，存在使单调递增，故这样的是唯一的，且，故当且仅当时， 。综上所述，存在使成立.且的取值范围为。【考点】利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立, 分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法的应用。【解析】（）用导函数法求出取最小值，对一切R，1恒成立转化为，从而得出的取值集合。（）在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。例13. （2012年湖北省文14分）设函数f(x)axn(1x)b(x0)，n为整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切
17、线方程为xy1.（）求a，b的值；（II）求函数f(x)的最大值；（III）证明：f(x).【答案】解：（）f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0。f(x)anxn1a(n1)xn，f(1)a。又切线xy1的斜率为1，a1，即a1。a1，b0。（II）由（）知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1。令f(x)0，解得x，即f(x)在(0，)上有唯一零点x0。在上，f(x)0，f(x)单调递增；在上，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)在(0，)上的最大值为fn。（III）证明：令(t)lnt1(t0)，则(t)(t0)。在(0,1)上，(t)0，(t)单调
18、递减；在(1，)上，(t)0，(t)单调递增，(t)在(0，)上的最小值为(1)0。 (t)0(t1)，即lnt1(t1)。令t1，得ln，即lnn1lne。n1e，即。由（II）知，f(x)，所证不等式成立。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（I）由题意曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值。（II）由于f(x)xn(1x)xnxn1，可求 f(x)(n1)xn1，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值。（III）结合（II），欲证
19、：f(x)由于函数f(x)的最大值fn，故此不等式证明问题可转化为证明 ，对此不等式两边求以e为底的对数发现，可构造函数(t)lnt1(t0)，借助函数的最值辅助证明不等式。例14. （2012年辽宁省文12分）设，证明： ()当时， ()当时，【答案】证明：()设， 则。 当时，单调递减。 又，。 当时，。() 由均值不等式，当0时，即。 令。则。 令。则当时，。 在（1，3）内是单调递减函数。又，在（1，3）内，。在（1，3）内，。在（1，3）内是单调递减函数。又，在（1，3）内，。当时，。【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性。【解析】（I）用差值法构造函数，可得当时，可判断
20、在时是单调递减函数，从而由得到出，进而得出结论。（II）由均值不等式，可得 。用差值法构造函数，可得。构造函数， 利用导数判断在（1，3）内是单调递减函数，从而得到出在（1，3）内是单调递减函数，进而得出结论。例15. （2012年重庆市理12分）设数列的前项和满足，其中. （I）求证：是首项为1的等比数列；（5分） （II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.（7分）【答案】证明：（），。 。 ，。 ，。 。是首项为1，公比为的等比数列。（II）当=1或=2时，易知成立。当时，成立。当时，。当时，上面不等式可化为，设，当时， 。当时，所要证的不等式成立。当时，令，则。在（0，1）上递减。在
21、（0，1）上递增。当时，所要证的不等式成立。 当时，由已证结论得：。当时，所要证的不等式成立。综上所述，当且时，。当且仅当=1,2或时等号成立。【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。【分析】（I）根据，得，两式相减，即可证得是首项为1，公比为的等比数列。（II）当=1或=2时和当时， 成立。当时，分，三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。四、不等式问题中“数形结合法”的应用：典型例题：例1. （2012年湖南省理5分）已知两条直线 ：和：，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影
22、长度分别为 , ,当m 变化时，的最小值为【 】A B. C. D. 【答案】B。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解析】如图，在同一坐标系中作出，图像， 由，得，由，得。根据题意得。，。故选B。例2. （2012年重庆市理5分）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为【 】（A） （B） （C） （D）【答案】D。【考点】数形结合，函数的图象，双曲线和圆的对称性。【分析】，或。 又， 满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和。的图象都关于直线对称，和区域的面积相等，和区域的面积相等，即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半，为。故选D。例3. （2012年全国课标卷文5分）当时
23、，则a的取值范围是【 】 （A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)【答案】B。【考点】指数函数和对数函数的性质。【解析】设,作图。 当时，, 在时, 的图象在的图象上方。 根据对数函数的性质，。单调递减。 由时，得，解得。 要使时，必须。 a的取值范围是(，1) 。故选B。五、不等式问题中“特殊值法”的应用：典型例题：例1. （2012年福建省理5分）下列命题中，真命题是【 】Ax0，0Bx，2xx2Cab0的充要条件是1Da1，b1是ab1的充分条件【答案】D。【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用。【解析】对于A，根据指数
24、函数的性质不存在x0，使得0，因此A是假命题。对于B，当x2时，2xx2，因此B是假命题。对于C，当ab0时，不存在，因此C是假命题。对于D，a1，b1时 ab1，所以a1，b1是ab1的充分条件，因此D是真命题。故选D。例2. （2012年四川省文4分）设为正实数，现有下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则。其中的真命题有 。（写出所有真命题的编号）【答案】。【考点】真命题的判定，特殊值法的应用。【解析】对于，为正实数，。 又，。故正确。对于，可以采用特殊值列举法：取，满足为正实数和的条件，但。故错误。对于，可以采用特殊值列举法：取，满足为正实数和的条件，但。故错误。对于，不妨设，由得，。
25、为正实数，。故正确。且，。综上所述，真命题有 。例3. （2012年浙江省理4分）设，若时均有，则 【答案】。【考点】特殊元素法，偶次幂的非负数性质。【解析】时均有，应用特殊元素法，取，得。例4. （2012年四川省理14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。 抛物线在点A处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然
26、。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是。（）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0x1时，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A，进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得（）由（）知，则 成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0，1，2时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时， 即可证明： 。例5. （2012年四川省文14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物
27、线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。 抛物线在点A处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1时，得到。当时,。当n=0时，。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是3。（）由（1）知，下面证明：。首先证明：当0x1时， ，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak0时，不等式才成立，所以B不一定成立；对于C，命题显然正确；对于D，x211，01，所以D
28、不成立.故选C。例5. （2012年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【 】A. B. = C. D. =【答案】A。【考点】基本不等式及其应用。【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。 又，。 。故选A。例6. （2012年福建省理7分）已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1（）求m的值；（）若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.【答案】解：（）因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm。又f(x2)0的解集为1,1，故m1。（）由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得，
29、当且仅当 时，等号成立。所以a2b3c9。【考点】带绝对值的函数，不等式的证明。【解析】（）由条件可得f(x2)m|x|，f(x2)0，故有|x|m的解集为-1，1，故m=1。（）由（）得1，从而 ，展开后可得，利用基本不等式证明它大于或等于9。例7. （2012年湖北省文5分）设 R，则 “”是“”的【】A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件【答案】A。【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。【解析】当时，而（当且仅当，且，即时等号成立），。当取,显然有,但。由不可以推得。综上，是的充分不必要条件。故选A。例8. （2012年
30、四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有 _。（写出所有真命题的编号）【答案】。【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。【解析】对于，若，根据 当n=1时，x2=3, 同理x3=。 故正确。对于，可以采用特殊值列举法：当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此时数列从第二项开始为2，1，2，1，不成立。故错误。对于，由的定义知，而为正整数，故，且是整数。对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，不论是偶数还是奇数，有。和都是整数，。又当时，成立。当时，。故正确。对于，当时， ，即。，即，解得。由，。故正确。综上所述，真命题有 。例9. （2012年辽宁省理12分）设，曲线与直线在(0，0)点相切。 ()求的值。 ()证明：当时，。【答案】解：（I）过（0，0），=0。=1。曲线与直线在（0，0）点相切，。=0。（II）证明：由（I）知。由均值不等式，当0时，。令。则。 令。则当时，。 在（0，2）内是单调递减函数。又，
