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1、圆锥曲线的性质及推广运用目 录1 引言42 圆锥曲线的分类，性质及应用52.1 圆锥曲线的分类52.2 圆锥曲线的性质52.3 圆锥曲线在生活中的应用83圆锥曲线性质的推广应用93.1 利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值93.2 直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用113.3 数学问题在圆锥曲线中的推广12参考文献：14致 谢14圆锥曲线的性质及推广应用摘要：本文首先探究圆锥曲线在解析几何下的分类，总结了三类非退化圆锥曲线的性质及应用，主要利用平面解析几何的知识及数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质及推广性质进行了总结和证明，并将它在日常生活中的应用和在解题中的应用做了简要说明。关键词：圆锥曲线；
2、性质；推广；应用The nature and Promote application of the conic sectionsAbstracts: This article first explore the conic sections in the classification analytic geometry. Summarizes the three types of a degenerate conic sections of the nature and application. Chief use of flat analytic geometry knowledge and
3、 combining ideas with. On the conic sections of the basic nature and promotional nature of the review and verification. And put it in our daily lives and in the solution of the application of the application of a brief explanation.Key words: The conic sections；Nature；Promote；Application；圆锥曲线的性质及推广应用
4、引言圆锥曲线是解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问题，它处于代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题之一。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。研究圆锥曲线的分类和性质，有利于开阔学生的解题思路，沟通知识间的横向联系，培养学生的直觉思维和逻辑推理能力，而且能较高观点的理解圆锥曲线的定义。通过圆锥曲线的定义，基本性质，数形结合及巧设参数等方法加以解决。 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也
5、如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。本文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆锥曲线的性质及推广应用。2 圆锥曲线的分类，性质及应用2.1.圆锥曲线的分类在（平面）直角坐标系中，设二次曲线的方程为记 则我们称是二次曲线的不变量，为二次曲线的半不变量。由不变量给出二次曲线的分类：I 椭圆型： 椭圆 ， 虚椭圆（无轨迹） ， 一点 ，
6、II 双曲型： 双曲线 ， 一对相交直线 ，III 抛物型： 抛物线 ， 一对平行直线 ， 一对虚平行直线（无轨迹） ， 一对重合直线 ， 当二次方程的图形是一点或直线的情形时，称二次曲线是退化的。因此从上述二次曲线的分类可知，的符号判别了曲线的类型，而或就判别了曲线的非退化或退化的情形。椭圆，双曲线和抛物线这三种曲线统称为圆锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质2.2.1圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上
7、；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。2.2.2 椭圆的性质定义1 平面内与两定点F、F的距离的和等于常数2a(2a| FF |)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即：PF+PF=2a。定义2 椭圆的第二定义，准线方程及离心率。动点M(x,y)与定点F(-c,0)的距离和它到定直线L: x=-的距离的比是常数，(ac0)时,M点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0e1)的点的轨迹叫椭圆。我们把定值e= (0ec0)时，M点的轨迹即为双曲线。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0e的点的轨迹叫双曲线。我们把定值e= (0e1)，叫做椭圆的
8、离心率。定直线为准线，方程为x= 定理1 渐近线是双曲线特有的性质，即无限接近但不可以相交，当焦点在x轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x；当焦点在y轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x。定理2 当半实轴长=半虚轴长（即a=b，）时，双曲线称为等轴双曲线，渐近线方程为y=x，其标准方程为x2-y2=C，其中C0；离心率e= 2.2.4 抛物线的性质定义1 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线焦点，直线叫做抛物线准线。定义2。定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值离心率e不同，当e1时为抛物线，当0e1时为双曲线。标准方程有四种形式，参数的几何意义
9、，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上定理1 抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。定理2 设AB是抛物线的长为m的动弦，则(1) 当（通径长）时，AB的中点M到轴的距离的最小值为；(2) 当（通径长）时，AB的中点M到轴的距离的最小值为。定理3 抛物线焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A（x,y）,B(x,y)两点，直线OA与OB的斜率分别为k,k，直线l的倾斜角为，则有，。2.3.圆锥曲线在生活中的应用随着新课程理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材，并且越来越受到重视利用椭圆、双曲线、抛
10、物线可以有效地解决数学、物理及生活实际中的许多问题下面举例说明圆锥曲线在实际生活中的应用2.3.1 生活中的椭圆：油罐车的横截面。圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而在高度和宽度（即车的允许高度和车的宽度）都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。2.3.2 双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔冷却塔从底部到中部直径变小，是将蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力
11、，使蒸汽尽可能的留在塔内，提高冷却回收率。2.3.3 抛物线的应用：美丽的赵州桥采用抛物线的结构使得赵州桥用料精简，结构稳定坚固，赵州桥距离现在1400多年，经历了10次水灾，8次战乱，和多次地震，著名桥梁专家茅以升说过：先不管桥的内部结构，仅就他能够存在1400多年就说明了一切。探照灯截面由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面，他也有一条轴，即抛物线的轴，在这个轴上有一个奇妙的焦点，任何一条过焦点的直线反射出来以后，都将成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。3. 圆锥曲线的性质及推广应用3.1 利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值例4 设AB为过椭
12、圆中心的弦,焦点,求的最大面积。 分析： 利用割补法，将分割为与，再根据圆锥曲线的性质，求得其最值。解： 设，则由椭圆的对称性得，则 （由椭圆的性质知，且时等式成立）所以的最大面积为。反思：当整体面积不好求时，可将其划分为能直接求解的若干个面积之和。例5 已知双曲线的右焦点为,点.试在双曲线上求一点,使的值最小,并求这个最小值。分析：由条件得该双曲线的离心率 ，与互为倒数，设 为点到对应准线的距离,可得,把问题转化为求的最小值.解： 如图，为右准线, 作于N,作于。由题意得。由双曲线的第二定义有，所以当且仅当M是直线与双曲线右支的交点，即点M为点时，取最小值。故的最小值为。反思：利用圆锥曲线的
13、性质，找出所求问题和已知条件之间的关系进行变形，转化为已知距离进行求解。例6 已知椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为1.（1） 求椭圆的方程（2） 设点P在抛物线上，在点P处的切线与交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。分析：本题主要考察椭圆、抛物线的几何性质，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。解：由题意，得从而 因此，所求的椭圆的方程为 如图，设则抛物线在点处的切线斜率为直线的方程为将上式代入椭圆的方程中，得.即 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以式中的 设线段的中点的横坐标是，则设线段的中点的
14、横坐标是，则由题意，得即. 由式中的得，或.当时，则不等式不成立，所以当时，代入方程得，将代入不等式，检验成立。所以，的最小值为1.小结： 利用圆锥曲线的性质求最值是一种技巧性较强的特殊方法， 但思路清晰，过程简捷，可以避繁就简，化难为易。3.2 直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用例7 过原点且斜率为正值的直线交椭圆于E,F两点，设A (2,0), B(0,1),求四边形AEBF面积S的最大值。待添加的隐藏文字内容2分析： 由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧AB上的点F到直线AB的距离最大时，四边形AEBF的面积取最大值，不难发现此时的点F恰是椭圆平行于AB的切线与椭圆的共共点。解 设直线是与
15、直线AB平行的椭圆的两条切线，则当E,F分别与两切点重合时，四边形AEBF面积S取最大值。设切线的方程为，代入椭圆方程可得，令得，即两切线的方程为，它们的距离为，而，故。 例8 已知A(1,1)为椭圆内一点，为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点。求的最大值和最小值。解 已知 ，左焦点，右焦点。由椭圆的定义 由 知（当在延长线上的处时，取右“=”，当在的反向延长线的处时，取左“=”）即的最大值、最小值分别为，于是的最大值为，最小值为。反思：利用三角形两边之和大于第三边的性质求得最值。例9 求二元函数的最小值 分析：如图所示，的表达式是两点、之间距离的平方，且所以，、分别是圆与双曲线上的一点。 图9易知
16、，所以小结：由于平面解析几何本身是数形结合的产物，所以借助图形的几何性质 也是破解圆锥曲线问题的重要对策，而且往往能收到事半功倍的效果。3.3 数学问题在圆锥曲线中的推广定理1：如图2，有心圆锥曲线（）是ABC的内切圆锥曲线.分别与BC、AB、AC相切于点D、E、F，DO的延长线交EF于点G，AG的延长线交BC于点H，则有.证明：设点A的坐标为，点D坐标 为，则有，过点D的切线方程为： 由引理1可知过点A的两切线方程为：切点弦EF的方程为由图像可知直线DO方程为联立可得点G坐标可得直线AG方程联立可得交点H的横坐标 设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立可得关于x的一元二次方程：由
17、韦达定理可得即点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程上，它们的纵坐标也相等，即两点重合为一点，所以H为线段BC的中点，所以.在有心圆锥曲线（）中，当时，方程表示圆；当时，方程表示椭圆；当、异号时，方程表示双曲线.定理1对圆、椭圆、双曲线三种情况做了统一的证明.定理2：如图3，抛物线是ABC的内切抛物线，分别与BC、AB、AC相切于点D、E、F，过点D作x轴的平行线与EF交于点G，直线AG交BC于点H，则有.证明：设点A坐标为，点D坐标为，则有，过点D的切线方程为： 由引理2可知过点A的两切线方程为 切点弦EF的方程为联立 可求得点G坐标为：，进而可得直线AG方程为： 联立可得点H的横坐标：
18、设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立可得关于x的一元二次方程：由韦达定理可得即点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以H为线段BC的中点，故.定理1和定理2是证明这一类与三角形内切圆和旁切圆问题的方法参考文献：1郑崇友.几何学引论（第二版）.北京.高等教育出版社，2005年2俞亚华.求解圆锥曲线最值问题的基本策略.宁波大学学报，2004年，02期3张荣昌.巧用圆锥曲线的定义求最值.河南教育学院学报，2004年，03期4宋贵聪.圆锥曲线中一类最值问题的解法.咸宁学院学报，2009年，06期5王成喜.圆锥曲线中最值问题的类型与解法.科技信息，2009年，35期
