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1、摘 要数学分析是大学数学专业的基础，核心学科，而导数在数学分析中又具有举足轻重的地位，其中数学分析里面所有的微积分都是以导数为基础的，而本文将介绍导数的一种新应用-导数在不等式中的应用。本文将打破传统解决不等式的思路和方法，开辟一条解决和证明不等式的道路，运用导数的定义和性质，对各种特殊的不等式作求解或者证明。为不等式寻求更高效更合理的解决方法，同时从中提高对数学知识之间强烈的联系关系的理解以及提高数学的发散思维。关键词：导数；不等式；证明 AbstractApplication of Derivative In Proof Of InequalitiesMathematical analys
2、is is a mathematical professional basis, the core subject, and derivative in mathematical analysis and an important position in mathematical analysis, all of the calculus is a derivative of the article will introduce a derivative of a new applications whose derivative is inequality in the applicatio
3、n. This article will break the traditional the inequalities and methods for a solution that inequality and the use of derivatives and the nature of the definition of various special inequalities or that a solution. for inequalities for more efficient more reasonable solutions, while increases in mat
4、hematics from the strong connection between the understanding and improve skin thinking of mathematics.Key words: derivative；inequalities；prove目 录1.引言12.导数在不等式中的应用12.1利用导数的定义证明不等式 1 2.2利用导数的几何意义证明不等 22.3利用函数的单调性证明不等式 3 2.4利用函数的最值性或极值性证明不等式 32.5利用中值定理证明不等式 52.6用泰勒公式证明不等式 63.结论8 3.1研究结果总结 8 3.2研究意义总结
5、8参考文献9致 谢 10导数在不等式中的应用1. 引言不等式的解和不等式的证明是数学里面的一项重要研究课题，而对于不等式的相关问题的处理方法分别有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等。而在某些不等式的处理上，这些方法显得比较困难，而此时我们应该开拓思维，联想到导数，数学问题往往是多面而且互通的，对于导数的应用，导数在不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的。导数概念的产生与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系。导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度。比如说，物理上考虑功随时间的变化率，化学上考虑反应物的量对时间的变化率，经济学上考虑生产某种产品的成本
6、随产量的变化率等等，这些变化率在数学上都可用导数表示。本文就针对导数的各项定义和性质，充分利用数学知识的相关联和紧凑性，解决某些比较特殊，传统方法不能或者难以解决的不等式。2.导数在不等式中的应用2.1.利用导数的定义证明不等式定义1：设函数在点的某一领域内有定义,在点处给自变量以增量点仍在该领域内,相应地,函数有增量如果当时比值的极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作 ，或.并称函数在点处可导。导数的定义有两种等价的形式： （1）； （2）.2.1.1 例1 设，并且，试证：。证明：由已知，可得， 则，又由导数定义，故，即。本例题是经典的利用导数的定义证明不等式的例子，该例子有两个主
7、要特点，首先对求导后可以表示出所要证明的不等式的左边，第二个特点是， 利用导数的定义求而由可知道和存在一个小于等于的关系，于是不等式得以证明。 2.2利用导数的几何意义证明不等式2.2.1导数的几何意义：设是曲线上一点，点坐标为 。过P点作曲线的切线，若在处可导，则是切线的斜率，且曲线过点的切线方程为。2.2.2 例2：函数的定义域为，且，证明： 。证明： 可以等价于，于是我们需要证明。由斜率的定义可知，就是函数在定义域上的任意两点间连线的斜率，那么只要证明该函数在定义域内任意两点的连线斜率小于1即可，也就是要证明任意一点的切线斜率小于1即可。由函数的几何意义可知， 为函数在定义域内的任一点的
8、切线的斜率，因此，只要证明即可，由二次函数的性质可以知道，在内，必小于1，因此, 从而。本题关键是要观察出就是函数在定义域内任意两点间的连线的斜率，并且通过斜率可以联想到用导数来表示任意一点的切线斜率，证明任意一点的切线斜率都小于1。2.3. 利用函数的单调性证明不等式2.3.1函数单调性的判定法:设函数在上连续,在w内可导。如果在内内,那么函数在上单调增加；如果在内, 那么函数在上单调减少。上述判定法中的闭区间换成任何区间（包括无穷区间）, 结论也成立.通过函数单调性证明不等式的形式： 。2.3.2 例3 证明： 证明：令，且， ，由于在上，从而，则在是单调减函数，又由于，从而在恒成立，所以
9、在上成立。例4 设，试证：证明：要证明，只要证明.令，则当4时，所以，函数， 即，也即 （）。.利用函数单调性证明不等式是一种比较简单快捷的方式，这种方法的一般步骤是首先构造辅助函数，这种辅助函数可以是对不等号两边的函数作差或者是作商，然后对辅助函数求导，找出辅助函数的单调性，然后求辅助函数在所要求的区间内的最大（小）值从而根据单调性来判定不等号方向。.4. 利用函数的最值性或极值性证明不等式.4.1 定义2：（函数的极值）设函数 在的某邻域内有定义，如果对去心邻域内任一，（或），则称是函数的极小值（或极大值）。当函数的导数在所要求证的区间内出现了导数符号改变，也就是说出现了单调性改变的情况时
10、，就可以考虑利用函数在区间内的极值（最值）来进行证明。.4.2 例5 已知函数且，求证。解：由，得： 则因为，是区间上任意函数值，它们差的绝对值不大于最大值与最小值差的绝对值，因此可以考虑函数在上的最值。，令，得，当时， ，即在上单调递减当时，即 在上单调递增故当时，有极小值且为最小值，即得最小值为则当或时取最大值b ,故 则命题得证。例6已知：，证明：当时有 .证明：设,则.令得驻，又，且当时，从而，函数在上的最大值为1，最小值为，故，其中，.利用函数的最值性或极值性证明不等式的一般步骤是，首先构造辅助函数，一般以作差或者作商为主，然后对辅助函数在需要证明的区间内找出极值或者最值，然后用极值
11、或者最值跟需要证明的条件作比较，从而使命题得证。2.5. 利用中值定理证明不等式2.5.1定理1：（拉格朗日中值定理）若函数满足条件：(1) 在闭区间上连续；(2)在开区间内可导, 则在区间内至少存在一点, 使得 .定理2：（柯西中值定理）设函数和满足条件：(1)、在闭区间上连续；(2)、在开区间可导，且，则至少存在一点,使 .通过拉格朗日中值定理证明不等式的形式: 或通过柯西中值定理证明不等式的形式：2.5.2 例7如果试证证明：将要证不等式变形为 令，则， 在上应用拉格朗日中值定理：而，但在上不易判断的符号，为此我们由在上的二阶导数的符号来判断的单调性。因为，所以在上单调递减，从而有 于是
12、即例8 证明不等式 . 证明：令，则归结为证明： ,注意到，利用柯西中值定理有 下证 .事实上，因，故 .从而 ,即一般来说，对于 或这种形式的不等式，我们就可以考虑通过拉格朗日中值定理来证明，对于这种形式的不等式，我们就可以考虑运用柯西中值定理来证明，在证明的过程中，一般我们先要准确的选取函数，自变量所在的区间，然后再验证在区间内满足拉格朗日中值定理的条件，从而得到， ；然后求从而得到一个关于的一个等式，根据的范围确定从而使得不等式得证。2.6用泰勒公式证明不等式2.6.1定理3：（局部泰勒定理）若函数在存在阶导数，则,有 通常称 为阶的泰勒多项式，称为皮亚诺余项。此公式称为函数在的泰勒公式
13、或泰勒展开式。定理5：（泰勒定理）若在包含的某个区间上具有阶导数，则对于此区间内任一点，在此区间内至少存在一点，使得通常称 为拉格朗日余项。若在处满足泰勒定理，则有其中在与之间。用此公式证明不等式就是要把所证不等式化简,其中函数用此公式, 再把公式右边放大或缩小得到所证不等式。2.6.2例9 证明不等式，当时，有 。证明：由于，. 故显然 即，故当时成立。例10 设，且，证明：。 证明： 由，知.又存在，连续，所以，所以，因为二阶可导，所以在点处一阶泰勒公式成立，在0与之间，因为，所以所以，所以。3.结论3.1 研究结果总结 数学是一门博大精深的学问，在数学的世界里，数学的知识里，存在着一条若
14、隐若现的连线，这条连线贯穿着数学的各个领域，并且带领着人类不断地去摸索和探讨。本文抓住了导数和不等式之间的连线，顺着这条道路，归纳总结导数在不等式中的应用。证明不等式的方法非常的多，本文主要根据导数的定义和导数的几何意义，导数的单调性，导数的极值性（最值性），拉格朗日中值定理，泰勒公式等等来对某些传统方法难以解决的不等式进行证明或者求解。本文收集了众多经典例题和方法，归纳特殊的不等式证明方法，以达到拓展思维的效果。3.2 研究意义总结本文通过研究导数 和不等式的关系，开辟归纳出一条新的证明，解决不等式的方法，这些方法对学习理解数学有重大意义，高中阶段的学生对于解决某些不等式，可以运用到导数的定
15、义，导数的几何意义和导数，导数的单调性，导数的极值行，这些都是可以帮助高中学生解决一系列不等式问题的好工具，而且另外一方面可以拓展学生的视野，思维，从而达到学习数学锻炼思维，锻炼综合素养的目的，而对于更深层次的不等式研究，拉格朗日中值定理，泰勒公式等工具起到了一个很好的桥梁作用，通过这些工具，可以把数学问题从难到易地转移。参考文献：1 陈光曙. 大学数学（理工类）上册M.第一版.上海：同济大学出版社，2007.2 陈秋华. 也谈利用凸函数证明初等不等式J.高等数学研究，2009，1（5）：40-41.3 马德炎. 常见的代数不等式的证明J.高等数学研究,2009，13 (5):27-29.4 刘玉莲. 数学分析讲义上册M. 第四版.北京：高等教育出版社.2004.5 李长明， 周焕山. 初等数学研究M.第一版. 北京: 高等教育出版社，1995.6 邵士敏. 高等数学基础M.第二版.北京： 科学出版社.2000.7 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 第二版.北京: 高等教育出版社，1993.8 赵春明. 几个重要不等式的应用技巧J. 无锡教育学院学报，2000，10（9）：35-37.9 汪荷仙. 高等数学解题方法指导M.第一版.成都：成都科技大学出版社.1995.10 高永东. 关于几个著名不等式的推广J. 咸宁师专学报，2000， 1（6）：58-61.
